第二章.平面匯交力系和平面力偶系

1、 2 1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法 平面匯交力系平面匯交力系: 諸力作用線共面且匯交于同一點諸力作用線共面且匯交于同一點AP1F2F3FA取取A 環(huán)為環(huán)為受力體受力體ACBGD取取B 鉸鉸(點點)為受力體為受力體BAFBCFTFBxFByFBA1F2F3F4F1. 平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法 力多邊形規(guī)則力多邊形規(guī)則1F1F2F1RF2RFRFRFRF2F3F4F4F3Fbb任意改變力系中力的力矢的銜接次序任意改變力系中力的力矢的銜接次序 可得不同形狀的力多邊形可得不同形狀的力多邊形, 但是但是, 封閉封閉邊邊 合力的大小和方向是不變的

2、合力的大小和方向是不變的.任選一點任選一點, 將諸力按各自的大小及方向依次首尾相連將諸力按各自的大小及方向依次首尾相連, 可可得一不封閉多邊形得一不封閉多邊形. 力系的合力大小構(gòu)成其封閉邊力系的合力大小構(gòu)成其封閉邊, 方向方向為由第一個力的始端指向最后一個力的終端為由第一個力的始端指向最后一個力的終端.)(1RF)(2RF1F例一例一. 在物體在物體O 處作用一平面匯交力系處作用一平面匯交力系. F1 = F2 = 100N , F3 = 150N , F4 = 200N . 方向如圖示方向如圖示. 試用幾何法求合力試用幾何法求合力. o507080O1F2F3F4FRFRF2F3F4Fd解解

3、: 選比例尺選比例尺10cm = 50N量得量得: od = 34cm 054)(170 NFR507080O1F2F3F4FRF2. 平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件507080O1F2F3F4F5F1F5F2F3F4FoRF 1F2F3F4FoRF等效于原力系等效于原力系RF 41iiF若原力系若原力系O 處加一力處加一力RFF 5則新的合力則新的合力RF051 iiF此時此時, 匯交力系平衡匯交力系平衡, 力多邊形自行封閉力多邊形自行封閉. 諸力首尾相接諸力首尾相接.例：水平梁AB 中點C 作用著力P P，其大小等于20kN，方向與梁的軸線成60角，支承情況如圖(a)

4、所示，試求固定鉸鏈支座A 和活動鉸鏈支座B 的反力。梁的自重不計。 解 (1) 取梁AB 作為研究對象。 (2) 畫出受力圖。 (3) 應(yīng)用平衡條件畫出P、NA 和NB 的閉合力三角形。 (4) 解出： = Pcos30=17.3kN， =Psin30=10kNA A6060P PB B3030a aa aC C(b)(b)B BD DA AC C60603030P PE EP P60603030H HK K(c)(c)AFAFAFBFBFBF例二例二 ( 書上書上p23 例例2 1 ) 圖示由兩桿組成的三角架圖示由兩桿組成的三角架 受力如圖示受力如圖示. 已知已知C 為為AB桿的桿的 中點中

5、點, 力力P = 10 kN , 桿重不計桿重不計, 求求A 端的支反力和端的支反力和DC 桿所受到的力桿所受到的力.ACBPCFEPCFAFAF ACBDP4545 45116.618.4解解: 取取AB 桿為研究對象桿為研究對象由三力平衡匯交由三力平衡匯交, A ,B ,C 三點的作用力匯交于三點的作用力匯交于E 點點.由平衡而力多邊形自行封閉由平衡而力多邊形自行封閉, 可得封閉的力三角形可得封閉的力三角形.( 下面不用直接測量法下面不用直接測量法, 而用解三角形法而用解三角形法 )06 .2621 tg0004 .18sin45sin6 .116sinPFFAC kNPFA36.224

6、.18sin45sin00 kNPFC34.284 .18sin6 .116sin00 答答: A 端的支反力方向圖中已給出端的支反力方向圖中已給出, 大小為大小為22.36 kN . DC 桿由二力平衡桿由二力平衡和作用反作用公理可知為兩端受同和作用反作用公理可知為兩端受同樣大小為樣大小為28.34 kN 的壓力的壓力.CDCFDFxO 2 2 平面匯交力系合成與平衡平面匯交力系合成與平衡 解析法解析法 1. 力在正交坐標系下的投影與力的解析表達式力在正交坐標系下的投影與力的解析表達式AFyX cos:FXOxF軸上的投影軸上的投影在在力力Y同理同理可有可有 sin:FYOyF軸上的投影軸上

