第一章 微觀粒子的狀態(tài)

1、岳賢軍南通大學電子信息學院電子工程系 固體電子學導論 概述概述 量子力學 統(tǒng)計力學 固體物理 半導體物理 固體電子學導論 第一章第一章 微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài) 第二章第二章 晶體中晶體中電子電子的狀態(tài)的狀態(tài) 第三章第三章 晶體中晶體中原子原子的狀態(tài)的狀態(tài) 第四章第四章 常見晶體的結構及物理性質(zhì)常見晶體的結構及物理性質(zhì) 主要章節(jié)主要章節(jié) 量子力學量子力學 統(tǒng)計物理統(tǒng)計物理 固固 體體 物物 理理 粒子：指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。 粒子運動狀態(tài)：指力學運動狀態(tài)。 經(jīng)典描述：遵從經(jīng)典力學的運動規(guī)律。 量子描述：遵從量子力學的運動規(guī)律。 1.1 粒子運動狀態(tài)的描述粒

2、子運動狀態(tài)的描述 第一章第一章 微觀粒子的狀態(tài)微觀粒子的狀態(tài) 在分析力學中，一般把以廣義坐標和廣義動量為自 變量的能量函數(shù)寫成H（哈密頓）函數(shù) ( ,),(1,2, ) ii H q pir 粒子的運動滿足正則運動方程 ,(1,2, ) ii ii HH qpir pq 一組 數(shù)值完全確定了這個系統(tǒng)的一個運動 狀態(tài)，這就是微觀運動狀態(tài)微觀運動狀態(tài)。 ii pq , 1.1 粒子運動狀態(tài)的描述粒子運動狀態(tài)的描述 微觀運動狀態(tài)的描述：微觀運動狀態(tài)的描述：使用粒子坐標和動量的描述方 法，也可借助幾何表示法討論力學體系運動狀態(tài)。 1.1.1 空間空間(相空間相空間) 設粒子的自由度為r，經(jīng)典力學告訴我

3、們，粒子在任一時刻的 力學狀態(tài)由粒子的r個廣義坐標q1, q2,qr和與之共軛的r個 廣義動量p1,p2,.pr在該時刻的數(shù)值確定。粒子的能量是其 廣義坐標和廣義動量的函數(shù)： 如果存在外場，還是描述外場參量的函數(shù)。 為了形象地描述粒子的力學運動狀態(tài)，用q1, q2,qr; p1,p2,.pr共2r個變量為直角坐標，構成一個2r維空間，稱為 空間空間。粒子在某一時刻的力學運動狀態(tài)可用空間中的一點表 示，稱為粒子力學運動狀態(tài)的代表點代表點。當粒子的運動狀態(tài)隨時 間改變時，代表點相應地在空間中移動，描畫出一條軌道， 稱為相跡相跡。 1;1 (,) rr qq pp 粒子在空間的描述： 由N個粒子組成

4、的系統(tǒng)在某一時刻的一個特定的微觀 狀態(tài)，在空間中用N個代表點表示。隨著時間的變化 ，系統(tǒng)運動狀態(tài)的變化由N個代表點在空間中的N條 運動軌跡，即N條線代表。 1.1.1 空間空間(相空間相空間) 空間性質(zhì)： i) 空間是人為想象出來的超越空間，是個相空間相空間。引 進它的目的在于使運動狀態(tài)的描述幾何化、形象化，以 便于進行統(tǒng)計?？臻g中的一個代表點是一個粒子的微 觀運動狀態(tài)而不是一個粒子。 ii) 在經(jīng)典力學范圍，在無相互作用的獨立粒子系統(tǒng)中 ，任何粒子總可找到和它相應的空間來形象地描述它 的運動狀態(tài)，但不是所有的粒子的運動狀態(tài)可以在同一 空間中描述。 1.1.1 空間空間(相空間相空間) 1.

