ch5彎曲應(yīng)力1-3-2003

1、材 料 力 學(xué)第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力Stresses in Bending ，故正應(yīng)力的合力不可能產(chǎn)生Q向分量。(即不能在面內(nèi)合成Q)。同理,因?yàn)樵诮孛鎯?nèi)恒通過(guò)截面形心(面內(nèi)水平軸)。故不能產(chǎn)生繞此面內(nèi)水平軸的合力矩M。5-1 5-1 引言引言 IntroductionIntroductionQndAFd 由上一章我們知彎曲變形的內(nèi)力為Q和M。因內(nèi)力是截面上分布內(nèi)力的合力。而截面上一般存在兩種分布內(nèi)力的集度剪應(yīng)力(面內(nèi)應(yīng)力)和正應(yīng)力(法向應(yīng)力)。由理力知識(shí)我們知:QdAMdA;因此, 。 若梁在某段內(nèi)各橫截面上的剪力為零,彎矩為常量,則該段梁的彎曲就稱為純彎曲純彎曲(Pure Bend

2、ing)。平面純彎曲平面純彎曲是彎曲理論中最基本的情況。 和ch2軸向拉壓與ch4圓軸扭轉(zhuǎn)一樣，分析了桿彎曲變形的內(nèi)力Q，M后，還需進(jìn)一步分析梁的應(yīng)力分布和計(jì)算，才能解決工程中的強(qiáng)度計(jì)算等實(shí)際問(wèn)題。 和前面一樣，由內(nèi)力應(yīng)力需通過(guò)對(duì)梁的變形幾何，物理關(guān)系，靜力平衡三方面綜合研究。由于: ,MdA5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of BeamNormal Stress of BeammAB+DPPPaM故我們先研究以M為主的簡(jiǎn)單梁純彎曲梁純彎曲梁(Pure Bending Beam):Q0的梁(或梁段)。例如: 另對(duì)應(yīng)有:橫力彎曲橫力

3、彎曲(shear bending , transverse bending): 梁內(nèi)(或梁段內(nèi))0平面純彎曲平面純彎曲 = 平面彎曲 + 純彎曲 純彎曲的M作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)(Oxy平面)，對(duì)應(yīng):平面橫力彎曲平面橫力彎曲= 平面彎曲 +橫力彎曲 現(xiàn)以平面純彎曲梁（梁的平面假設(shè)成立的前提）為條件推導(dǎo)梁的正應(yīng)力公式:5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of BeamNormal Stress of Beam 梁寬方向的變形說(shuō)明纖維產(chǎn)生了與泊桑比有關(guān)的(橫向)拉伸與壓縮的現(xiàn)象。AB1212abdcdxmeme中性軸 1 2 a b d

4、x c d1 25-2-1,平面純彎曲的實(shí)驗(yàn)研究平面純彎曲的實(shí)驗(yàn)研究變形特點(diǎn): 與變形后仍為直線,仍與變形后的軸線垂直。只是相對(duì)原來(lái)位置轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。 縱向直線(ab)和(cd)彎成圓弧線(曲線)。故凹面纖維(如弧ab)縮短而凸面纖維(如弧cd)伸長(zhǎng)。 因變形連續(xù),故中間必存在一層纖維變形前后長(zhǎng)度相等,稱此層纖維為中性層中性層(neutral surface)。中性層縱向?qū)ΨQ面(外力的作用面),故纖維的變形和它在梁的寬度上的位置無(wú)關(guān)。中性層與橫截面的交線稱為中性中性軸軸(neutral axis)5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress

5、of BeamNormal Stress of Beamyxz(中性軸）mm5-2-1,平面純彎曲的實(shí)驗(yàn)研究平面純彎曲的實(shí)驗(yàn)研究由以上的特點(diǎn)可抽象如下的假設(shè):平面假設(shè)(Plane section assumption): 在純彎曲時(shí)，變形前為平面的橫截面。變形后仍為平面?？v向纖維的變形與它在橫截面寬度上的位置無(wú)關(guān)。 0z(即: ; 依橫截面的高度y改變） 各縱向纖維間沒(méi)有擠壓。梁彎曲的平面假設(shè)平面假設(shè): 梁在受力彎曲后,其原來(lái)的橫截面仍為平面,它繞其上的中性中性軸軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度,且仍垂直于梁變形后的軸線。dxcd5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal

6、 Stress of BeamNormal Stress of BeamO1O21122ddOMM=meyzdAy 在純彎曲時(shí)由對(duì)稱性和圣維南原理, 一般對(duì)各向同性均勻連續(xù)材料梁均成立。此即梁的變形幾何關(guān)系梁的變形幾何關(guān)系。y物理物理:將 關(guān)系代入(a)式,即得平面彎曲梁的正應(yīng)力隨y的變化關(guān)系。如:)()(, )(受壓邊受拉邊nnnyAyAAddxoo21dydc)()(,)(ayyddydddxdxdycdcdcd5-2-2,彎曲正應(yīng)力正應(yīng)力的公式推導(dǎo)幾何幾何: 如圖取變形后的dx微段梁來(lái)研究，中性層上的弧長(zhǎng)cd段的纖維變形前長(zhǎng)變形后長(zhǎng)(M為正時(shí)):因此距中性層為y的一層纖維cd的線應(yīng)變?yōu)?

7、式中為中性層變形后的曲率半徑(Radius of curvature), 1/ 為曲率(curvature)5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)).(;cypctAAyAzdAzMdAyMdAN;0,yzyzAAyIyzydAdAzM為對(duì)稱軸，故因) 15.(12MdAyMzA簡(jiǎn)記為物理物理:對(duì)工程中常用的材料，我們可以假設(shè): 由(c)式知道,在橫截面上成線性分布(對(duì)線彈性材料而言)因(c)式中的還不知道,中性軸位置(y值)

8、也不知道,需由靜力學(xué)關(guān)系求解。靜力學(xué)靜力學(xué):(對(duì)平行力系有:)注意到橫截面上 ，0, 0yzMMMN, 0zAASydAdA故 對(duì)指定截面為常數(shù), 可提到面積分之外。0; 0zS表示中心軸應(yīng)通過(guò)橫截面的形心中心軸應(yīng)通過(guò)橫截面的形心。(5-1)式為研究彎研究彎曲問(wèn)題的一個(gè)基曲問(wèn)題的一個(gè)基本公式本公式。)25.( My代入(c)得: 式中M是需求應(yīng)力之橫截面上的彎矩;I是此橫截面對(duì)中性軸的軸慣矩; y是需求應(yīng)力處到中性軸的垂直坐標(biāo)。5-2 5-2 純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力Normal Stress of Beam Normal Stress of Beam 5-2-2,

9、彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo))25.( My(凸邊受拉,凹邊受壓)式 表明:曲率1/1/ (表示梁變形的程度) MM ; 1/1/ 1/EI1/EI。) 15.(1M故 軸線越彎曲; 軸線變形越小(越平緩) 。MEI I的物理意義:梁按其截面的形狀和尺寸具有的抵抗彎曲(變形)的能力。 中性軸(z)通過(guò)橫截面形心,垂直于外力作用平面(oxy)。故oxyz構(gòu)成一直角坐標(biāo)系。如果我們不計(jì)M的正負(fù)和y的正負(fù),得求大小的公式 由此式求出的大小后,根據(jù)M 的正負(fù)很容易確定的正(拉應(yīng)力 )負(fù)(壓應(yīng)力)應(yīng)為: (M 0時(shí):上壓下拉; M 5時(shí)Q引起的(由平面不均勻翹曲所致)很小。同時(shí)外載引起的壓應(yīng)

