2017中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)九：中考壓軸題

1、專題九：二次函數(shù)壓軸題【問題解析】中考壓軸題是中考必不可少的試題，這類題一般是融代數(shù)、幾何為一體的綜合題，或者是解決實際問 題的綜合題此類題注重對數(shù)學(xué)思想方法、探究性思維能力和創(chuàng)新思維能力的考查，涉及的知識比較多， 信息量大，題目靈活，要求學(xué)生有較高的分析問題、解決問題的能力它符合新課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要 求.從近幾年各省市中考數(shù)學(xué)壓軸題來看，作為試卷的最后一題，一般都是循序漸進地設(shè)置幾個問題，對 學(xué)生的要求一步步的抬高壓軸題涉及知識多，覆蓋面廣，綜合性強，難度系數(shù)大，關(guān)系比較復(fù)雜，解法 靈活，既考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，又考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和探索創(chuàng)新能力、解決問題能 力，是必不可

2、少的近幾年來主要以函數(shù)和幾何綜合題、二次函數(shù)與代數(shù)知識綜合應(yīng)用、一次函數(shù)與二次 函數(shù)綜合題、開放探究題等類型出現(xiàn)，【熱點探究】類型一：拋物線與三角形的綜合問題【例題1】(2016 云南省昆明市)如圖 1,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過 B (2, 0)、C(0, 4)兩點，拋物線與x軸的另一交點為A(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形COBP勺面積為S,求S的最大值；(3) 如圖2,若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點 0,使厶MQ(為等腰三角形且 MQ助【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)由對稱軸的對稱性得出點 A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的

3、解析式；(2)作輔助線把四邊形 COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S,化簡后是一個關(guān)于 S的二次函數(shù),求最值即可；(3 )畫出符合條件的 Q點，只有一種，利用平行相似得對應(yīng)高的比和對應(yīng)邊的比相等列比例式； 在直角 OCQ直角 CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍.【解答】解：(1)由對稱性得：A(- 1, 0),設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+1)( x- 2),把 C (0, 4)代入：4=- 2a,a=- 2, y= - 2 (x+1)( x - 2),設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b ,把 B (2, 0)、C ( 0,4 )代入得:2k+b=0b=4解得:k

4、=- 2直線BC的解析式為:y= - 2X+4,設(shè) M(a, - 2a+4),過A作AE丄BC,垂足為E,則AE的解析式為:1y=x+則直線BC與直線AE的交點E (1.4 , 1.2 ),設(shè) Q (- X, 0)( X 0),/ AE/ QM ABEA QBM1.1. 23-2十4 P十由勾股定理得：X2+42=2X a2+ (- 2a+4 - 4) 2,由得：a1=4 (舍)，a2=3拋物線的解析式為：y= - 2X2+2X+4 ;2(2) 如圖1,設(shè)點P ( m - 2m+2m+4，過P作PD丄X軸，垂足為 D, S=S梯形 +SPDB=m (- 2m+2m+4+4 + 丄(-2m+2m

5、+4)( 2 - m)，2 22 2S=- 2m+4m+4=- 2 (m- 1) +6,- 2V 0, S有最大值，則S大=6;(3) 如圖2,存在這樣的點 Q使厶MQC為等腰三角形且 MQ助直角三角形, 理由是：,當(dāng)滬二時，X4 ,【同步練】(2016 浙江省湖州市)如圖，已知二次函數(shù)y - x2+bx+c ( b, c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點 A (3, 1),點C( 0，4)，頂點為點 M過點A作AB/ x軸，交y軸于點D,交該二次函數(shù)圖象于點 B,連結(jié)BC.(1)求該二次函數(shù)的解析式及點 M的坐標(biāo)；(2 )若將該二次函數(shù)圖象向下平移m( m 0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在

6、厶ABC的內(nèi)部(不包括厶ABC的邊界)，求 m的取值范圍；(3)點P是直線AC上的動點，若點 P,點C,點M所構(gòu)成的三角形與 BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程).類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【例題2】2016 青海西寧12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD是以AB為直徑的O M的 內(nèi)接四邊形，點 A, B在x軸上， MBC是邊長為2的等邊三角形，過點 M作直線I與x軸垂直，交O M于點 E,垂足為點M且點D平分閔.(1) 求過A, B, E三點的拋物線的解析式；(2) 求證：四邊形 AMCD菱形；(3) 請問在拋物線上是否存在一點 P,使得 A