5、粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述（坐標，動量）粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述（坐標，動量） 3rns 粒子自由度 ,1, 2, ii qpir 力學運動狀態(tài) 哈密頓量 1212 ,;, rr q qqp pp r個廣義坐標 r個廣義動量 空間 (2r維相空間) 自由度 r 單粒子狀態(tài) 及其演變過程 空間中的 點和曲線 n-粒子的數(shù)目， s-束縛條件個數(shù) 3r , , ;, xyz x y z ppp 222 1 2 xyz Hppp m 2. 例子例子自由粒子自由粒子 zmppymppxmpp zyx 321 ,x p x L x p x p 自由粒子：不受外力作用而自由運動的粒子。以單 原子分子為例，有3個自

6、由度，設其質(zhì)量為m，需要6 個量確定它的運動狀態(tài)。 3.例子例子線性諧振子線性諧振子 分子內(nèi)原子的振動，晶 體中原子或離子在其平 衡位置附近的振動都可 看作簡諧運動。 彈性力 ： 圓頻率 ： Axf mA 1r q p 2 2 m 2m 能量恒定的軌跡為橢圓 3.例子例子線性諧振子線性諧振子 xq xmpp x 2 2 2 22 22 1 22 pA x m p mx m 1 22 2 22 m x m p 1. 經(jīng)典物理經(jīng)典物理 成成 就就 舉舉 例例 牛頓力學牛頓力學支配天體和力學對象的運動；支配天體和力學對象的運動； 楊氏衍射實驗楊氏衍射實驗確定了光的波動性；確定了光的波動性； Maxw

7、ell方程組的建立方程組的建立把光和電磁現(xiàn)象建立在牢把光和電磁現(xiàn)象建立在牢 固的基礎上；固的基礎上； 統(tǒng)計力學統(tǒng)計力學的建立的建立引入統(tǒng)計方法，關注大量粒子運引入統(tǒng)計方法，關注大量粒子運 動的整體效果。動的整體效果。 1.1.2 微觀粒子的量子描述微觀粒子的量子描述量子力學量子力學 一旦深入到分子、原子領域，一些實驗事實和經(jīng)典理論發(fā)生矛一旦深入到分子、原子領域，一些實驗事實和經(jīng)典理論發(fā)生矛 盾或無法理解。盾或無法理解。 黑體輻射、光電效應、氫原子光譜黑體輻射、光電效應、氫原子光譜 存在與經(jīng)典物理學的概念完全不相容的嶄新的實驗事實存在與經(jīng)典物理學的概念完全不相容的嶄新的實驗事實 a. 輻射的微粒

8、性；輻射的微粒性； b. 物質(zhì)粒子的波動性；物質(zhì)粒子的波動性； c. 物理量的物理量的“量子化量子化”，即測量值取分立值或某些確定值，即測量值取分立值或某些確定值 2. 量子的發(fā)現(xiàn)量子的發(fā)現(xiàn) 3. 量子力學的誕生量子力學的誕生 什么是量子力學什么是量子力學? 研究微觀粒子運動規(guī)律的理論研究微觀粒子運動規(guī)律的理論 微觀粒子：分子、原子、原子核微觀粒子：分子、原子、原子核(質(zhì)子、中子質(zhì)子、中子)、 電子電子、光子光子等。等。 德布羅意：德布羅意：物質(zhì)波假設物質(zhì)波假設 p h 海森堡：海森堡：矩陣形式的量子理論矩陣形式的量子理論 等價 薛定諤 泡利 約爾 證明 4. 正統(tǒng)解釋正統(tǒng)解釋波函數(shù)波函數(shù) 波

