基本概念分離變量

1、第第12章章 微分方程微分方程第一節(jié)、第一節(jié)、 微分方程的基本概念微分方程的基本概念（一）微分方程舉例（一）微分方程舉例例例1：求過點(diǎn)求過點(diǎn) ( 1 , 3 ) 且切線斜率為且切線斜率為 2 x 的曲線的曲線方程。方程。解：設(shè)所求曲線方程是：解：設(shè)所求曲線方程是：y = y ( x ) ，則，則2,d yxd x3)1( y,2xdxyd ,2 xdxydcxy 2,132c ,2 c22 xy例例2：一物體以初速一物體以初速解：設(shè)物體的質(zhì)量為解：設(shè)物體的質(zhì)量為 m ，重力加速度為，重力加速度為 g ，則，則0v,)( gmtsm ,)( gts 因?yàn)橐驗(yàn)?)( tsv 所以所以)( tsv

2、g ,gtdvd , tdgvd , tdgvd,1ctgv ,1ctgs tdctgsd)(1 垂直上拋，設(shè)此物體的垂直上拋，設(shè)此物體的運(yùn)動(dòng)只受重力的影響，試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路運(yùn)動(dòng)只受重力的影響，試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路程程 s 與時(shí)間與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系 s = s ( t )。,1ctgv ,1ctgs tdctgsd)(1 ,)(1 tdctgsd21221ctctgs 假設(shè)物體的初始路程為假設(shè)物體的初始路程為,0s,)0(0ss )0( )0(sv 0v ,02sc ,1得得由由ctgv 01vc 00221stvtgs 則則例例2：一物體以初速一物體以初速0v垂直上拋，設(shè)此

3、物體的垂直上拋，設(shè)此物體的運(yùn)動(dòng)只受重力的影響，試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路運(yùn)動(dòng)只受重力的影響，試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路程程 s 與時(shí)間與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系 s = s ( t )。初始速度為初始速度為,0v定義定義1 ：凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，統(tǒng)稱為微分方程。統(tǒng)稱為微分方程。 未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程叫偏微分方程未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程叫偏微分方程例如：例如： 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù) 的階數(shù)，叫做微分方程

4、的階的階數(shù)，叫做微分方程的階例如：例如：,2是是一一階階微微分分方方程程xy ,)( 是是二二階階微微分分方方程程gts ,2xxdyd ,)( gts xyyyy2sin5 10 4)4( （四階）（四階）01)( ny（n 階）階） n 階階微分方程的一般形式微分方程的一般形式, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy其中，其中，,)(必必須須出出現(xiàn)現(xiàn)ny,)1(可可以以不不出出現(xiàn)現(xiàn)而而 nyyyx從上示中解出從上示中解出,)(得得ny定義定義 2：如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為該微分方程的解。方程兩端恒等，則

5、稱此函數(shù)為該微分方程的解。2)2( x,22 xy都是都是 的解。的解。xy2 例如：考慮一階微分方程例如：考慮一階微分方程cxy 2x2 2)(cx x2 所以所以而而,21212ctctgs 00221stvtgs 也都是方程也都是方程 的解。的解。gts )( xy2 因?yàn)橐驗(yàn)?如果一個(gè)解中所含獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微如果一個(gè)解中所含獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解。 在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的 解，稱為微分方程的特解。解，稱為微分方程的特解。而而,21212ctctg

6、s 00221stvtgs 也都是方程也都是方程 的解。的解。gts )( 21221ctctgs 如如的的通通解解是是gts )( 00221stvtgs 如如的的特特解解是是gts )( 對(duì)于一階方程，確定任意常數(shù)的條件通常為對(duì)于一階方程，確定任意常數(shù)的條件通常為,)(00yxy ,|00yyxx 成成寫寫或或 對(duì)于二階方程，確定任意常數(shù)的條件通常為對(duì)于二階方程，確定任意常數(shù)的條件通常為,)(00yxy ,)( 00yxy 或?qū)懗苫驅(qū)懗?|00yyxx ,| 00yyxx 以上這些條件統(tǒng)稱為初始條件。以上這些條件統(tǒng)稱為初始條件。為了確定通解中的任意常數(shù)，而得到符合特定為了確定通解中的任意常