10、力(y)可忽略(微擠壓；微均勻翹曲)。此時(shí)可用式(5-2)計(jì)算平面橫力彎曲的應(yīng)力=M(x)y/I(其精度一般滿足工程的需要),用(5-1)式計(jì)算梁的曲率K=1/=M(x)/EI e. .當(dāng)梁為無(wú)對(duì)稱軸的實(shí)體梁時(shí)，情況比較復(fù)雜。需在研究了的分布規(guī)律時(shí)才能討論橫力彎曲問(wèn)題。5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress) 25.()()(yxMx)55.(,maxmaxmaxmaxmaxmaxayMyM)55.(maxbWM 由前節(jié)討論 d. .知式(5

11、-2)可推廣應(yīng)用于平面橫力彎曲的正應(yīng)力計(jì)算,當(dāng)梁的跨長(zhǎng)遠(yuǎn)大于梁高時(shí)( lh ),其精度一般滿足工程的需要。此時(shí),因 M=M(x),故正應(yīng)力(x)也將為橫截面位置坐標(biāo)x的函數(shù)。 由此得:平面橫力彎曲梁的最大正應(yīng)力將發(fā)生在彎矩?cái)?shù)值最大的橫截面(叫:危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面)上離中性軸最遠(yuǎn)處(叫:危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn))。因而,其強(qiáng)度條件可表達(dá)為:maxyIW 若定義: : 叫抗彎截面模量抗彎截面模量(section modulus in section modulus in bendingbending,為一個(gè)與橫截面的大小和形狀有關(guān)的幾何量,其量綱為L(zhǎng)3,常用單位為mm3或m3)。 則平面彎曲梁的強(qiáng)度條件可表達(dá)為

12、:zy2y15-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress)55.(maxbWM)55.(maxmaxayM式中為彎曲許用正應(yīng)力。可查有關(guān)規(guī)范。(55)式同樣能解決三類常用工程強(qiáng)度問(wèn)題:強(qiáng)度校核 計(jì)算容許荷載 選擇橫截面尺寸。常見(jiàn)橫截面的I和W:6,1223hbWhbIzz6,1223hbWbhIzz矩形:立放 ,平放6,1234aWaIzz正方形: (W W為對(duì)過(guò)形心的與邊平行的軸之量)32,6434dWdIzz圓形:型鋼:可直接查表 對(duì)脆性材料制

13、成的梁,當(dāng)其橫截面的中性軸不是對(duì)稱軸,且梁上同時(shí)承受有正負(fù)彎矩時(shí),其強(qiáng)度條件應(yīng)為:(如右上圖所示)2minmaxmin1maxmaxmaxmaxccWMIyMWMIyM下上1minmaxmin2maxmaxmaxmaxttWMIyMWMIyM上下)(10246715210375336maxmmMWz5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例題例題5-35-3 圖a所示的樓板主梁由工字鋼制成。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152MPa,試選擇工字鋼的號(hào)碼。

14、解解:由于此梁兩端稍有轉(zhuǎn)動(dòng)及伸縮的可能,故計(jì)算簡(jiǎn)圖可取為簡(jiǎn)支梁(圖b)。根據(jù)題意,本例題應(yīng)按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件公式(5-5)作截面選擇。為此,先作出此梁的彎矩圖(圖b)。由圖可見(jiàn),梁的最大彎矩值為Mmax=375kNm 根據(jù)Mmax和值,由公式(5-5)可求出此梁所必需的抗彎截面系數(shù)Wz為 此值雖小于所必需的Wz=2467cm3。但相差還不到1%。因此,采用此工字鋼時(shí)最大正應(yīng)力未超過(guò)許用彎曲正應(yīng)力的5% ,故可選用56b號(hào)工字鋼。 由型鋼規(guī)格表(P433)查得56b號(hào)工字鋼的Wz為: Wz=2447cm3159.6MPa5%)(1153.25MPa1024471037536maxmaxWM 例