9、動方程波動方程矩陣力學矩陣力學 連續(xù)的波分立的粒子 1). 概率波原理概率波原理 2 ),(tr 波恩解釋：波恩解釋：波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波函數(shù)在空間某一點波函數(shù)的統(tǒng)計意義是波函數(shù)在空間某一點 的強度的強度 和在該點找到粒子的幾率成正比。和在該點找到粒子的幾率成正比。 實驗證明實驗證明 對于一個電子雖然不能知道它一定在照片上哪一對于一個電子雖然不能知道它一定在照片上哪一 點出現(xiàn)，但由波函數(shù)的強度分布，可知道它在照片上點出現(xiàn)，但由波函數(shù)的強度分布，可知道它在照片上 各點出現(xiàn)的幾率。各點出現(xiàn)的幾率。-波恩解釋。波恩解釋。 2). 測不準原理測不準原理 海森堡提出測不準原理（不確定性原理），解釋波動性

10、和粒子海森堡提出測不準原理（不確定性原理），解釋波動性和粒子 性實驗現(xiàn)象的矛盾起源。性實驗現(xiàn)象的矛盾起源。 hqp htE P 動量，q位置 E能量， t時間推論推論 例，電子的單縫衍射例，電子的單縫衍射 實驗實驗 hpx x h=6.62610-34 J.S - 普朗克常數(shù)普朗克常數(shù) 判定常數(shù)：判定常數(shù)：h=6.62610-34 J.S - 普朗克常數(shù)普朗克常數(shù) 量子力學的應用范圍量子力學的應用范圍 體系的作用量體系的作用量= 能量能量 時間時間 = 動量動量 長度長度 =角動量角動量角度角度 測不準原理并提供了衡量微觀問題和宏觀問題的界限測不準原理并提供了衡量微觀問題和宏觀問題的界限 h

11、x phx m vhx v m 例一例一:氫原子中的電子氫原子中的電子 8 10/ h v m x 厘米 秒 與電子本身運動的速度相比是同一數(shù)量級與電子本身運動的速度相比是同一數(shù)量級. 基態(tài)基態(tài) v108厘米厘米/秒，秒， x10-8厘米，厘米， m=910-28克，克， h=6.63 10-27爾格秒爾格秒 例二例二:陰極射線管中的電子束陰極射線管中的電子束,電子速度電子速度v108厘米厘米/秒秒,設設 測量電子速度的精度為千分之一測量電子速度的精度為千分之一,即即 v105厘米厘米/秒秒 厘米 5 10 vm h x 該值在陰極射線管實驗的該值在陰極射線管實驗的精度要求下精度要求下可以忽略

12、可以忽略.同樣是同樣是 電子電子,這種條件下這種條件下,可以當作可以當作經(jīng)典粒子來經(jīng)典粒子來處理處理. 3). 互補原理互補原理 波爾：一些經(jīng)典概念的應用不可避免的排除另一些經(jīng)典波爾：一些經(jīng)典概念的應用不可避免的排除另一些經(jīng)典 概念的應用。概念的應用。 波動性和粒子性互補。真正的物質(zhì)特性只有一個，波動性和粒子性互補。真正的物質(zhì)特性只有一個，波粒二象性波粒二象性。 但每次測量中只可能表現(xiàn)出一面。但每次測量中只可能表現(xiàn)出一面。 電子雙縫干電子雙縫干 涉實驗涉實驗 坍縮：許多科學家相信，量 子態(tài)是無法精確測量的。一 旦被測量，量子物體就會發(fā) 生“坍縮”，從擁有多種可 能位置的狀態(tài)變成類似經(jīng)典 物體的

13、單一位置。 1.2 單個微觀粒子的狀態(tài)單個微觀粒子的狀態(tài)定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 ()0(1,2,3, ) ii dLL ir dtqq 多質(zhì)點體系動力學的普適動力學方程多質(zhì)點體系動力學的普適動力學方程拉格朗日拉格朗日 方程方程 拉格朗日力學 哈密頓力學 演變啟發(fā) 薛定諤方程 函數(shù)函數(shù)H稱為哈密頓量或者能量函數(shù)稱為哈密頓量或者能量函數(shù) 1 r ii i HLp q , ii ii HHLH qp pqtt 哈密頓正則方程 哈密頓哈密頓雅可比方程雅可比方程 1212 0 , rr S H t SS q qqt 一一. 哈密頓力學哈密頓力學 微觀粒子的運動方程微觀粒子的運動方程 二二.薛定諤方