7、BP的面積等于定值 5?若存在，請求出所有的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【分析】(1 )根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標(biāo)，再利用頂點式求出函數(shù)解析式；(2) 利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出/AMDM CMD= / AMC=60，進而得出DC=CM=MA=ADP可得出答案；(3) 首先表示出 ABP的面積進而求出n的值，再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點坐標(biāo).【解答】(1)解：由題意可知， MBC為等邊三角形，點 A, B, C, E均在O M上，貝U MA=MB=MC=ME=2又 CQL MB MQ=BQ=1 A (- 3, 0), B ( 1, 0), E (- 1,- 2),拋物

8、線頂點E的坐標(biāo)為(-1 , - 2),設(shè)函數(shù)解析式為 y=a (x+1) 2 - 2 (0)把點 B (1, 0)代入 y=a (x+1) 2 - 2,解得：a=，故二次函數(shù)解析式為：丫=二(x+1) 2- 2;(2)證明：連接DM MBC為等邊三角形，/ CMB=60 ,/ AMC=120 ,點D平分弧AC,/ AMDM CMD=-/ AMC=60 ,2 ， MD=MC=MA MCD MDA是等邊三角形， DC=CM=MA=AD四邊形AMCC為菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形)；(3)解：存在.理由如下：設(shè)點P的坐標(biāo)為(m, n)-SA ABP-AB|n| , AB=4X 4X |n|=5

9、,即 2|n|=5 ,解此方程得：m=2, m= - 4即點P的坐標(biāo)為（2,：）,（- 4,二），當(dāng)n=-壬-時,(m+1) 2（2016 四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點 A、B、OA=1 OB=3 OC=4（1）求經(jīng)過 A B、C三點的拋物線的解析式；（2） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中是否存在一點 P,使得以以點 A B、 在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3） 若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PMC分別為坐標(biāo)軸上上的三個點，且、P為頂點的四邊形為菱形？若存AM|的最大值時點 M的坐標(biāo)，并直類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題解得：n =

10、(m+1 2 - 2=二,2此方程無解,將原拋物線先向左平移 2個單位，再向下平移 5個單位即可獲得符合條件的拋物線.把M N坐標(biāo)代入拋物線解析式可得9M3b+5 二 5【例題3】(2016 陜西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線 y=ax2+bx+5經(jīng)過點M(1，3)和 N (3，5)(1) 試判斷該拋物線與 x軸交點的情況；(2) 平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點A (- 2, 0)，且與y軸交于點B,同時滿足以 A、O B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由.(丿,V-/J_l _Lt1 /I 2345/3【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1

11、 )把M N兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；(2)利用A點坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程.【解答】解：(1) 由拋物線過M N兩點,平移后的拋物線為y=x2+x- 2,八)，該方程的判別式為= (- 3) 24X 1 X 5=9 - 20=- 11V 0,(2 ) AOB是等腰直角三角形,A (- 2, 0)，點B在y軸上, B點坐標(biāo)為(0, 2)或(0,2),可設(shè)平移后的

12、拋物線解析式為2y=x +mx+n當(dāng)拋物線過點 A (- 2, 0), B (0, 2)時，代入可得n=24 一 2nr+n_ 0平移后的拋物線為 y=x2+3x+2,該拋物線的頂點坐標(biāo)為,-=)，而原拋物線頂點坐標(biāo)為(;,114), 將原拋物線先向左平移當(dāng)拋物線過A (- 2,192,-7拋物線解析式為 y=x2 - 3x+5,令 y=0 可得 x2- 3x+5=0,拋物線與x軸沒有交點;3個單位，再向下平移 3個單位即可獲得符合條件的拋物線;2，解得rrtTl4 一 2iirbrL=0嚴(yán)-20), B ( 0,- 2)時，代入可得該拋物線的頂點坐標(biāo)為(-，而原拋物線頂點坐標(biāo)為(將原拋物線先

