仿射幾何解析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1仿射幾何解析仿射幾何解析al一.兩直線間的平行射影與仿射對應(yīng), a alllaa,A B C DaaaABCDaABCD1.平行射影或透視仿射：若直線且 , ， ,點(diǎn)A,B,C,D,過點(diǎn)A,B,C,D作直線的平行線交于，則可得直線到直線的一個映射。稱為平行射影或透視仿射，記為 T第1頁/共32頁ABCDa原象點(diǎn)： A,B,C,D 直線a上的點(diǎn)平行射影的方向：直線l透視仿射與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射OlABCDa點(diǎn) O 為自對應(yīng)點(diǎn)( 同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn) )映象點(diǎn)：,A B C Da 直線上的點(diǎn)記透視仿射T： ,T AA T BB第2頁/共32頁2.仿射（或仿射變

2、換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈122 1nnTT TT T12,21,nnT TTT 表示透視仿射鏈，T表示仿射 （如圖）1l2l1A3A2A1nAnA1B1C1D1a1na3a2ana3B2B1nBnB2C3C1nCnC2D3D1nDnD1nl第3頁/共32頁仿此，每一個對應(yīng)點(diǎn)都可以這樣表示。1122 111222nnnnnT AT TT TAT TTAA注：1.仿射是有限回的平行射影組成的2.判斷仿射是否是透視仿射的方法：對應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線是否平行3.書寫的順序與平行射影的順序是相反的二 . 兩平面的平行射影與仿射對應(yīng)：1.平行射影： T aa T AA T BB T CC如圖點(diǎn)A,B,C共

3、線a，則 共線,A B CagABCABCaal兩相交平面的交線為自對應(yīng)點(diǎn)的集合即對應(yīng)軸第4頁/共32頁平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，是透 視 仿射鏈性質(zhì)：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類而不改變）即點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)，直線對應(yīng)為直線.2.保留點(diǎn)與直線的結(jié)合性2仿射：第5頁/共32頁定義1 仿射不變性與不變量：經(jīng)過一切透視仿射不變的性質(zhì)和數(shù)量仿射圖形：經(jīng)過任何仿射對應(yīng)不改變的圖形.仿射性：經(jīng)過任何仿射對應(yīng)不改變的性質(zhì).仿射量：經(jīng)過任何仿射對應(yīng)不改變的數(shù)量.定理1：兩直線間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論平行四邊形是仿射不變的圖形.定義2簡比：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)

4、的簡比（ABC）定義為以下有向線段的比：ACABCBC當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB 上時，(ABC)0第6頁/共32頁當(dāng)點(diǎn) C 在線段 AB或 BA的延長線上時，當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)A重合時，當(dāng)點(diǎn) C 與點(diǎn)B重合時，當(dāng)點(diǎn) C 為線段 AB的中點(diǎn)時，(ABC)= -1則點(diǎn)C稱為分點(diǎn)，A,B 兩點(diǎn)稱為基點(diǎn)簡比(ABC)等于點(diǎn)C分割線段AB的分割比的相反數(shù)ACACABCBCCB 例1經(jīng)過點(diǎn)A(-3, 2)和B(6, 1)兩點(diǎn)直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡比（ABP）解:PBAP設(shè))12,163(P(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在第7頁/共32頁定理2共線三點(diǎn)的簡比是仿射不變量.定理3兩平行線

5、段之比是仿射不變量.點(diǎn)P在直線x+3y-6=0上.11)( ABPABCABClAA =BB CC =CBBABCABCBCBBABCBCABCBCABCAC)()(CBAABC要證:DCBACDAB第8頁/共32頁ABCDABCEED證明:如圖,作DE AC,=EDCA=DCEACDAE,則)(BEAEABAAEABCDAB)(AEBAEABEABADCBA簡比是仿射不變量DCBACDAB定理4一直線上兩線段之比是仿射不變量.定理5在透視仿射下，任何一對對應(yīng)點(diǎn)到對應(yīng)軸的距離之比是一個常數(shù)第9頁/共32頁gABCAB0A0A0B0B證明:設(shè)T為 到 的一個透視仿射,如圖并且 AAT BBT則A