14、程薛定諤方程 薛定諤(奧地利) Erwin Schrodinger (1887-1961) 薛定諤的貓 1.薛定諤方程的一般表示式薛定諤方程的一般表示式 t , rrV m2t t , r i 2 2 粒子的勢能函數(shù)其中 rV, zyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k m E 22 , 2 ix tx t tm x , i kxt x tAe , i kxt x tAe t i 2 2 2 2m x E m p E 2 2 自由粒子自由粒子 非自由粒子？非自由粒子？ 三維？三維？ t , rrV m2t t , r i 2 2 三維三維 E能量算符能量算符 2 2 V 2 r m

15、自由粒子：自由粒子： 力場中的粒子：力場中的粒子： 2 2 p E m rV m2 p E 2 i t 歸一化常數(shù)歸一化常數(shù) D和 （r，t）稱為歸一化波函數(shù)）稱為歸一化波函數(shù) ),(trC 其中波函數(shù)滿足歸一化條件其中波函數(shù)滿足歸一化條件 1| 2 dV V C 例例 一維運動的粒子，描寫其狀態(tài)的波函數(shù)為一維運動的粒子，描寫其狀態(tài)的波函數(shù)為 axx a Ae axx tx E i 0sin , 00 , E和和a是確定的常數(shù)，是確定的常數(shù)，A是任意常數(shù)，求是任意常數(shù)，求（1）歸一）歸一 化波函數(shù)；（化波函數(shù)；（2）幾率分布密度；（）幾率分布密度；（3）粒子在何處出）粒子在何處出 現(xiàn)的幾率最大

16、？現(xiàn)的幾率最大？ a A a xdx a a 2 2 1sin 2 0 2 2 歸一化常數(shù) A AA A 得得到到1 1, ,d dx xt tx x, ,由由歸歸一一化化條條件件1 1解解 2 2 a ax x0 0 x x a a sinsine e a a 2 2 a ax x0,0,x x0 0 t tx,x,歸一化波函數(shù)為歸一化波函數(shù)為i iEt a ax x0 0 x x a a sinsin a a 2 2 a ax x0,0,x x0 0 x xx xw w幾率密度幾率密度2 2 2 2 2 2 . .處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率最大 2 2 a a 所以在x所以在x

17、2 2 a a x x0 0 x x a a sinsin a a 2 2 dxdx d d 令令3 3 2 2 當粒子或系統(tǒng)受到外界不隨時間變化的作用當粒子或系統(tǒng)受到外界不隨時間變化的作用,即勢即勢 函數(shù)函數(shù)V (r)不依賴時間變化不依賴時間變化-定態(tài)定態(tài). 代入薛定諤方程式令,tfrtr 2. 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 rrVr m2r 1 dt tdf tf i 2 2 有=E rErrV m2 2 2 -定態(tài)薛定諤方程 t E Cetf 最后得最后得: rErH rV m2 H 2 2 則令 哈密頓算符H 波函數(shù)應滿足的標準化條件波函數(shù)應滿足的標準化條件 (1)波函數(shù)是有限的波函數(shù)

18、是有限的. (2)波函數(shù)是單值的波函數(shù)是單值的. (3)波函數(shù)以及它對坐標的一階微商是連續(xù)的波函數(shù)以及它對坐標的一階微商是連續(xù)的. 三三. 物理量與算符物理量與算符 1.算符算符 經(jīng)典：基本物理量位置經(jīng)典：基本物理量位置 r、動量、動量p、勢能、勢能v 量子：位置算符量子：位置算符 、動量算符、動量算符 、勢能算符、勢能算符 不確定 r p V 由定態(tài)薛定諤方程看出：由定態(tài)薛定諤方程看出： 哈密頓量H=T+V rV m2 H 2 2 哈密頓算符 2 2 m2 T VV 動能算符 勢能算符 rr i p VV 衍生算符衍生算符 p r L 角動量算符動能算符 m2 p T 2 V m2 p H