13、向左平移 2個單位，再向下平移 5個單位即可獲得符合條件的拋物線.【同步練】(2016 重慶市A卷 12分)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2x2+蟲ix+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C,拋物線的頂點為點 E.(1) 判斷 ABC的形狀，并說明理由；(2) 經(jīng)過B, C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng) PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點A處停止當(dāng)點 Q的運動路徑最短時，求點 N的坐標(biāo)及點Q經(jīng)過的最短路徑的

14、長；(3) 如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點 E，點A 的對應(yīng)點為點人，將厶AOC繞點0順時針旋轉(zhuǎn)至 AOC的位置，點A，C的對應(yīng)點分別為點 A，C，且點A恰好落在AC上，連接CA，CE，A A CE是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.類型四：拋物線下的動態(tài)最值問題【例題4】(2016 貴州安順 14分)如圖，拋物線經(jīng)過 A (- 1，0)，B( 5，0)，C ( 0，)三占八、(1) 求拋物線的解析式；(2) 在拋物線的對稱軸上有一點 P,使PA+PC勺值最小，求點 P的坐標(biāo)；(3) 點M為x軸上一動點，在

15、拋物線上是否存在一點N,使以A，C，M, N四點構(gòu)成的四邊形為平行四其對稱軸為直線x=-連接BC如圖1所示, B (5,設(shè)直線5_0), C(0,-),BC的解析式為y=kx+b (kz 0),5Hb=052直線BC的解析式為532 =-2 2I；【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為 y=ax?+bx+c (0),再把A (- 1, 0), B (5, 0), C( 0,2 )三點代入求出a、b、c的值即可；(2) 因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點 B的坐標(biāo)為(5，0)，連接BC交對稱軸直線于點 P,求出P點坐標(biāo) 即可；(3) 分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論.【解答】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為

16、 y=ax2+bx+c (a工0), A (- 1 , 0), B ( 5, 0), C ( 0,)三點在拋物線上，1 叵拋物線的解析式為：y= x2- 2x -;(2 )拋物線的解析式為:_L!=2 2解得當(dāng) x=2 時，y=1 -邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論.（3）存在.如圖2所示,74 當(dāng)點N在x軸下方時，拋物線的對稱軸為直線 x=2 , C （0,-）,二N （4,-工）； 當(dāng)點N在x軸上方時，如圖，過點 N2作N2D丄x軸于點D,在厶AND與 MCO中，rzwAD=zcj2o叫二叫ZB2IZK2CO ANMA MCO（ASA ,N2D=OC交，即

17、N2點的縱坐標(biāo)為2丄 5 5x2- 2x -：=,解得 x=2+ - i或 x=2 -1 , N2 （2+ 一 | , :，）, 2（2- 丨，圄）.55旦綜上所述，符合條件的點N的坐標(biāo)為（4,-戈），（2+頃，2）或（2-阪，2）【點評】 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四C.【同步練】(煙臺市2015中考-24 )如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2+bx+c與O M相交于A、B、C D四點，其中A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-1 , 0),( 0,- 2),點D在x軸上且AD為OM的直徑點E是OM與y軸的另一個交點，過劣弧| I上的點F作

18、FH丄AD于點H,且FH=1.5(1) 求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達式；(2) 若點P是x軸上的一個動點，試求出厶 PEF的周長最小時點 P的坐標(biāo)；(3) 在拋物線的對稱軸上是否存在點0,使厶QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo);如果不存在，請說明理由.類型五：拋物線下的動態(tài)存在問題2【例題5】(棗莊市2015中考-25 )如圖，直線y=x+2與拋物線y ax bx 6 (a豐0)相交于A15(2 ,2 )和B (4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC丄x軸于點D,交拋物線于點(1)求拋物線的解析式；(2) 是否存在這樣的 P點，使線段PC的長有最大值？若存在，

19、求出這個最大值；若不存在，請說明理 由;思路分析:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識解題時注意聯(lián)系，對于題(1)已知B (4, m在直線y=x+2上，很容易求得 m的值，又因為已知拋物線圖象上的 A、B兩點坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.(2)要弄清PC的長，實際是直線 AB與拋物線函數(shù)值的差.可設(shè)出P點橫坐標(biāo)，根據(jù)直線 AB和拋物(3)求厶PAC為直角三角形時點1 1 - - 2 2z/lz/lA A|7|75 5 - - 2 2B (4, 6)在拋物線y ax bx 6上,6 16a