6、A =BB 01若AB g,=BAg,則顯然成立.02若AB g,=BAg,=過A, , B , 分別引軸g的垂線AB垂足分別為,0A,0A,0B.0BCBAAB則由相似三角形得:CBCABBAA00BCACBBAA00BCACCBCA0000BBAABBAAKBBBBAAAA00000第10頁/共32頁定理2任意兩個三角形面積之比是仿射不變量.證明:分兩種情形0102特殊情形:有兩對對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)軸g上并且重合.如圖ABCCAB0C0Cg021CCABSABC002121CCABCCBASCBA kCCCCSSCBAABC00CBAABCkSS一般情形:如圖C第11頁/共32頁對應(yīng)三角形的三對

7、對應(yīng)頂點(diǎn)都不在對應(yīng)軸上,ABC與對應(yīng),三對對應(yīng)邊相交于對應(yīng)軸g上.ABCgABCXYZ由 的證明可得:01XZAYZBXYCCBASSSSAXZBYZCXYSkSkSk111)(1AXZBYZCXYSSSkABCSk1CBAABCkSSCBA第12頁/共32頁推論1在仿射變換下，任何一對對應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線所圍成的面積之比是仿射不變量第13頁/共32頁一.平面內(nèi)的透視仿射設(shè) 為平面 到平面 的透視仿射，射影方向?yàn)?.1T11l設(shè) 為平面 到平面 的透視仿射，射影方向?yàn)?.2T12l則 11T BB21TAA 11TAA 2 1T TAA 2 1T

8、 T BB21TBBg1AA1BBAB1l2l設(shè)21TTTT將 上的點(diǎn) A變換為其本身上的點(diǎn)AT將 上的點(diǎn) B變換為其本身上的點(diǎn)Baa1a1第14頁/共32頁T將 上的點(diǎn) 變換為 上的點(diǎn),將 上的直線 a 變換為 上的直線 ,即 T 保留同素性和接合性 .aT將 上的相交直線 a, b 變換為 上的相交直線 .,a bT將 上的平行直線 變換為 上的平行直線 . 和 的交線g上的每一點(diǎn)經(jīng)過T不變，且T具有仿射不變性與不變量，稱T為平面 到自身的透視仿射定理1平面內(nèi)的透視仿射由一對對應(yīng)軸與一對對應(yīng)點(diǎn)完全決定證明:設(shè)已知對應(yīng)軸g與不在其上的一對對應(yīng)點(diǎn) 為平面BAA,上任一已知點(diǎn)第15頁/共32頁定

9、理2給定平面內(nèi)的兩個三角形，至多利用三回透視仿射可使一個三角形變?yōu)榱硪粋€三角形BAXABg 連直線AB,設(shè)與對應(yīng)軸g相交于X,連X與 ,則AXAXA與 是一對對應(yīng)直線過B引 的平行直線,與B對應(yīng)的AA 點(diǎn) 就只能是這直線與 的交點(diǎn).BXA 是唯一確定的.BAABgAB=ggoABBACC第16頁/共32頁證明:把ABC平移到 使頂點(diǎn)A落在 上,把平移看作A11CBA透視仿射的特例.記為1TABCA1B1CBC對應(yīng)軸不存在,對應(yīng)邊互相平行再以直線 為透視軸,以1BACC1作為一對對應(yīng)點(diǎn)確定一個透視仿射 .2T最后以 為對應(yīng)軸 , 以 CABB1作為一對對應(yīng)點(diǎn)確定一個透視仿射 3T111CBAAB

10、CTCBACBAT112CBACBAT13123TTTT 設(shè)T為仿射變換CBAABCT且第17頁/共32頁定理3原象點(diǎn)不共線，映象點(diǎn)也不共線的三對對應(yīng)點(diǎn)決定唯一的仿射變換.若兩三角形有一對頂點(diǎn)重合,則利用兩回透視仿射就夠了.若兩三角形有兩對頂點(diǎn)重合,則利用一回透視仿射就夠了.仿射等價(jià)圖形:經(jīng)過仿射變換可以互相轉(zhuǎn)換的圖形.任意三角形是仿射等價(jià)的.證明:存在性:設(shè) 是平面內(nèi)不共線的任意三點(diǎn).,1P,2P3P, 1P ,2P3P也是不共線的任意三點(diǎn).存在一個仿射變換T使 3 , 2 , 1,iPPTii在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè) 交 于Q.PP132PP由定理2知.第18頁/共32頁1P2P3PQP1

