分析力學基礎（46節(jié)課件

1、分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程設：具有完整理想約束的非自由質(zhì)點系有設：具有完整理想約束的非自由質(zhì)點系有k k個自由度，個自由度，系統(tǒng)的廣義坐標為：系統(tǒng)的廣義坐標為：kqqq,21對上式兩邊求變分，有：對上式兩邊求變分，有：tqqrrNii,1ni,21kNkkiiqqrr1注意：注意：kNkkiniiqQrF11代入動力學普遍方程：代入動力學普遍方程：011niiiiiniiIiirrmFrFF 有：有：NkknikiiikniiiiiqqrrmQrrmF111 分析力學基礎（46節(jié)課

2、件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程對于完整約束系統(tǒng)，廣義坐標相互獨立，有對于完整約束系統(tǒng)，廣義坐標相互獨立，有NkknikiiikniiiiiqqrrmQrrmF111 01nikiiikqrrmQ Nk,21第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力第二項與廣義力對應，稱為廣義慣性力做兩個變換（證明略）：做兩個變換（證明略）：kikiqrqrkikiqrqrdtdkknikiiiqTqTdtdqrrm 1有：有：分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程01nikiiikqrrmQ Nk,21kknikiiiqTqTdtdqrrm 1得第二類拉格朗日方程：得

3、第二類拉格朗日方程：NkQqTqTdtdkkk,1 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程例：建立質(zhì)量為例：建立質(zhì)量為m m的質(zhì)點在重力作用下的動力學方程的質(zhì)點在重力作用下的動力學方程xyzmgNkQqTqTdtdkkk,1 解：解：1 1、系統(tǒng)的自由度為、系統(tǒng)的自由度為k=32 2、系統(tǒng)的廣義坐標：、系統(tǒng)的廣義坐標：x,y,z3 3、系統(tǒng)的動能：、系統(tǒng)的動能： 22221zyxmT 4 4、系統(tǒng)的廣義力：、系統(tǒng)的廣義力：zQyQxQWzyx 0 0 zyx 0 xQ0 0 zxy 0 yQ0 0 yxz mgQz 0 W 0 W zmgW 分析力學基礎（46節(jié)

4、課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程xyzmgzmzT 22221zyxmT zmzTdtd 0 zTmgQz mgzm gz NkQqTqTdtdkkk,1 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程OBAmg 例：長為例：長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿繞水平軸的勻質(zhì)桿繞水平軸B轉(zhuǎn)動，求其動轉(zhuǎn)動，求其動力學方程力學方程解：解：1 1、系統(tǒng)的自由度為、系統(tǒng)的自由度為k=12 2、系統(tǒng)的廣義坐標：、系統(tǒng)的廣義坐標：3 3、系統(tǒng)的動能：、系統(tǒng)的動能：4 4、系統(tǒng)的廣義力：、系統(tǒng)的廣義力： 2222613121 mlmlT QlmgW 2sin jjjQq

5、TqTdtd 2sinlmgQ sin2312mglml 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程的幾種形式第二類拉格朗日方程的幾種形式1 1、當主動力均為有勢力時、當主動力均為有勢力時kNkqqqVQ,1kkkqVqTqTdtd0kkqVTqTdtd0kkqLqLdtd設：設：L=T-V( (拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 動勢動勢) )NkQqTqTdtdkkk,1 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程OBAmg 例：長為例：長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿繞水平軸的勻質(zhì)桿繞水平軸B轉(zhuǎn)動，求其動轉(zhuǎn)動，求其動力學方程

6、力學方程解：解：1 1、系統(tǒng)的自由度為、系統(tǒng)的自由度為k=12 2、系統(tǒng)的廣義坐標：、系統(tǒng)的廣義坐標：3 3、系統(tǒng)的動能：、系統(tǒng)的動能：4 4、系統(tǒng)的勢能：、系統(tǒng)的勢能： 2222613121 mlmlT sin2312mglml cos12 lmgV5 5、拉格朗日函數(shù)：、拉格朗日函數(shù)： cos126122 lmgmlVTL0kkqLqLdtd分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程2 2、當主動力包括非有勢力時、當主動力包括非有勢力時kkNkQqqqVQ,1kkkQqLqLdtd設：設：L=T-V( (拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)) )應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)動力