7、數(shù)，而得到符合特定要求的特解，需要附加一定的條件。要求的特解，需要附加一定的條件。 一階初值問題為一階初值問題為,)(),(00 yxyyxfy,|),(00 yyyxfyxx成成寫寫或或 二階初值問題為二階初值問題為,|,|),(0000 yyyyyyxfyxxxx求微分方程求微分方程滿足初始條件的特解，稱為初值問題。滿足初始條件的特解，稱為初值問題。).,()1()( nnyyyxfy 一階初值問題一階初值問題,)(),(00 yxyyxfy,|),(00 yyyxfyxx成成寫寫或或 二階初值問題二階初值問題,|,|),(0000 yyyyyyxfyxxxx定義定義3：微分方程微分方程的

8、解的解 y = y (x) 的圖形，稱為微分方程的積分曲線。的圖形，稱為微分方程的積分曲線。).,()1()( nnyyyxfy就是求過點(diǎn)就是求過點(diǎn)),(00yx的那條積分曲線。的那條積分曲線。就是求過點(diǎn)就是求過點(diǎn)),(00yx且在該點(diǎn)處切線斜率為且在該點(diǎn)處切線斜率為 0y 的那條積分曲線。的那條積分曲線。例例3：驗(yàn)證函數(shù)：驗(yàn)證函數(shù)xkCxkCysincos21 是二階微分方程是二階微分方程0 2 yky的通解。的通解。其中，其中， 和和 是任意常數(shù)是任意常數(shù)1C2C證明：證明： yxkkCsin1 xkkCcos2 yxkkCcos21 xkkCsin22 )sincos(212xkCxkC

9、k yk2 0 2 yky即即xkCxkCysincos21 是所給方程的解。是所給方程的解。又此解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，故為通解。又此解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，故為通解。第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程問題問題1：考慮：考慮一階微分方程一階微分方程),(yxfy ,2xxdyd xdxyd2 ,22yxxdyd xdyxyd22 的解法。的解法。例例1：再兩邊求不定積分再兩邊求不定積分,2 xdxydcxy 2例例2：,22 xdyxyd含有未知函數(shù)含有未知函數(shù) y, 積不出。積不出。xdyxyd22 ,22xdxyyd ,22 xdxyyd,12Cxy ,12Cxy

10、 分離變量方程分離變量方程一般地，形如一般地，形如xdxfydyg)()( （3）的一階微分方程，稱為變量已分離的微分方程的一階微分方程，稱為變量已分離的微分方程將（將（3）式兩端求不定積分得）式兩端求不定積分得 xdxfydyg)()(（4）記記 G ( y ) 和和 F ( x ) 分別為分別為 g ( y ) 和和 f ( x ) 的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)，則原函數(shù)，則cxFyG )()(（5 ）（5）式即為方程（）式即為方程（3）的通解表達(dá)式。）的通解表達(dá)式。注意：注意： （5）式確定了一個(gè)）式確定了一個(gè) y 關(guān)于關(guān)于 x 的隱函數(shù)，稱的隱函數(shù)，稱（5）式為（）式為（3）的隱式通解。）的隱式

11、通解。 有些一階微分方程，雖然不是變量已分離的形有些一階微分方程，雖然不是變量已分離的形式，但只需經(jīng)過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，就可化為變式，但只需經(jīng)過簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，就可化為變量已分離的方程形式，如：量已分離的方程形式，如：)()(ygxfxdyd xdxfygyd)()( xdyNxNydyMxM)()()()(2121 （6 ）（變量已分離）（變量已分離）（7 ）xdxMxNydyNyM)()()()(1122 （變量已分離）（變量已分離）方程（方程（6）和（）和（7）稱為可分離變量的微分方程。）稱為可分離變量的微分方程。例例1：解微分方程解微分方程xyxdyd 解：分離變量得：解：分離變量得：x