11、P2P3PQQ P P唯一性:設(shè)存在另一個仿射 ,T 3 , 2 , 1iPPTii在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè)交PP132PP于Q PPT QQT PPT QQT TT,為仿射. 保持接合性且簡比不變都在直線 上.QQ 與32PP且有:3232PQPQPP)(3232 PQPQPP)()(322 PQPPQPQQ 第19頁/共32頁對于平面上任意一點(diǎn)P,都有 )(PTPT完全相同和TTPQPQPP11 11PQPQPP)()(11PQPPQP PP QQ 作業(yè):15P16. 1 ,15. 1第20頁/共32頁設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）。一個仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一

12、點(diǎn) ，求 P的坐標(biāo)（x,y）和 的坐標(biāo) 之間的關(guān)系。 PP,x y仿射變換T由三對對應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè) 的坐標(biāo)為 T oo00,a bX軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為 11,0E11T EE11,a by軸上的單位點(diǎn) 的映象 的坐標(biāo)為 20,1E22T EE22,a b設(shè) P在坐標(biāo)軸上 的正射影，且 ， 則T將平行四邊形 及 分別變換為平行四邊形 及 .由于T保留簡比.則1,2P P22T PP11T PP12oE EE12oPPP12o E E E12o P P P第21頁/共32頁xyO1EE2EP(x,y)1P2P00(,)O a b111(,)Ea b222(,)Ea bE,Px y1P

13、2P1111OPO PxOEO E 2222OPO PyOEO E 11O PxO E 22O PyO E 第22頁/共32頁1112O PO PP PxO EyO E 0102001020 xax aay aaybx bby bb或者寫為120120 xxyyxy 2121020110200aaaabbbb且因?yàn)?三點(diǎn)不共線， 三點(diǎn)不共線12,O E E12,O EE所以行列式不為O(1)(2)第23頁/共32頁定義1把笛氏坐標(biāo)系在仿射對應(yīng)下的象叫仿射坐標(biāo)系， 叫點(diǎn) 的仿射坐標(biāo)，記為,x yP,Px y對于斜交笛氏坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系，上面的代數(shù)式（1），（2）都成立。例1求使點(diǎn)（0，0），（

14、1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3） ,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點(diǎn)解: 7, 3,5 , 2,3 , 2,1, 1,1 , 1,0 , 0CBACBA分別代入仿射變換的代數(shù)表示式得:232221131211003002aaaaaa232221131211115112aaaaaa232221131211) 1(17) 1(13aaaaaa第24頁/共32頁, 2,21,21131211aaa3, 6, 4232221aaa仿射變換式為:36422121yxyyxx例2求仿射變換 的不變直線。71424xxyyxy 解:設(shè)所求的不變直線為:ax+by+c=0cbaybaxbac

15、ybxa424701642121第25頁/共32頁ccbabbaaba424701402047cbababa）（或014121047631 ，不存在。但對應(yīng)的直線，時，方程組恒有非零解當(dāng),001k022ba第26頁/共32頁032,23,3yxbcba不變直線為：時，方程組有非零解，當(dāng)仿射變換的特例:000),0( ,. 12aaaaayyaxx位似變換：(3)0001),0( ,. 2aaaayyxxx軸上的均勻伸縮變換：04, 0,46yxcba不變直線為：時，方程組有非零解，當(dāng)(4)第27頁/共32頁當(dāng)a=1時,(4)式是恒同變換.01cossinsincos,cossin,sincos. 300yxyyxx動。運(yùn)動變換：移與旋轉(zhuǎn)之積統(tǒng)稱為運(yùn)運(yùn)動：平移，旋轉(zhuǎn)或平11001,. 4yyxxx軸的軸反射變換：關(guān)于(1,-2)(1,2)1ABOC第28頁/共32頁求使直線x=0, y=0, x+2y-1=0分別變?yōu)橹本€x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射變換.練習(xí):解:設(shè)所求的仿射變換為222111cybxaycybxax則有:)()(