7、學的基本步驟：應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)動力學的基本步驟：1、確定系統(tǒng)的自由度和廣義坐標、確定系統(tǒng)的自由度和廣義坐標2、用廣義速度和廣義坐標給出系統(tǒng)的動能和勢能、用廣義速度和廣義坐標給出系統(tǒng)的動能和勢能3、給出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)、給出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)4、確定系統(tǒng)的廣義力、確定系統(tǒng)的廣義力NkQqTqTdtdkkk,1 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程例：圖示機構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運動，勻質(zhì)桿例：圖示機構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運動，勻質(zhì)桿ABAB用光滑鉸鏈與用光滑鉸鏈與滑塊連接。求系統(tǒng)的運動微分方程?；瑝K連接。求系統(tǒng)的運動微分方程。AB=2l tFgm1gm2 0lxC解：解：

8、1 1、系統(tǒng)的自由度、系統(tǒng)的自由度 k = 2= 2， , x系統(tǒng)的廣義坐標系統(tǒng)的廣義坐標2 2、系統(tǒng)的動能和勢能、系統(tǒng)的動能和勢能22221212121 CCAJvmvmT Av CAvxvA CAACvvv coslxvCx sinlvCy222222132cos21 lml xmxmmT 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程 tFgm1gm2 0lxCAv CAv 2221cos1kxglmV 222222132cos21 lml xmxmmT VTL 3 3、求非有勢力的廣義力、求非有勢力的廣義力 kiixFWQxQ1 tFQx 0 Q4 4、建立系統(tǒng)

9、運動微分方程、建立系統(tǒng)運動微分方程kkkQqLqLdtd分析力學基礎（46節(jié)課件 1-4 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程4 4、建立系統(tǒng)運動微分方程、建立系統(tǒng)運動微分方程kkkQqLqLdtd 22222222121cos132cos21kxglmlml xmxmmVTL tFkxlmlmxmm sincos22221 0sincos2312222 glmx lmlm 分析力學基礎（46節(jié)課件 1-5 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分一、一、能量積分能量積分設：系統(tǒng)主動力為有勢力設：系統(tǒng)主動力為有勢力如果保守系統(tǒng)，且所受約束均為定常約束，拉格如果保守系統(tǒng)，且所受約束均為定常約束，

10、拉格朗日方程中不顯含時間朗日方程中不顯含時間t t即即constVT 這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律，也稱為拉這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律，也稱為拉格朗日方程的廣義能量積分格朗日方程的廣義能量積分NkqLqLdtdkk,1 0對對兩端乘以兩端乘以 ，并對，并對k求和，得求和，得 kq 02 LTdtd分析力學基礎（46節(jié)課件 1-5 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分二、二、循環(huán)積分循環(huán)積分設：系統(tǒng)主動力為有勢力設：系統(tǒng)主動力為有勢力循環(huán)坐標：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標循環(huán)坐標：拉格朗日方程中不顯含的廣義坐標qk(k=1,N)拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)：tqqqqqqLNkkN,1

11、111則則constpqTqLkkk該式稱為該式稱為循環(huán)積分循環(huán)積分pk 稱為對應于稱為對應于廣義坐標廣義坐標qk(k=1,N)的廣義動量的廣義動量pk 可以是動量、也可以是動量矩可以是動量、也可以是動量矩分析力學基礎（46節(jié)課件 1-5 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分 tFgm1gm2 xCAv CAv例：給出拉格朗日方程的初積分例：給出拉格朗日方程的初積分解：系統(tǒng)的主動力為有勢力解：系統(tǒng)的主動力為有勢力系統(tǒng)的動能和勢能分別為：系統(tǒng)的動能和勢能分別為： 222222132cos21 LmLxmxmmT cos12 gLmV拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) , xLVTL 不顯含廣義坐標不顯

