8.1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)

1、 8.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、級數(shù)的基本性質(zhì)周累計(jì)排污量為周累計(jì)排污量為前前周的排污量為周的排污量為第第于是于是物殘留量的物殘留量的一周內(nèi)可排除污染一周內(nèi)可排除污染的情況下的情況下在沒有新的污染物產(chǎn)生在沒有新的污染物產(chǎn)生染物總量為染物總量為若設(shè)某湖泊現(xiàn)有有害污若設(shè)某湖泊現(xiàn)有有害污游排出的辦法游排出的辦法逐漸從下逐漸從下斷將有害物質(zhì)稀釋斷將有害物質(zhì)稀釋采用從上游引入清水不采用從上游引入清水不通?？赏ǔ？晌镔|(zhì)的污染物質(zhì)的污染為消除湖泊受到的有害為消除湖泊受到的有害例如例如nnQunQnn, 2, 1,3231,.31,.,1 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念Qn321)31(131

2、nuuuQ 21QQQn,隨著時(shí)間向后無限推移隨著時(shí)間向后無限推移即即窮個(gè)數(shù)的和的形式窮個(gè)數(shù)的和的形式也可以表示為無也可以表示為無無理數(shù)無理數(shù)又如又如,6592141. 3, 即即之和之和可以表示為無窮個(gè)數(shù)量可以表示為無窮個(gè)數(shù)量總排污量總排污量,Q,QQnn將將收收斂斂到到時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) QQQn76543210161012101910151011101410113一般地，對于給定的數(shù)列一般地，對于給定的數(shù)列,21nuuu稱稱 nuuu21 nnnnnuuuuu2111,即即記記作作簡簡稱稱級級數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)無無窮窮級級數(shù)數(shù),通通項(xiàng)項(xiàng)）稱

3、稱為為級級數(shù)數(shù)的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)（或或項(xiàng)項(xiàng)其其中中第第nun.,2121nnnnuuuSSuuun 即即記記作作稱稱為為級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和項(xiàng)項(xiàng)和和級級數(shù)數(shù)的的前前定義定義8.1.,lim,21111SuuuuSuSSSSunnnnnnnnnn 記作記作并且有和數(shù)并且有和數(shù)收斂收斂則稱級數(shù)則稱級數(shù)即即有極限有極限如果其部分和數(shù)列如果其部分和數(shù)列對于給定的級數(shù)對于給定的級數(shù)., )(1發(fā)散發(fā)散數(shù)數(shù)則稱級則稱級發(fā)散發(fā)散沒有極限沒有極限如果部分和數(shù)列如果部分和數(shù)列 nnnuS例例1.0,0, )()18(111試試討討論論該該級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性其其中中又又稱稱為為等等比比級級數(shù)數(shù)稱稱為為幾幾

4、何何級級數(shù)數(shù)無無窮窮級級數(shù)數(shù) qaaqaqaaqnnn解解該級數(shù)的前該級數(shù)的前n項(xiàng)部分和為項(xiàng)部分和為)1(11 qqaqaaqaqaSnnn,1)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1limqaSnn 有有.1,)18(qa 且其和為且其和為收斂收斂所以級數(shù)所以級數(shù),1)3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q.)18(,1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) q.所所以以上上面面級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散,lim nnS有有,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q; )(時(shí)時(shí) nnaSn, )1(121 nnaS,的極限不存在的極限不存在時(shí)時(shí)nSn .1,11時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂于于當(dāng)當(dāng) qqqq綜上討論綜上討論 ,例例2解解因?yàn)橐驗(yàn)?11)1

5、(1 nnnnun)1(1321211 nnSn 1113121211nn111 n從而從而nnS lim.1)1(11 nnn有有所所以以，該該級級數(shù)數(shù)收收斂斂，且且 111limnn. 1 .)1(11的的斂斂散散性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) nnn例例3證明證明有有微微分分中中值值定定理理使使用用拉拉格格朗朗日日上上對對函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ln1,xnn )1(11ln)1ln( nnnnnnn 利用不等式可得利用不等式可得nSn1211 ln)1ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn )1ln( n從而推出從而推出,lim nnS.11發(fā)發(fā)散散因因此此調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) nn.11發(fā)散發(fā)散

6、證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) nn例例4.,.121)421(218421,2:200說說明明理理由由判判斷斷結(jié)結(jié)論論是是否否正正確確解解得得有有于于是是設(shè)設(shè)作作如如下下推推導(dǎo)導(dǎo)對對級級數(shù)數(shù) SSSSnnnn解解.,20不正確不正確結(jié)論結(jié)論不可能為負(fù)不可能為負(fù)為正數(shù)之和為正數(shù)之和由于級數(shù)由于級數(shù) nn,2, q且且級數(shù)級數(shù)問題在于該級數(shù)為幾何問題在于該級數(shù)為幾何,發(fā)散發(fā)散.S并不存在和數(shù)并不存在和數(shù)二、級數(shù)的基本性質(zhì).,1111 nnnnnnnnuccuucuc有有且同時(shí)收斂時(shí)且同時(shí)收斂時(shí)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散與級數(shù)與級數(shù)則級數(shù)則級數(shù)為非零常數(shù)為非零常數(shù)設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)8.1則則有有與與