20、 4b 6 ?解得b 8拋物線的解析式為 y2x28x 6（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為(n,n+2),2 PC= ( n +2)-( 2n8n6 ),C點的坐標(biāo)為（n2n28n 6),9 2=2(n 4)499當(dāng) n= 4 時,49線段PC最大且為8 .由題意易知，PC/ y軸，/ APC=45 ,因此這種情形不存在;則:3k b0，解得線的解析式表示出 P、C的縱坐標(biāo)，進而得到關(guān)于 PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 PC的最大值.對于題（3）當(dāng)厶PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，需要結(jié)合圖形從三種情況進行分類討論， 分別求解.解題過程：解：(1)v B (4, m)在直

21、線 y=x+2 上, m=4+2=6- B (4, 6),/ PC0,（3 ） PAC為直角三角形,i ）若點P為直角頂點，則/ APC=90ii ）若點A為直角頂點，則/ PAC=90 .5如答圖3 - 1,過點A ( 2 , 2 )作ANLx軸于點N,則0N 0)，在點M的運動過程中，當(dāng)t為何值時，/ OMB=90 ?(4) 在x軸上方的拋物線上，是否存在點P,使得/ PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；類型六：拋物線與相似的綜合問題【例題6】(煙臺市2014中考-26 )如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt ABC的頂點A，C分別在y軸,x 軸上，/ ACB=9C ， OA=_；，

22、拋物線 y=ax2- ax - a 經(jīng)過點 B (2，點B關(guān)于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由;【解析】(1)把點B的坐標(biāo)代入拋物線的表達式即可求得.(2)通過CFB求得OC的值，通過 OCDA FCB得出DC=CB/ OCD2 FCB然后得出結(jié)論.(3)設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，求得與拋物線的交點E的坐標(biāo)，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果.(2)連接ED,試說明ED/ AC的理由.【解答】 解：(1)把點B的坐標(biāo)代入拋物線的表達式，得=ax 22- 2a - a,(2)連接CD過點B作 BF丄 x 軸于點 F,則/ BCF+Z CBF=90ACB=90 ,ACOy BCF=90

23、,ACOy CBF,AOCy CFB=90 , AOC CFB竺二OF BF，設(shè)OC=m貝U CF=2- m 則有上L=弓,2-r V33解得m=m=1. OC=CF=1當(dāng) x=0 時，y=-,3 BF=OD y DOCy BFC=90 , DC=CBZ OCDy FCB解得a=_J,拋物線的表達式為y=1x2 -二.333點B C D在同一直線上,點B與點D關(guān)于直線AC對稱,點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上.(3)過點E作EGL y軸于點 G 設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，則52k+b解得:x+.二代入拋物線的表達式-x+h?=-X2 -x -：sTy=k=-二,解得x=2或x= -

24、2,習(xí)x+岳-寫33點 E的坐標(biāo)為(-2,-),當(dāng) x= - 2 時 y=-X(-2) +/ tan / EDG旦=.- 丄/ EDG=30:tan 丄 OAC,/ OAC=30 ,/ OACM EDG【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對稱軸的性質(zhì)和解三角函數(shù) 等知識的理解和掌握.【同步練】(2016 湖北荊門14分)如圖，直線y=-寸幸+2 .二與x軸，y軸分別交于點 A點B,兩動點D, E 分別從點A點B同時出發(fā)向點O運動(運動到點 O停止)，運動速度分別是 1個單位長度/秒和一；個單位 長度/秒，設(shè)運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點 E,過點E作x

25、軸的平行線，與拋物線的另一 個交點為點G,與AB相交于點F.(1) 求點A,點B的坐標(biāo)；(2) 用含t的代數(shù)式分別表示 EF和AF的長；(3) 當(dāng)四邊形ADEF為菱形時，試判斷厶 人卩6與厶AGB是否相似，并說明理由.(4 )是否存在t的值，使 AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說10: 00之后來的游客較少【達標(biāo)檢測】1.(2016 湖北黃石 8分)科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園.如圖所示，圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從 & 30開門后經(jīng)過的時間(分鐘)，縱坐標(biāo)y表示到達科技館的總?cè)藬?shù)圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為 可忽略不計.(1 )請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式

