數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識(shí)：矩陣和線性方程組

1、end一、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出綜合平衡一、國(guó)民經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出綜合平衡 設(shè)有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對(duì)部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對(duì)部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價(jià)值。那么各經(jīng)濟(jì)部門總產(chǎn)出應(yīng)滿足下列關(guān)系式：消耗平衡方程組xxcfjjijinj1j=1,2,nend令 C =（cij），X = (x1, , xn) ,D = (d1, , dn)，F(xiàn)= (f1, , fn)則 X=CX+D令 A = EC，E為單位矩陣，則 AX = DC稱為直接消耗矩陣，A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。分配平衡方程組xc xdiijjnji1i =1,2,nendY = 1

2、,1,1 BY表示各部門的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X Y B=CB表示各部門間的投入產(chǎn)出關(guān)系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。xxxn12end二、數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí)：線性代數(shù)數(shù)學(xué)理論復(fù)習(xí)：線性代數(shù)1、線性方程組a xa xa xba xa xa xba xaxaxbnnnnmmmnnm11 11221121 1222221 122記為記為 A x = b 其中A =(aij)mn x = (x1, ,xn), b = (b1, , bm)end若秩(A) 秩(A,b)，則無解；若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；若秩(A) = 秩(A,b) n, 存在無窮多解； 通解是齊次線性

3、方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系與 Ax=b 的一個(gè)特解之和。對(duì)于線性方程組 Ax = b：Ax = 0 稱為齊次的線性方程組end2、逆矩陣方陣A稱為可逆的，如果存在方陣B，使A B = B A = E，記 B = A-1方陣A可逆的充分必要條件:A0求逆矩陣方法： A-1 =A*/|A| 這里A*為A的伴隨矩陣 （A E） 行變換（E A-1）end3、特征值與特征向量對(duì)于方陣A，若存在數(shù)和非零向量x 使 A x = x，則稱為A的一個(gè)特征值，x 為A 的一個(gè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。特征值計(jì)算歸結(jié)為:特征多項(xiàng)式|A - E|=0的求根。對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是齊次線性方程組 (A - E) x

4、 = 0的所有非零解end三、使用三、使用MATLAB det 方陣的行列式 diag 對(duì)角陣inv 方陣的逆 cond 方陣的條件數(shù)trace 方陣的跡 orth 正交規(guī)范化rank 矩陣的秩 null 求基礎(chǔ)解系rref 矩陣的行最簡(jiǎn)形eig 特征值與特征向量jordan 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解norm 矩陣或向量范數(shù)end1、特殊矩陣生成zeros(m,n) 生成m行n列的零矩陣;ones(m,n) 生成m行n列的元素全為1的陣;eye(n) 生成n階單位矩陣;當(dāng)A是矩陣,diag(A)返回A的對(duì)角線元素構(gòu)成的向量;當(dāng)X是向量,diag(X)返回由X的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣；endrand(m,n)

5、 生成m行n列0,1上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣；linspace(x1,x2,n) 生成x1與x2間的n維等距行向量,即將x1,x2 n-1等分。2、行列式和逆矩陣det(A) 返回方陣A的行列式;inv(A) 返回A的逆矩陣。end3、矩陣除法左除法 AB 求解矩陣方程AX=B右除法 B/A 求解矩陣方程XA=B(1) 當(dāng)A為方陣，AB與inv(A)*B基本一致： (2) 當(dāng)A不是方陣，除法將自動(dòng)檢測(cè)。 若方程組無解,除法給出最小二乘意義上的近似解，即使向量AXB的長(zhǎng)度達(dá)到最??； 若方程組有無窮多解，除法將給出一個(gè)具有最多零元素的特解； 若為唯一解，除法將給出解。end例1 解下列方程組42312

6、yxyx42312zyxzyxA=1 2;3 -2; B=1;4;x=AB 求得唯一解A=1 2 1;3 -2 1; B=1;4;x=AB 求得一特解end242312yxyxyx24212yxyx A=1 2;3 -2:1 -1; B=1;4;2;x=A B 求得一最小二乘近似解A=1 2;-2 -4; B=1;-2;x=AB 不能直接求解A=1 2;-2 -4;0 0; B=1;-2;0;x=AB仍可求一近似特解增加方程 0 x+0y=0end例2 線性方程組的通解12211432143214321xxxxxxxxxxxx解 在無窮多解情況下可用三種方法求通解， 用rref化為行最簡(jiǎn)形以后

7、求解；用除法求出一個(gè)特解，再用null求得一個(gè)齊次組的基礎(chǔ)解系；用符號(hào)工具箱中的solve求解。enda=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1; b=1;1;-1; rank(a),rank(a,b) rref(a,b)x0=ab,x=null(a)4、特征值和特征向量D=eig(A) 返回方陣A的特征值構(gòu)成的列向量；V,D=eig(A) 返回方陣A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣D和每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量按列構(gòu)成的矩陣V。其中每個(gè)特征向量都是模等于1的向量，并且屬于同一特征值的線性無關(guān)特征向量已正交化。end四、實(shí)驗(yàn)例題 例3 某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開采

8、一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi); 生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi); 創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求。end解：這是一個(gè)投入產(chǎn)出分析問題。設(shè)x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值, x3為鐵路總產(chǎn)值, 則xxxxxxxxxxxx11232123312300 65055500000 250 05010250000 250 0500(.)( .)( .) 問三個(gè)企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多

9、少才能滿足自身及外界需求？三個(gè)企業(yè)間相互支付多少金額？三個(gè)企業(yè)各創(chuàng)造多少新價(jià)值?end直接消耗矩陣C= 02500050000外界需求向量 D =產(chǎn)出向量X = xxx12300650550250050100250050.則原方程為則原方程為 (E-C)X=D 投入產(chǎn)出矩陣為 B=C*diag(X)總投入向量 Y= ones(1,3)*B 新創(chuàng)造價(jià)值向量 F=X-Yend例4 （隱性病遺傳）染色體遺傳中，后代是從父母體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因型。如果所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A和a控制，那么就有三種基因型，父 母概率AA-AA AA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20后代aa0001/41/21上表給出父母基因型的所有可能組合使其后代形成每種基因?qū)Φ母怕?。end設(shè)金魚某種遺傳病染色體的正?；?yàn)锳，不正?；?yàn)閍, 那么AA，Aa，aa分別表示正常金魚，隱性患者，顯性患者。設(shè)初始分布為90%正常金魚，10%的隱性患者，無顯性患者?？紤]下列兩種配種方案對(duì)后代該遺傳病基因型分布的影響方案一：同類基因結(jié)合，均可繁殖；方案二：顯性患者不允許繁殖，