7、的的部部分分和和分分別別為為與與級級數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù),11nnnnnnScuu nnncScucucu 21 證明證明,由數(shù)列極限的性質(zhì)由數(shù)列極限的性質(zhì)于是于是,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n,同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散與與nnS ,11同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散與與即級數(shù)即級數(shù) nnnnucu,limlimnnnnSc 且在收斂時(shí)有且在收斂時(shí)有.11 nnnnuccu即即有有.)(,)(,111111 nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且有且有收斂收斂則級數(shù)則級數(shù)都收斂都收斂與級數(shù)與級數(shù)若級數(shù)若級數(shù)性質(zhì)性質(zhì)8.2則則有有與與為為的的部部分分和和分分別別與與設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù), )(11

8、1nnnnnnnnnnTSvuvu )()()(2211nnnvuvuvu 證明證明)()(2121nnvvvuuu nnTS 即有即有 111nnnnnnnvuvu）（,極限存在極限存在時(shí)時(shí)由于由于nnTSn nnnnnnTS limlimlim ,2 . 81 . 8 和和性性質(zhì)質(zhì)由由性性質(zhì)質(zhì).111 nnnnnnnvbuabvau）（且且有有極極限限也也存存在在知知,nnTS 且且有有也也收收斂斂級級數(shù)數(shù)以以及及任任意意常常數(shù)數(shù)與與對對于于收收斂斂級級數(shù)數(shù),)(,111nnnnnnnbvaubavu 由例由例1和例和例2可知，可知，且有且有，收斂收斂級數(shù)級數(shù) 11)1(32)1(nnnn

9、n 1111)1(132121)1(32)1(nnnnnnnnnn32112121 ,617 ,11收收斂斂發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnnvu.1發(fā)發(fā)散散）（必必有有nnnvu .,11時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散同同與與則則級級數(shù)數(shù)為為任任意意正正整整數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) knnnnuuk,1 knnkuCk 記記對對于于任任意意給給定定的的正正整整數(shù)數(shù)kknnCS 性質(zhì)性質(zhì)8.3證明證明.,11有有相相同同的的斂斂散散性性與與級級數(shù)數(shù)因因此此 knnnnuu于于是是有有項(xiàng)項(xiàng)部部分分和和分分別別為為的的前前項(xiàng)項(xiàng)部部分分和和與與的的前前設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù), )(,11knSknunuknnknnnn ., 且收

10、斂于原級數(shù)的和且收斂于原級數(shù)的和級數(shù)級數(shù)的級數(shù)仍然為收斂的級數(shù)仍然為收斂收斂級數(shù)加括號后所成收斂級數(shù)加括號后所成得級數(shù)得級數(shù)將相鄰兩項(xiàng)加括號將相鄰兩項(xiàng)加括號例如例如,)(1212 nnnuu: 2nnSS子子列列的的原原級級數(shù)數(shù)部部分分和和數(shù)數(shù)列列其其部部分分和和數(shù)數(shù)列列實(shí)實(shí)際際上上是是性質(zhì)性質(zhì)8.4 )()()(2124321nnuuuuuu,2也也必必然然收收斂斂其其子子列列nS,1收收斂斂必必有有部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù)于于是是nnnSu ,242nSSS.S且且有有相相同同的的極極限限 對于收斂級數(shù)，可以對它的項(xiàng)任意加括號，對于收斂級數(shù)，可以對它的項(xiàng)任意加括號，但要

11、注意不能改變相關(guān)項(xiàng)的次序但要注意不能改變相關(guān)項(xiàng)的次序.注意注意1注意注意2 加括號后的級數(shù)收斂，不能推得原級數(shù)收斂加括號后的級數(shù)收斂，不能推得原級數(shù)收斂 （即性質(zhì)的逆命題不一定成立）（即性質(zhì)的逆命題不一定成立）.的相鄰兩項(xiàng)合并得級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)合并得級數(shù)將級數(shù)將級數(shù) 11)1(nn )11()11()11(收斂，且和為零，收斂，且和為零，但原級數(shù)發(fā)散的但原級數(shù)發(fā)散的. 0lim,)(1 nnnnuu即即有有則則其其一一般般項(xiàng)項(xiàng)趨趨向向于于零零收收斂斂如如果果級級數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件,1收斂收斂由于級數(shù)由于級數(shù) nnuSSSnnnn 1limlim從而有從而有nnu lim性質(zhì)性質(zhì)8.5證明證明)(lim1 nnnSS1limlim nnnnSS. 0 且有且有則有和數(shù)則有和數(shù),S （2）一般項(xiàng)趨于零只是級數(shù)收斂的必要條件，）一般項(xiàng)趨于零只是級數(shù)收斂的必要條件，而非充