19、2 能量算符（哈密頓算符） 力算符 VF 速度算符 m p v 加速度算符 m V a 基本算符基本算符 2.概率波與經(jīng)典物理量概率波與經(jīng)典物理量 微觀粒子的觀測量微觀粒子的觀測量= =該量的平均值該量的平均值 任一函數(shù)f的平均值可表示為： df f * 例： 位置的平均值 動量的平均值 drr * dip * 概率分布隨時間變化規(guī)律概率分布隨時間變化規(guī)律 概率流密度概率流密度 由含時間的薛定諤方程得到由含時間的薛定諤方程得到 0J t w )( m2 i -J 概率流密度概率流密度 上式兩邊同乘m 質(zhì)量守恒定律 上式兩邊同乘e 電荷守恒定律 上式兩邊同乘N 粒子數(shù)守恒定律 2 ) t , r

20、 (C d dW ) t , r (w 1.一維無限深勢阱一維無限深勢阱 2.一維線性諧振子一維線性諧振子 3.氫原子氫原子 4.勢壘貫穿勢壘貫穿 四四.定態(tài)問題的幾個實例定態(tài)問題的幾個實例 熟悉微觀粒子波函數(shù)的求解熟悉微觀粒子波函數(shù)的求解, ,分析所得結果的物理意義分析所得結果的物理意義, , 初步了解微觀粒子運動的主要規(guī)律。初步了解微觀粒子運動的主要規(guī)律。 rErrU m 2 2 2 定態(tài)薛定諤方程 一維無限深勢阱一維無限深勢阱一維線性諧振子一維線性諧振子氫原子氫原子勢壘貫穿勢壘貫穿 1 .一維無限深勢阱一維無限深勢阱 axx ax xU , 0 00 0 解 在區(qū)，U（X）=0，則定態(tài)薛

21、定諤方程為 xEx dx d m 2 22 2 0 2 2 2 2 2 2 xkx dx dmE k 有令 kxCBeAex ikxikx sin 通解 x a nCx sin ，那末 00sin000C 0sin01,2,aaCkaknn a 再利用歸一化條件： a Cdxx a nC a 2 1sin 2 0 利用波函數(shù)連續(xù)條件：利用波函數(shù)連續(xù)條件： 2 sin0 00, aa nxxa x xxa 最后得： 取分立值 a nkn mam k E 2 2 2222 22 結果分析：結果分析： （3） * 能級分布不均勻。能級分布不均勻。 *能量量子化與阱寬能量量子化與阱寬a有密切關系。有密

22、切關系。 *n時，能級密集分布，趨于經(jīng)典情況。時，能級密集分布，趨于經(jīng)典情況。 12 2 2 22 1 n ma EEE nnn （1）能量量子化。）能量量子化。 （2）最小能量不為零。）最小能量不為零。 取分立值 a nkn mam k E 2 2 2222 22 2.一維線性諧振子一維線性諧振子 將將V(x)代入定態(tài)薛定諤方程，得代入定態(tài)薛定諤方程，得 Exm dx d m 22 2 22 2 1 2 m為振子質(zhì)量，為振子質(zhì)量， 為振動的角頻率為振動的角頻率 2 1 E m x令 0 2 2 2 d d 方方程程變變?yōu)闉?22 1 2 ( )V xmx勢能 漸近方程為漸近方程為 2 2 2

23、 0 d d () 2 D e 1 2 令令 2 1 2 ( )( )HD eH 有有 2 2 2(1)( )0 d HdH H dd 21n 11 () 22 En 最后解得：最后解得： nnn HeNx 2 2 1 （1）能量量子化。）能量量子化。 （2）最小能量不為零。）最小能量不為零。 （3） En=h能量等間距分布能量等間距分布 結果分析：結果分析： 22 1 e d d eH n n n n 其中 12016032 124816 ,128, 24 ,2, 1 35 5 24 4 3 3 2 2 10 H H HH HH 2 , 1 , 0 2 1 2 1 nnhnEn （4）不同的

