復(fù)變函數(shù)與積分變換自測題

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換自測題1：第一章至第三章1、 已知函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)，且f(z0)0.求證：存在z0的某個(gè)鄰域，f(z)在其中處處不為0.2、 試將1-cos+isin化為指數(shù)形式。3、 計(jì)算（3+4i）1+i。4、 計(jì)算tan(3-i)。（注意：指最后結(jié)果需將實(shí)部、虛部分離）5、 求解方程sinz+icosz=4i。6、 已知v(x,y)=epxsiny是調(diào)和函數(shù)，求實(shí)常數(shù)p的值，并求對應(yīng)的復(fù)變解析函數(shù)f(z)=u+iv。7、 已知f(z)= ex xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)，求f(z)。8、 已知解析函數(shù)f(z)滿足，當(dāng)z0時(shí)，f(z)= ，求f(z)。9

2、、 計(jì)算，其中C：由0到2+i的有向線段。10、 計(jì)算，其中C：正向。11、 計(jì)算，其中C：順時(shí)針方向。12、 計(jì)算，其中C：（1，0）沿單位圓的上半周至（-1,0）.13、 計(jì)算，其中C：。已知條件：f(z)在內(nèi)解析，且f(0)=1,f(0)=2.由此再計(jì)算的值。自測題1 答案1、 證明：反設(shè)題設(shè)結(jié)論不成立。用數(shù)學(xué)語言表示：。于是由于f(z)在z0處連續(xù)（連續(xù)必極限存在），及復(fù)變函數(shù)極限的定義，知f(z0)=0，與題目已知條件矛盾。題設(shè)結(jié)論獲證。2、 化為指數(shù)形式意味著必須標(biāo)準(zhǔn)化，成為形式。我們首先計(jì)算復(fù)數(shù)的模。（逆用二倍角公式，這一點(diǎn)大家一定要掌握）（絕對值符號(hào)千萬表丟了）下面考慮復(fù)數(shù)的輻

3、角。（逆用二倍角公式，注意cot0無意義，事實(shí)上時(shí)，原復(fù)數(shù)為0，輻角不存在，也不需要表示為指數(shù)式了）。因此，只要時(shí)，原復(fù)數(shù)就可以表示為下面的指數(shù)式：。3、 遇到這樣的問題一定要用最原始的方法進(jìn)行計(jì)算，首先計(jì)算，則原式=（為什么可以這樣？因?yàn)椋┯纱丝梢姡覀兘^對不能忽略Lnz的多值性，2ki很重要！4、 tan(3-i)= （和差角公式）（注意恒等式與二倍角公式的巧妙運(yùn)用）5、 這個(gè)問題顯然不經(jīng)處理是無法輕易解決的?？紤]原方程可化為，則我們可知-iz=Ln4.從而z=iLn4=iln4-2k。6、 。（想想為什么可以這樣快地得到結(jié)果？知道前者就可以對偶地將后者設(shè)出來啦）7、 解這樣的問題，以首先

4、化簡f(z)為宜，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)相同。（將復(fù)變初等函數(shù)展開為u、v的形式，要爛熟于心，“挫骨揚(yáng)灰”都能認(rèn)出來！）8、 方法一（強(qiáng)烈推薦！解析函數(shù)法），其中z0，C為任意復(fù)常數(shù)。方法二：首先利用已知條件求得，再利用Cauchy-Riemann條件，通過“偏積分”的方法將u、v求出。（很羅嗦，這里不作演示了）9、利用參數(shù)法，本題答案為。10、大家可以發(fā)現(xiàn)本題的解決依賴于第2題的結(jié)論！令，則原式=（注意：積分上下限的變化、積分變量的變化、被積函數(shù)的變化）=。11、考慮復(fù)變函數(shù)的積分是線積分，可以將積分曲線的方程代入表達(dá)式，則顯然分母被消去，原式=0.12、易見（用原函數(shù)法），而（令）

5、=，原式=。13、本題大家要勇于對拆項(xiàng)計(jì)算，利用Cauchy積分公式與一階導(dǎo)數(shù)公式，它等于8i；因此，運(yùn)用參數(shù)化方法，=2.復(fù)變函數(shù)與積分變換自測題2：第四章14、 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是多少？15、 在z=0的鄰域內(nèi)將展開成泰勒級(jí)數(shù)，它的收斂半徑是多少？16、 判別的斂散性。17、 證明cos（in）是無界數(shù)列，并判別的斂散性。18、 求在z=0處的泰勒展開式，其中C：正向。19、 求在圓環(huán)域和內(nèi)的洛朗展式。自測題2 答案20、 本題計(jì)算的要點(diǎn)在于極限式的變換，因?yàn)閺?fù)變冪級(jí)數(shù)與實(shí)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，求收斂半徑的方法是相同的。答案是0，因?yàn)闃O限式化簡至最后形如。21、 考慮f(z)的第一個(gè)不解析點(diǎn)（指離

