正交基與標準正交基PPT學習教案

1、會計學1正交基與標準正交基正交基與標準正交基定義1 歐氏空間V的一組兩兩正交的非零向量叫做V的一個正交組,如果一個正交組的每一個向量都是單位向量, 這個正交組就叫做一個標準正交組. 1正交組的定義例1 向量 12110,1,0 ,0,22311,0,22 構成 3R一個標準正交組，因為 1231,122331,0. 一、正交組的定義、性質第1頁/共35頁函數(shù)組(1) 1，cosx, sinx, ,cosnx ,sinnx,2 , 02 , 0C例2 考慮定義在閉區(qū)間函數(shù)所作成的歐氏空間上一切連續(xù)的一個正交組.構成2 , 0C第2頁/共35頁20,21dx20, 0sinsinnmnmnxdxm

2、x若若, 0,coscos20nmnmnxdxmx若若事實上，我們有第3頁/共35頁222000cossincossin01,12 ,cos,cossin,sin,1,cos1,sin0,cos,cossin,sinmxnxdxnxdxnxdxnxnxnxnxnxnxmxnxmxnx所以, 0sin,cosnmnxmx若把（1）中每一向量除以它長度，我們就得C0，2的一個標準正交組 ,.sin1,cos1,.,sin1,cos1,21nxnxxx第4頁/共35頁2正交組的性質定理7.2.1 設 12,n 一個正交組，那么 12,n 線性無關. 是歐氏空間的 11221211120,00,0,0

3、,00,1,2,.nnnijnniijjjijiiijjiiiinkkkk kkRijkkkkin 設設當當時時 有有證證故故故故線線性性無無關關 第5頁/共35頁1標準正交基的定義 設V 是一個n 維歐氏空間，如果V 中有n,21n 個向量構成一個正交組，那么由定理7.2.1，這個n 個向量構成V 的一個基，叫做V 的一個正交基。如果V 的一個正交基 還是一個標準正交基，那么就稱這個基是一個標準正交基.二、標準正交基的定義、性質及存在性第6頁/共35頁 例3 歐氏空間 nR的基是 ),0 , 0 ,1, 0 , 0()(iii =1,2,n,nR的一個標準正交基. 如果 ,21n正交基。令是

4、V的任意一個向量那么是可.2211nnxxx是是n 維歐氏空間V的一個標準以唯一寫成 nxxx,21是關于 ,21n的坐標.由于,21n是規(guī)范正交基，我們有第7頁/共35頁（3） injijjixx1,這就是說，向量關于一個規(guī)范正交基的第i個坐標等于與第i個基向量的內積；nnyyy2211其次，令那么 （4） nnyxyxyx2211,由此得 （5） 22221,|nxxx（6） 2211)()(),(nnyxyx第8頁/共35頁111,nnnjjijxxx 于于是是證證 由由1,0,iiiiiiiijijjixx 當當當當當當時時第9頁/共35頁1111111,nniijjijnnnnnii

5、jjijijijijijiVxyxyx yx y 設設于于是是22212,nxxx 2211,nndxyxy （3） （4） 第10頁/共35頁3標準正交基的性質設 ,21是2V的一個基，但不一定是正交基 ,21問題就解決了,因為將 21和再分別除以它們的長度，就得到一個規(guī)范正交.11借助幾何直觀，為了求出 正交基。從這個基出發(fā)，只要能得出 2V的一個基。先取,2我們考慮線性組合 ,12a從這里決定實數(shù)a， 使 112與a正交，由 1112112,0aa第11頁/共35頁及 得 011112,a取 1111222,那么 , 0,12又因為 21,線性無關，所以對于任意實數(shù) a, 01212aa

6、因而, 02這就得到 2V的一個正交基 .,21第12頁/共35頁4標準正交基的存在性 定理7.2.2（施密特正交化方法) 設 ,21n是歐氏空間V的一組線性無關的向量, 那么可以求,21n使得 k可以由 k,21線性表示，k = 1,2,m. 出V 的一個正交組 證 取 ,11那么 2是 1的線性組合，且 . 01其次取 1111222,第13頁/共35頁又由 0,1111121212所以 12與正交. 假設1 k m，而滿足定理要求的 121,k都已作出. 那么是 221,的線性組合，并且因為 線性無關，所以 . 0221,第14頁/共35頁11111111,kkkkkkkk取.11221

7、1kkkkaaa所以 k是 k,21的線性組合.由于假定了 ii,21是i = 1, 2, , k -1，所以把這些線性組合代入上式，得 的線性組合，k,21線性無關，由 , 0k得 第15頁/共35頁又因為假定了 121,k兩兩正交.這樣， k,21也滿足定理的要求.1, 2 , 1, 0,kiiiiiikikik所以定理得證. 第16頁/共35頁定理7.2.3 任意n（n 0）維歐氏空間一定有正交基，因而有標準正交基.例4 在歐氏空間 3R中對基 )3 , 0 , 2(),2 , 1 , 0(),1 , 1 , 1 (321施行正交化方法得出 3R的一個標準正交基. 31,31,31|11

8、1 解 第一步，取第17頁/共35頁第二步，先取) 1 , 0 , 1(31,31,313)2 , 1 , 0(,11221111222然后令21, 0 ,21|222第18頁/共35頁第三步，取 65,35,6521,21,212131,31,3135)3 , 0 , 2(,231133222231111333再令61,62,61|333于是 321,就是 3R的一個標準正交基. 第19頁/共35頁2122111, 第20頁/共35頁22233311(,0)22(0,0,1) 第21頁/共35頁練習1 設 ),0 , 2 , 0 , 1 (1),3 , 0 , 2 , 0(2),9 , 4

9、, 6 , 2(3試把 ),(321L4R的基的一個基,并將它標準正交化. 擴充成第22頁/共35頁練習2 設 321,標準正交基,證明: )22(313211)22(313212)22(313213也是V的一個標準正交基.是三維歐氏空間V的第23頁/共35頁三、n 維歐氏空間同構的概念及判別1n維歐氏空間同構的定義定義3 歐氏空間V與 V說是同構的，如果 (i) 作為實數(shù)域上向量空間，存在V 到 V的一個同構映射;:VVf(ii) 對于任意 ,V ，都有 ,( ),( )ff 第24頁/共35頁2n維歐氏空間同構的概念及判別定理7.2.4 兩個有限維歐氏空間同構的充分且必要條件是它們的維數(shù)相

10、等.1122nnxxx1122( )TTTnnfxxx第25頁/共35頁推論 任意n維歐氏空間都與nR同構. 111111122()()()( )( )(),( ), ( )TTnnnTTnnnnfxyxyfff kkxkxx yx yx yff 第26頁/共35頁證 122 2211 2,()()03 3333 3 第27頁/共35頁232 11222,.()()()03 33333 22211221,( )( )()1333 2222222233212,( )()( )1333122,( )()()333 第28頁/共35頁2122111,111(1,1,0,1,0)(1,0,0,0,1)( ,1,0,1,),222 11令第29頁/共35頁11223311(,0,0,0,)2210101010(,0,)105510111(0,0,)333 第30頁/共35頁151235345111010101011