24、）不同的n對應不同波函數(shù)，對應不同波函數(shù)，n很大時，趨于經(jīng)典情況很大時，趨于經(jīng)典情況 （4）n很大時趨于經(jīng)典情況很大時趨于經(jīng)典情況 按照經(jīng)典力學的觀點，按照經(jīng)典力學的觀點， 區(qū)是粒子不可能到達的區(qū)是粒子不可能到達的 區(qū)域。區(qū)域。量子力學可以證明量子力學可以證明， 即使即使EU時，粒子也有一時，粒子也有一 定的幾率穿過勢壘而到達定的幾率穿過勢壘而到達 區(qū)。區(qū)。 勢壘貫穿勢壘貫穿 0 0 00, Uxa U x xxa E m kk dx d 2 2 1 2 1 2 2 2 0 區(qū) EU m kk dx d 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 區(qū) E m kk dx d 2 2 3 2 3 2

25、 2 2 0 區(qū) 相應地解分別為：相應地解分別為： xikxik eAeA 11 21 xkxk eBeB 22 21 xikxik eCeC 33 21 入射幾率入射幾率A A 2 2 1 1 反射幾率反射幾率A A 2 2 2 2 透射幾率透射幾率C C 2 2 1 1 可得到可得到的關系,的關系,C C, ,A A, ,可確定A可確定A連續(xù),連續(xù), dxdx d d 由由, , 1 12 21 1 ) 0 U E 0 U16E 0 (D E EU U2m2m 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 2a2a e eD D A A C C D D透射系數(shù)透射系數(shù) 結論：結論：微觀粒

26、子的能量微觀粒子的能量EU0時，存在穿透勢壘時，存在穿透勢壘 的可能性。穿透系數(shù)由的可能性。穿透系數(shù)由m、（、（ U0 -E）以及以及a決定。決定。 勢壘穿透（也稱隧穿效應）是一種微觀效應，是勢壘穿透（也稱隧穿效應）是一種微觀效應，是 微觀粒子波動性的典型表現(xiàn)，微觀粒子波動性的典型表現(xiàn)， E EU U2m2m 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 2a2a e eD D A A C C D D dxx b a E E) )U U2m2m 0 0 2 2 e eD DD D ( 任意形狀勢壘任意形狀勢壘 例例,各向同性的介質(zhì)在外電場中的極化問題各向同性的介質(zhì)在外電場中的極化問題 質(zhì)量為

27、質(zhì)量為 、電荷為、電荷為e 的離子是在平衡位置附近作簡諧振動。的離子是在平衡位置附近作簡諧振動。 現(xiàn)沿現(xiàn)沿x軸方向加一均勻電場軸方向加一均勻電場 ，則離子在此方向，則離子在此方向 為：為： H 五五. 微擾問題微擾問題 電中性介質(zhì)的電中性介質(zhì)的”分子分子”可以看可以看 成是正負電荷的復合體成是正負電荷的復合體,在平衡在平衡 位置做小振動位置做小振動,外場下外場下,正負電荷正負電荷 平均位置發(fā)生位移平均位置發(fā)生位移,不在重合不在重合. 微擾 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 （1）EH 設設 )2()1()0( )2()1()0( 0 EEEE HHH （2） （3） （4） 將（將（2）、（）、（

28、3）、（）、（4）代入（）代入（1）式，比較兩）式，比較兩 端端同級同級的量的量 零級近似零級近似 (2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0) 0 HHEEE 一級近似一級近似 二級近似二級近似 （5） （6） （7） 下面逐級求解。下面逐級求解。 (0)(0)(0) 0 HE (1)(0)(0)(1)(1)(0) 0 HHEE 012 0 012012 HH EEE EH 求解微擾問題，必須分兩種情況考慮：求解微擾問題，必須分兩種情況考慮： 無微擾時體系處于非簡并態(tài)（無微擾時體系處于非簡并態(tài)（ 非簡并）非簡并） )0( k E （1）非簡并微擾）非簡并微擾 （2）簡并微擾）簡并微擾 無