26、；(2)為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待從10:30開始到12: 00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到 624人時，館外等待的游客可全部進入請問館外游客最多等待多少分鐘？珂人（2）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，求a的值及拋物線屮的解析式；（3）在（2）的條件下，連接 DC,線段DC上的動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運動到 點C停止，在點P運動的過程中，過點 P作直線I丄x軸，將矩形ABDE沿直線I折疊，設(shè)矩形折疊后相互重 合部分面積為S平方單位，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系.4.（2016 黑龍江齊齊哈爾

27、8分）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點 A和點B,與y軸交于點C,且點A的坐標(biāo)為（-1, 0)（2 ）直接寫出B、C兩點的坐標(biāo);(3)求過0,B, C三點的圓的面積.（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）y=ax2+bx+c （a豐0）的頂點坐標(biāo)為（-_b_2a，y=x2 - 2x- 3的圖象與x軸交于 A、（1）求拋物線的解析式;5.（棗莊市2014中考-25 ）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)B兩點，與y軸交于點C,連接BC,點D為拋物線的頂點，點 P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）（1）求/ OBC的度數(shù);注：二次函數(shù)A (- 1, 0 )、B (2,

28、0)、C ( 0, 2)三點.P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面D, M為拋物線的頂點，那么在直線DE上(2) 連接CD BD DP,延長DP交x軸正半軸于點 E,且Sc=S四邊形OCDB求此時P點的坐標(biāo);(3)過點P作PF丄x軸交BC于點F,求線段PF長度的最大值.26.(郴州市2014中考-26 )已知拋物線 y=ax +bx+c經(jīng)過(1) 求這條拋物線的解析式;(2) 如圖一，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點積最大？求出此時點 P的坐標(biāo);(3)如圖二，設(shè)線段 AC的垂直平分線交x軸于點E,垂足為是否存在一點 6使厶CMG勺周長最??？若存在，請求出點7.(2016 湖北荊州

29、 14分)閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平 行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”.例如，點M( 1, 3)的特征線有：x=1, y=3,y=x+2, y= - x+4.9、 :CXB/ 1/O:A1 ;/0A-X備用圖問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC點B在第一象限，A C分別在x軸和y軸上,拋物線: : I 二經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部.(1) 直接寫出點D ( m n)所有的特征線；(2) 若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；(3) 點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接 0P,將厶OAP沿著0P折疊，點A

30、落在點A的位置，當(dāng)點A在平行于坐標(biāo)軸的 D點的特征線上時，滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上?G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.ABC8.(2016 福建龍巖 14分)已知拋物線 y-2 x2 bx c與y軸交于點C,與x軸的兩個交點分別為 A (- 4, 0), B (1, 0).(1)求拋物線的解析式；(2) 已知點P在拋物線上，連接 PC PB,若厶PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；(4) 已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以 A, C, E, F為頂點的四邊形是平行四邊形？若 存在，請直接寫出點 E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【參考答案】

31、類型一：拋物線與三角形的綜合問題【同步練】(2016 浙江省湖州市)如圖，已知二次函數(shù)y= - x2+bx+c ( b, c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點 A (3, 1),點C (0,4),頂點為點M過點A作AB/ x軸，交y軸于點D,交該二次函數(shù)圖象于點B,連結(jié)BC.(1)求該二次函數(shù)的解析式及點 M的坐標(biāo)；(2 )若將該二次函數(shù)圖象向下平移m( m 0)個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在厶的內(nèi)部(不包括厶ABC的邊界)，求 m的取值范圍;(2 )點M是沿著對稱軸直線 x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點 M在向下(3)由題意分析可得/ MCP=90，則若 PCM