6、復(fù)平面原點(diǎn)最近的一個(gè)）為z=1，則收斂半徑就是1.這是課本上一個(gè)很重要的結(jié)論，因?yàn)槁謇始?jí)數(shù)展開時(shí)分圓環(huán)域討論的思想，即由此而來。22、 這級(jí)數(shù)是收斂的。遇到這類問題，第一步一定是將實(shí)部虛部剝離，分別判定斂散性。大家可以先寫出前幾項(xiàng)，繼而得出結(jié)論：原級(jí)數(shù)=i+，實(shí)部、虛部均收斂。因?yàn)樗鼈儩M足Leibniz準(zhǔn)則：通項(xiàng)取絕對值后單調(diào)遞減且趨于0.這是驗(yàn)證常數(shù)項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性，最重要的方法。，大家還記得嗎？23、 證明cos（in）是無界數(shù)列，并判別的斂散性。普里瓦洛夫（前蘇聯(lián)復(fù)變函數(shù)論泰斗）是莫斯科大學(xué)的教授，一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學(xué)生的角度來說)，有一個(gè)學(xué)生剛

7、走進(jìn)屋子，就被當(dāng)頭棒喝般地問了一句“sinz有界無界？”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”，就馬上被判不及格，實(shí)在是不幸之至。本題實(shí)際考查的核心即是sinz、cosz無界，因?yàn)楫?dāng)y為實(shí)數(shù)時(shí)，cos(iy)=chy=。因此，本題不證自明，級(jí)數(shù)發(fā)散。24、 解本題的核心是視，對給定的z用一階導(dǎo)數(shù)公式，則可得f(z)=2isin2z。這一函數(shù)的泰勒展式是十分簡單的。25、 考慮十分復(fù)雜，對于這樣的分式多項(xiàng)式函數(shù)求洛朗展式，多采用分部分式法。，這樣一來展式也就十分簡單了。復(fù)變函數(shù)與積分變換自測題3：第五章26、 z=1是函數(shù) 的什么奇點(diǎn)？27、 求。28、 設(shè)z=a為解析函數(shù)f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，求。29

8、、 求以及。30、 設(shè)（C）：，求。31、 求，其中（C）：。補(bǔ)充列出第四、五章作業(yè)題中很重要的一些題：第四章：3、4、9、10、16.第五章：2、5、12、20、50、51、55、（實(shí)積分部分）22、24.這些題目不是常規(guī)方法能夠很好解決的。希望大家復(fù)習(xí)時(shí)加以重視其中第五章第5題正確答案為A，第51題正確答案為C，校內(nèi)流傳的“參考答案”是錯(cuò)的。第5題考慮z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則不存在；從而也不存在，z0是 (z)的本性奇點(diǎn)。自測題3 答案32、 易見將f(z)展開成（z-1）的洛朗級(jí)數(shù)，有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，因此z=1為f(z)的本性奇點(diǎn)。33、 極限不存在，因?yàn)閦=1為函數(shù)的本性奇點(diǎn)（道理

9、同上）。34、 令，其中g(shù)(a)0.那么， 【注意在z=a點(diǎn)是解析的】35、 （注意z=是一級(jí)極點(diǎn)，用規(guī)則1） （注意z=0是一級(jí)極點(diǎn)，用規(guī)則1） 這兩題考查的都是一級(jí)極點(diǎn)用規(guī)則1后，連續(xù)使用洛必達(dá)法則進(jìn)行變換。但請大家務(wù)必注意：洛必達(dá)法則在復(fù)變函數(shù)中，一般都只適用于0/0型的極限！36、 考慮積分曲線是一個(gè)橢圓，我們令t=z-1，則=，其中C是C向下做了1個(gè)單位的平移變換。顯然，C仍然只包含被積函數(shù)的1個(gè)奇點(diǎn)唯一的奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)0.因此本題結(jié)果顯然為i。37、 當(dāng)0r1時(shí)，C還包含被積函數(shù)的兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)i,-i，即包含了被積函數(shù)的一切奇點(diǎn)。因此，我們考慮一種另辟蹊徑的方法。r1時(shí)，我們轉(zhuǎn)而考慮被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，按照公式易求得留數(shù)為0；又可按照一級(jí)極點(diǎn)的規(guī)則1求得，