12、含廣義坐標 x 和時間和時間 t分析力學基礎（46節(jié)課件 tFgm1gm2 xCAv CAv 1-5 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分 222222132cos21 LmLxmxmmT xpLmxmmqT cos221循環(huán)積分循環(huán)積分系統(tǒng)的水平動量守恒系統(tǒng)的水平動量守恒CVT 能量積分能量積分機械能守恒機械能守恒分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程設描述系統(tǒng)的位形坐標：設描述系統(tǒng)的位形坐標：nqqq,21系統(tǒng)的約束方程為：系統(tǒng)的約束方程為：對上式取變分：對上式取變分： sktrrrfnk

13、, 2 , 1 0,21 skrrfniiik, 21 01引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子,s, kk21skrrfniiikk,21 01對對k求和求和 skniiikkrrf110分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程系統(tǒng)的約束方程為：系統(tǒng)的約束方程為： sktrrrfnk, 2 , 1 0,21 交換求和順序交換求和順序 skniiikkrrf110 skniniiskikkiikkrrfrrf11110比較動力學普遍方程比較動力學普遍方程01iniiiirrmF 兩式相減，有：兩式相減，有：011iniskikkiiirrfrmF 分析力學基礎（46節(jié)課

14、件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程011iniskikkiiirrfrmF 對于完整約束系統(tǒng)，選取合適的乘子，使對于完整約束系統(tǒng)，選取合適的乘子，使01skikkiiirfrmF Ni,21帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學方程，帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學方程，即第一類拉格朗日方程即第一類拉格朗日方程 sktrrrfnk, 2 , 1 0,21 分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程xyzmg解：解：1、系統(tǒng)的約束方程、系統(tǒng)的約束方程01 xf02 zf2、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：iixxrf11021jyxrf0

15、31kzxrf012ixzrf022jyzrfkkzzrf3201skikkiiirfrmF 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的質(zhì)點被約束在光滑的水平軸的質(zhì)點被約束在光滑的水平軸y上運動，用第一上運動，用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程類拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程xyzmg2、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：irfrfrfskskkk1112211111iixxrf11021jyxrf031kzxrf012ixzrf022jyzrfkkzzrf3201skikkiiirfrmF 012s

16、kkkrfkrfskkk212分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程xyzmg2、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：、約束方程對各質(zhì)點坐標的梯度項為：01skikkiiirfrmF kmgkmgjiFi003、主動力：、主動力：irfskkk111012skkkrfkrfskkk2134、慣性力：、慣性力：kzmjymixmrmii 對對 求求 二階導數(shù)，有：二階導數(shù)，有：01 xf02 zf00zx ,分析力學基礎（46節(jié)課件1-6 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程xyzmgmg210,01skikkiiirfrmF 0001iimi000jjymj 002k

17、kmkmg01 xf02 zfctycyy, 0分析力學基礎（46節(jié)課件第一章第一章 分析力學基礎分析力學基礎：描述質(zhì)點系在空間中位置的獨立參數(shù)：描述質(zhì)點系在空間中位置的獨立參數(shù)：廣義坐標的數(shù)目：廣義坐標的數(shù)目即即 在雙側(cè)、完整約束的條件下，確定質(zhì)點系位在雙側(cè)、完整約束的條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目置的獨立參數(shù)的數(shù)目： 為廣義坐標為廣義坐標 的的變分，稱為廣義虛位移變分，稱為廣義虛位移 Nkqk, 2 , 1 kq分析力學基礎（46節(jié)課件第一章第一章 分析力學基礎分析力學基礎求廣義力的方法：求廣義力的方法：法一：解析法法一：解析法 nikiikqrFQ1kNkkqQW 1法二：幾何法法二：幾何法11qWQ 法三：保守系統(tǒng)法三：保守系統(tǒng)NjqVQjj, 2 , 1, 分析力學基礎（46節(jié)課件 01 niiIirFF 第一章第一章 分析力學基礎分析力學基礎 kjQqTqTdtdjjj, 1 1 1、當主動力均為有