29、微擾時體系處于簡并態(tài)（無微擾時體系處于簡并態(tài)（ 是簡并的）是簡并的） )0( k E 2 4 2 2 1 s n me n E (1)求任一非簡并能級求任一非簡并能級k的的零級近似零級近似：(如如,諧振子諧振子) )0()0( )0()0( k k EE 代入上式，并注意到代入上式，并注意到 (2)求任一非簡并能級求任一非簡并能級k的的一級近似一級近似： 將將 ) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0( 0 ) 1 ( kn n nk n knn EaEHHa ) 0() 1 () 1 () 0() 0() 1 ( 0 EEHH n nn a )0()1()1( 1.非簡并定

30、態(tài)微擾非簡并定態(tài)微擾 則則 mkmkmkmm EaEHEa )1()1()0()0()1( mnnm d )0()0( 得得 dHH kmmk )0()0( 式中，式中， （8） ) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0() 0() 1 ( kn n nk n knnn EaEHEa ) 0() 1 () 0() 1 () 0() 0() 0() 0() 1 ( kn n nk n knnn EaEHEa 兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性 )0( m 兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一

31、性本征函數(shù)的正交歸一性 微擾矩陣元微擾矩陣元 它是微擾在零級波函數(shù)下的平均值。它是微擾在零級波函數(shù)下的平均值。 dHHE kkkk )0()0()1( 時，由（時，由（8）式得）式得 )0()0( )1( mk mk m EE H a km 時，由時，由（8）式）式得得mk mkmkmkmm EaEHEa )1()1()0()0()1( （8）式）式: 那么，能量和波函數(shù)的一級近似為那么，能量和波函數(shù)的一級近似為： )0( )0()0( /)0( )0( n nk nk kk kkkk EE H HEE 式中求和號中不包含式中求和號中不包含n=k的項。的項。 （3）求任一非簡并能級）求任一非簡

32、并能級k的二級近似：的二級近似： )0()2()2( n n nk a 設設 兩端左乘兩端左乘 并積分，且考慮到本征函數(shù)的正并積分，且考慮到本征函數(shù)的正 交歸一性交歸一性 )0( m 代入二級近似方程代入二級近似方程 (2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0) 0 HHEEE 011 n n nk a n nk nk EE H E 00 2 /2 則則 n nk nk kkkk EE H HEE 00 2 /0 可求得能量的二級近似：可求得能量的二級近似： 零級零級一級修正一級修正二級修正二級修正 )0( )0()0( /)0( n nk nk kk EE H 非簡并微擾適用的條件是：非

33、簡并微擾適用的條件是： 1 00 nk nk EE H )( 0)0( nk EE 1.3. 1.3. 大量微觀粒子的狀態(tài)大量微觀粒子的狀態(tài) 波函數(shù)：波函數(shù)：1(x), 2(x), 3(x) 模的平方反映了模的平方反映了 某個粒子在位置空間出現(xiàn)的幾率某個粒子在位置空間出現(xiàn)的幾率. 即粒子關于即粒子關于空間空間 的分布的分布. 本節(jié)要討論的三個統(tǒng)計分布是大量近獨立的微本節(jié)要討論的三個統(tǒng)計分布是大量近獨立的微 觀粒子構成的平衡態(tài)孤立系統(tǒng)中觀粒子構成的平衡態(tài)孤立系統(tǒng)中,粒子按粒子按能量的分布能量的分布 規(guī)律規(guī)律. 微觀粒子的個體運動微觀粒子的個體運動大量粒子的集體表現(xiàn)大量粒子的集體表現(xiàn) 統(tǒng)計方法 該