7、的投影在在力力上述的定義式中上述的定義式中, 角為力矢與角為力矢與Ox 軸的正向軸的正向 所夾的角所夾的角. 所以所以, 力在規(guī)定了方向的軸上的力在規(guī)定了方向的軸上的 投影是代數(shù)量投影是代數(shù)量. 其正負或零由角度的大小來其正負或零由角度的大小來 決定決定. 不過不過, 在實際的計算中在實際的計算中, 投影值的正投影值的正 負可直接從圖中判斷負可直接從圖中判斷, 而大小為力與其和而大小為力與其和x 軸所夾銳角正余弦乘積的值軸所夾銳角正余弦乘積的值.xOAFy YX力的正交分解與力的投影力的正交分解與力的投影:xFyFyxFFF jYiX .,軸軸的的單單位位矢矢量量軸軸和和為為分分別別其其中中y

8、xji i jjYiXF 稱為力的解析表達式稱為力的解析表達式注意注意 : 這里的分力與投影的關(guān)系這里的分力與投影的關(guān)系iXFx jYFy .,.,.,YFXFYXFFFFOyOxFFYXyxyxyx 即即投影投影在兩軸上的在兩軸上的等于力等于力上上在數(shù)值在數(shù)值和和沿兩軸的分力沿兩軸的分力力力兩正交時兩正交時當當二者不可混淆二者不可混淆是矢量是矢量和和而而是代數(shù)量是代數(shù)量力在軸上的投影力在軸上的投影此外此外, 分力有確定的作用點分力有確定的作用點, 力的投影沒有這個概念力的投影沒有這個概念, 只有只有 代數(shù)長代數(shù)長 的概的概念念. 一個力對所有同一方向的有向直線的投影都相等一個力對所有同一方向

9、的有向直線的投影都相等.,便不相等便不相等影影與在此兩坐標軸上的投與在此兩坐標軸上的投的數(shù)值的數(shù)值沿兩坐標軸方向的分力沿兩坐標軸方向的分力不正交時不正交時與與當當YXFFOyOxyxOyxXYFxFyF.,.,.,YFXFYXFFFFOyOxFFYXyxyxyx 即即投影投影在兩軸上的在兩軸上的在數(shù)值上也不等于力在數(shù)值上也不等于力和和沿兩軸的分力沿兩軸的分力力力正交時正交時兩軸不兩軸不當當二者不可混淆二者不可混淆是矢量是矢量和和而而是代數(shù)量是代數(shù)量力在軸上的投影力在軸上的投影2. 平面匯交力系平面匯交力系 合成的解析法合成的解析法匯交力系的合成是一合力匯交力系的合成是一合力. 根據(jù)數(shù)學(xué)上的合矢

10、量投影定理可得知根據(jù)數(shù)學(xué)上的合矢量投影定理可得知: 匯交力匯交力系的合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和系的合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和. niiRFF1由由可得可得: niiRniiRYFXFyx11 2222 YXFFFyxRRRxyRRFFXYtg 為合力與為合力與x 軸所夾軸所夾銳角銳角,其方位由合力其方位由合力在在x ,y 軸投影的正軸投影的正負來確定負來確定.xy例一例一. 在物體在物體O 處作用一平面匯交力系處作用一平面匯交力系. F1 = F2 = 100N , F3 = 150N , F4 = 200N . 方向如圖示方向如圖示. 試用

11、解析法求合力試用解析法求合力.507080O1F2F3F4F解解: 選坐標系如圖示選坐標系如圖示306020 NFFFFXFxR66.9820cos20060cos15050cos10010020cos60cos50cos0000403021 NFFFYFyR10.13820sin20060sin15050sin10020sin60sin50sin000040302 NFFFyxRRR72.16922 045.544 . 1 xyRRFFtgRFxyO 例二例二. ( 參見書上參見書上 p25 例例 2 2 ) 求圖示共點力的合力求圖示共點力的合力O60304545100N300N200N25

12、0Nxy1515解解 ： 建立建立O xy 坐標系如圖示坐標系如圖示 NXFxR1 .16815sin25015cos10020000 NYFyR64.3215cos25015sin10030000 NYXFR25.17122 011194. 0 XYtgRF : 坐標軸的選取是人為的坐標軸的選取是人為的, 應(yīng)視具體力的分布而定應(yīng)視具體力的分布而定. 宜選使其計算簡捷的坐宜選使其計算簡捷的坐標系標系. 不同的坐標系不同的坐標系, 力系合力的投影分量不盡相同力系合力的投影分量不盡相同, 但合成后的解但合成后的解是唯一確定的是唯一確定的. 3. 平面匯交力系平衡的解析條件平面匯交力系平衡的解析條件