12、xdyyd , xxdyyd,|ln|ln1cxy ,|ln1cyx ,2cyx )(12cec 由于由于 y = 0 也是方程的解，對(duì)應(yīng)常數(shù)也是方程的解，對(duì)應(yīng)常數(shù)所以方程的通解為所以方程的通解為cyx 其中，其中，c 為任意常數(shù)為任意常數(shù)注意，注意， 為不等于零的任意常數(shù)。為不等于零的任意常數(shù)。2c,|1ceyx ,2xcy ,02 c例例2：求解初值問題求解初值問題 20412xyydydxxdy解：先將方程寫成可分離變量形式解：先將方程寫成可分離變量形式xdyydx )4(2再分離變量再分離變量24xxdyyd 兩邊積分兩邊積分,42 xxdyyd |ln y)0(ln21122 acx

13、axaaxdxaxx 22ln41,1C )0(ln21122 acxaxaaxdxa |ln yxx 22ln412lnC 例例2：求解初值問題求解初值問題 20412xyydydxxdy |ln yxx 22ln412lnC |ln y4222lnxxC 再將初始條件代入再將初始條件代入 241212 C422xxCy 432 C442232xxy 所求解為：所求解為：例例 3 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小孔水從它的底部小孔流出流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始時(shí)開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程

14、中容器里求水從小孔流出過程中容器里水面的高度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由水力學(xué)知識(shí)得由水力學(xué)知識(shí)得,水從孔口水從孔口流出的流量為流出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度單位時(shí)間內(nèi)通過孔口橫截面的水的體積單位時(shí)間內(nèi)通過孔口橫截面的水的體積cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則22)100(100hr )2(,)200(2dh

15、hhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 21cmS ,262. 0ghSdtdVQ ,2002hh dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為二、二、 齊次微分方程齊次微分方程形如形如)(xyfxdyd （1）的微分方程，稱為齊次微分方程。的微分方程，稱為齊次微分方程。例如：

16、例如：22xyxyxdyd 1)(2 xyxyxdyd0)2()(22 ydyxxxdxyxyxxyyxxdyd222 )(21)()(2xyxyxyxdyd 作變量變換作變量變換xyv )(xyfxdyd 對(duì)方程對(duì)方程則有則有,xvy )(xvxddxdyd xdvdxv xdvdxv )(vf xdvdxvvf )(,)(vvfvd xxd1)(cvvfvd xxd|ln x1)(cvvfvd 1)(|cvvfvdex vvfvdecx)()(1cec 最后將原變量代回最后將原變量代回例例1：解微分方程解微分方程22xyxyxdyd 解：解：,1)(2 xyxyxdyd,xyv 令令,xv

17、y 得得,xdvdxvxdyd xdvdxv ,12 vvxdvdx1 vvvdvv1 ,xxd vdv)11( xxd|ln vv ,|ln1cx ,|ln1cxvv ,|ln1cxyy ,xyecy 1()cce 例例1：解微分方程解微分方程22xyxyxdyd ,|ln1cxyy ,xyecy )(1cec 解：解：,1)(2 xyxyxdyd,xyv 令令,xvy 得得注意函數(shù)注意函數(shù) y = 0 也是所求方程的解，它對(duì)應(yīng)常數(shù)也是所求方程的解，它對(duì)應(yīng)常數(shù) c = 0 。所以所求通解為所以所求通解為xyecy 其中其中 c 為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。例例 2 2 求

18、解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos1( xduudxudxuu,cosxdxudu ,|lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解. 0cos)cos1( dyxydxxyxy，xuy 例例3：求微分方程求微分方程)0(0)(22 xydxxdyxy滿足初始條件滿足初始條件0|1 xy的特解。的特解。解：上述問題又稱為（或表示為）求解：上述問題又稱為（或表示為）求初值問題初值問題 0|)0(0)(122xyxydxxdyxy將原方程化為將原方程化為xyxyxdyd22 xyxxy22 xyxxyxdyd22 21 xyxy,xyv 令令,xvy 得得,xdvdxvxdyd xdvdxv ,12vv xdvdx,12v 分離變量得分離變量得21 vvd xxd vdv211 1cxxd vdv211 1cxxdcvvvdv )1(ln1122)1(ln2vv Cxlnln 21vv xC )ln(1Cc