32、WA BCD相似,則要進行分類討論，分成PCMTA BDCb=2c=4解得(3)點P是直線AC上的動點，若點 P,點C,點M所構(gòu)成的三角形與 BCD相似，請直接寫出所有點 Pb、c的值，通過配方法得到點 M的坐標(biāo);平移時與AC AB相交時y的值，即可得到 m的取值范圍;或厶PCMh CDB兩種，然后利用邊的對應(yīng)比值求出點坐標(biāo).【解答】 解：(1)把點A (3, 1)，點C (0, 4)代入二次函數(shù)y= - x2 3+bx+c得, -32-b3b+c=lL c二4把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)= - x+4解得y=3，則點E坐標(biāo)為(1, 3),點F坐標(biāo)為(1,-)；(1)將點A、點C的坐標(biāo)代入函數(shù)

33、解析式，即可求出【分析】(2)設(shè)直線AC解析式為1)點M的坐標(biāo)為(1,y=kx+b，把點 A (3, 1), C (0, 4)代入得,解得 如圖所示，對稱軸直線 x=1與厶ABC兩邊分別交于點 E、二次函數(shù)解析式為配方得y= -( x - 1)2y= - x +2x+4,2+5,若有 PCMhA BDC則有MC _CDCFCF BDBD把y=5代入y= - x+4解得x= - 1，則點N坐標(biāo)為（-1, 5）, / NG=GC GM=G, / NCGM GCM=45 ,/ NCM=90 ,由此可知，若點 P在AC上，則/ MCP=90，則點D與點C必為相似三角形對應(yīng)點/ BD=1, CD=3 C

34、P坐匹一返竺返CD3_ 3，/ CD=DA=3 / DCA=45 , 若點P在y軸右側(cè)，作PHL y軸,/ PCH=45 , CP=-3 P2 ( CP= =3 PH=3 . J 一=3,二 MC#H/+CG 肚 JlJld 屈把x= PH二:3-代入 y= - x+4，解得 y=11）；同理可得，若點P在y軸左側(cè)，則把x=-代入y= - x+4，解得若有 PCMhA CDB 則有MC _BDCP P若點P在y軸右側(cè)，把x=3 代入 y= - x+4，解得 y=1;若點P在y軸左側(cè)，把x= - 3 代入 y= - x+4，解得 y=7 P3 (3, 1); P4 (- 3, 7)(2016 四

35、川眉山)已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點，且(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中是否存在一點P,使得以以點 A B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【同步練】OA=1 OB=3 OC=4(1)求經(jīng)過 A B、C三點的拋物線的解析式;在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由;(3) 若點M為該拋物線上一動點，在(2)的條件下，請求出當(dāng)|PM- AM|的最大值時點 M的坐標(biāo)，并直y=ax2+bx+c,把A, B, C三點坐標(biāo)代入求出 a, b, c的值，即可確(2) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中存在一點P,使得以點A、B、C P為

36、頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA OB OC的長，禾U用勾股定理求出 BC與AC的長相等，只有當(dāng) BP與AC平行且相等時，四邊形 ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標(biāo)，確定出 P坐標(biāo)，當(dāng)點P在第二、三象限時，以點 AB C P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形;(3)利用待定系數(shù)法確定出直線 PA解析式，當(dāng)點 M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM- AM|V PA 當(dāng)點 M與點P、A在同一直線上時，|PM- AM|=PA當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PM- AM|的值最大，即點 M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線 AP與拋物線解析式，求

37、出當(dāng)|PM-AM|的最大值時M坐標(biāo)，確定出|PM-AM|的最大值即可.【解答】 解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c,/ A (1, 0)、B ( 0, 3 )、C (- 4, 0),16a_ 4krl-c=0解得：a= - , b=- , c=3,44經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=- x2-= x+3;44(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中存在一點P,使得以點A、B、C P為頂點的四邊形為菱形，理由為:7).所有符合題意得點P坐標(biāo)有4個，分別為PL 113 3)P (113),P2(_TJ T),P3 (3, 1), P4 (- 3,定出所求拋物線解析式;/ OB=3 OC=4 OA=1, BC=AC=5當(dāng)BP平行且等于AC時，四邊形 ACBP為菱形，當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時,解方程組 BP=AC=5且點P到x軸的距離等于 OB點P的坐標(biāo)為(5, 3),當(dāng)點P在第二、三象限時，以點 A B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形,則當(dāng)點P的坐標(biāo)為(5，3)時，以點 A B C P為頂點的四邊形為菱形；(