15、題例題5-45-4 跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖a所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為t=30MPa和c=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求,確定T字形截面梁橫截面的一個(gè)尺寸d(圖b),并核核此梁的強(qiáng)度。) 1 (.3190302121maxmaxctzzctyyIMyIMy5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Strength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress 式(1)就是確定中性軸即形心軸位置yC(圖b)的條件。再考慮到y(tǒng)1y2=280mm(圖b)這一關(guān)系,即得 yC=y2=210mm

16、 .(2)顯然,yC值與橫截面尺寸有關(guān),因此,式(2)就成為確定d的依據(jù)。 解解:因全梁彎矩同號(hào),要使這一截面最合理,必須使梁的同一橫截面上的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力(圖c)之比tmax/cmax與相應(yīng)的許用應(yīng)力之比t/c相等。因?yàn)檫@樣就可使材料的拉、壓強(qiáng)度得到同等程度的利用。故有:式中的y1、y2見(jiàn)圖b。 根據(jù)形心坐標(biāo)公式參見(jiàn)附錄I中的公式(I2a)及圖b中所示尺寸,并利用式(2)列出如下等式:mmyyC2102mmyC21022060220)30280(22060110)60280(dd)(1099.1761021.12)3.9652.821.296()3070(602201260220)1

17、10210(2202412220244662323mmIz由此求得: d =24mm 確定d后便可進(jìn)行強(qiáng)度校核。yCkNmPlM4042804max7 .8410176.992101040662maxmaxMPayMc為此,先利用平行移軸公式(I10)計(jì)算截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz:再計(jì)算此梁的最大彎矩:于是,從公式(5-2)即可求得此梁的最大壓應(yīng)力,并據(jù)此核核強(qiáng)度,可見(jiàn),此梁滿足強(qiáng)度條件。對(duì)于此梁的最大拉應(yīng)力是否還需要核核?.)(3558. 186134max21不控制此梁的強(qiáng)度即全梁的最大壓應(yīng)力截面的ctcByy5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Strength Condi

18、tion of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例題例題5-5 5-5 一槽形截面鑄鐵梁如圖a所示。已知b=2m,Iz=5493104mm4,鑄鐵的許用拉應(yīng)力t=30MPa,許用壓應(yīng)力c=90MPa。試求此梁的許可荷載P。解解:設(shè)P的單位為kN。作出彎矩圖(圖c),由圖可見(jiàn),最大負(fù)彎矩在B截面上,最大正彎矩在C截面上,其值分別為:MB=-Pb/2,MC=Pb/4。由橫截面的尺寸可見(jiàn),中性軸到上、下邊緣的距離分別為:y2=86mm,y1=134mm 本題經(jīng)分析可知,不管是對(duì)C截面還是對(duì)B截面而言,該梁的強(qiáng)度均由最大拉應(yīng)力控制。 因此

19、,只需分別算出C截面和B截面上的最大拉應(yīng)力,然后與材料相應(yīng)的許用應(yīng)力相比較,從而求出荷載P值,并選其中較小者作為該梁的許可荷載P。具體計(jì)算過(guò)程如下:5-35-3梁的正梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件應(yīng)力強(qiáng)度條件kNNbyIPIPbyyMttCt6 .241024.6013410230105493444334111maxkNNbyIPIPbyyMttBt2 .1910.17198610230105493222334222maxC截面:B截面: 取其中較小者,即得該梁的許可荷載為: P=19.2kN 。(mm)y1y2zYAP1P24.53M:(kNm)5-3 5-3 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件Str

20、ength Condition of Normal StressStrength Condition of Normal Stress例例:圖示一鑄鐵形截面外伸梁。已知:P1=40kN,P2=15kN,l=0.6m。材料的l=36MPa,a=175MPa。橫截面尺寸如圖示。試校核此梁的強(qiáng)度。解解:(一)求反力,作M圖:kNlPlPlYA156 . 02 . 0153 . 040)32(121作M圖如下,有:kNmMMkNmMMBc3;5 . 4minmax (二)確定形心位置(中性軸z的位置)及Iz:)(107308. 532803012803023301101230110)(7238110)(3880303