34、該量量子子態(tài)態(tài)被被占占據(jù)據(jù)的的幾幾率率即即： 粒粒子子占占據(jù)據(jù)數(shù)數(shù)的的每每一一個個量量子子態(tài)態(tài)的的平平均均能能量量為為 i 系統(tǒng)中的粒子可處于系統(tǒng)中的粒子可處于 一系列分立能級一系列分立能級: 1、2、3、i上上 每個能級的量子態(tài)數(shù)每個能級的量子態(tài)數(shù)(簡并度簡并度):g1、g2、g3,gi.gn 每個能級分布的粒子數(shù)：每個能級分布的粒子數(shù)：n1、n2、n3,ni.nn i i i g n f 分布函數(shù) 三個分布三個分布: (1)麥克斯韋麥克斯韋-玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布(M-B) (2)費米費米-狄拉克分布狄拉克分布(F-D) (3)玻色玻色-愛因斯坦分布愛因斯坦分布(B-E) 量子統(tǒng)計分布量

35、子統(tǒng)計分布 -經(jīng)典統(tǒng)計分布經(jīng)典統(tǒng)計分布 F-D B-D 經(jīng)典統(tǒng)計：粒子是可區(qū)分的。經(jīng)典統(tǒng)計：粒子是可區(qū)分的。 量子統(tǒng)計：粒子是全同、量子統(tǒng)計：粒子是全同、 不可區(qū)分的。不可區(qū)分的。 服從泡利不相容原理。服從泡利不相容原理。 不服從泡利不相容原理。不服從泡利不相容原理。 （1） 宏觀態(tài)與微觀態(tài)宏觀態(tài)與微觀態(tài) （2） 等幾率假設等幾率假設 （3） 最可幾分布最可幾分布 幾個概念幾個概念 一一.統(tǒng)計分析原理統(tǒng)計分析原理 設四個同樣的小球設四個同樣的小球,標以標以a、b、c、d，放在一箱子內(nèi)，雜亂地，放在一箱子內(nèi)，雜亂地 搖動箱子后我們來觀察小球在箱子中的分布。搖動箱子后我們來觀察小球在箱子中的分布。

36、 分布（宏觀態(tài)）分布（宏觀態(tài)） a b c d a c b d a d c b b c a d b d a c d c a b a b c d ab c d b a c d c a b d d a b c b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d (1) (2) (3) (4) (5) 微觀態(tài)微觀態(tài) a b c d a c b d a d c b b c a d b d a c d c a b a b c d ab c d b a c d c a b d d a b c b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d (1)

37、 (2) (3) (4) (5) 每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率 16 1 W 等幾率假設等幾率假設每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率？每個微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率？相等相等 最可幾分布最可幾分布最可能出現(xiàn)的宏觀分布最可能出現(xiàn)的宏觀分布 相應的微觀態(tài)數(shù)目最多相應的微觀態(tài)數(shù)目最多 a b c d a c b d a d c b b c a d b d a c d c a b a b c d ab c d b a c d c a b d d a b c b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d (1) (2) (3) (4) (5) 16 1 P 16 4 P 16 6 P 16 4 P 16 1 P 分布（宏觀態(tài)）分布（宏觀態(tài)） 確定最可幾分布確定最可幾分布 寫出微觀態(tài)數(shù)目寫出微觀態(tài)數(shù)目W的普遍公式的普遍公式 求極值求極值 最可幾分布最可幾分布 （粒子占據(jù)（粒子占據(jù)格子格子的情況）的情況） 量子態(tài)量子態(tài) 宏觀態(tài)宏觀態(tài) 二二. M-B 統(tǒng)計統(tǒng)計 系統(tǒng)中的粒子可處于系統(tǒng)中的粒子可處于 一系列分立能級一系列分立能級: 1、2、3、i上上 每個能級的量子態(tài)數(shù)每個能級的量子態(tài)數(shù)(簡并度簡并度):g1、g2、g3,gi.gn 每個能級分布的粒子數(shù)：每個能級分布的粒子數(shù)：n1、n2、n3,ni.nn 粒子可區(qū)分粒子可區(qū)分 約束條件約