13、匯交力系平衡匯交力系平衡0 iRFF平面匯交力系平衡的充要條件是平面匯交力系平衡的充要條件是: 各力在不平行的兩坐標軸上的投影的代各力在不平行的兩坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零數(shù)和分別等于零. 00YX若若Ox ,Oy 軸正交軸正交, 則則為平面匯交力系最常用的平衡方程為平面匯交力系最常用的平衡方程 00YX下面下面, 舉例說明平面匯交力系的平衡方程的應(yīng)用舉例說明平面匯交力系的平衡方程的應(yīng)用( 上述中的兩投影軸不能平行上述中的兩投影軸不能平行 )xy例一例一. 圖示起重結(jié)構(gòu)圖圖示起重結(jié)構(gòu)圖. 重物重物P = 20kN , 用鋼絲繩繞過在支架上的滑輪用鋼絲繩繞過在支架上的滑輪B 而纏繞而纏繞在

14、絞車在絞車D 上上. 設(shè)結(jié)構(gòu)的自重不計設(shè)結(jié)構(gòu)的自重不計, 并忽略摩擦和滑輪的大小并忽略摩擦和滑輪的大小. 求求: 平衡時平衡時AB 桿和桿和BC 桿所受的力桿所受的力.30ACDB60P解解: 取取B 鉸為研究對象鉸為研究對象, 由題意由題意, B鉸作用鉸作用一平衡的匯交力系一平衡的匯交力系.3030B1F2FTFP取坐標系如圖示取坐標系如圖示.:0 X030cos30sin010 TFFP NPPF321. 730cos30sin001 030sin30cos002 TFPF:0 Y NPPF32.2730sin30cos002 F1 和和 F2 都是負值都是負值, 表示表示 AB 桿和桿和

15、CD 桿對桿對B 鉸的力與圖示的相反鉸的力與圖示的相反. 也就是說也就是說, 兩桿對兩桿對B鉸施加鉸施加的是壓力的是壓力. 根據(jù)二力平衡和牛頓第三定律根據(jù)二力平衡和牛頓第三定律, AB, BC 桿分別受桿分別受 7.321 N 和和27,32 N 的壓力的壓力.ABBC例二例二. 壓榨機機構(gòu)中壓榨機機構(gòu)中, AB = BC , 已知活塞已知活塞D 上受到的總壓力上受到的總壓力F =3 kN , h = 200mm. l = 1500 mm. 結(jié)構(gòu)各部分的自重不計結(jié)構(gòu)各部分的自重不計. 求求 壓塊壓塊C 對工件和地面的壓力對工件和地面的壓力.CBDAhl l F解解: 取活塞取活塞, 活塞桿及活

16、塞桿及B 鉸組合體為研究對象鉸組合體為研究對象 FBAFBCFBD xy建立坐標軸如圖示建立坐標軸如圖示2222sincoshlhhll :0 X0coscos BCBAFFBCBAFF :0 Y0sinsin FFFBCBA kNFFFBCBA35.11sin2 取壓塊取壓塊C 分析建立坐標軸如圖分析建立坐標軸如圖xy CxFyFCBF:0 X0cos xFFCB kNFhFlFx25.112sin2cos :0 Y0sin yFFCB kNFFCBy5 . 1sin 滑塊滑塊C 對工件的力和對地面的力方向分別與對工件的力和對地面的力方向分別與Fx, Fy 相反相反.習(xí)習(xí) 2 6 如圖所示如

17、圖所示, 輸電線輸電線ACB 架在兩電線桿之間架在兩電線桿之間, 形成下垂線形成下垂線, 下垂的距離下垂的距離 f =1 m. 兩電線桿的距離兩電線桿的距離AB = 40 m. 電線電線ACB 段重段重 P = 400N. 可近似認可近似認為沿為沿AB 線均勻分布線均勻分布. 求電線的中點和兩端的拉力求電線的中點和兩端的拉力.ABCf = 1m40m解解: 由對稱性由對稱性,取一半分析取一半分析. 注意柔索內(nèi)的注意柔索內(nèi)的 張力皆沿柔索內(nèi)各點的切線方向張力皆沿柔索內(nèi)各點的切線方向.此外此外, 視重力沿水平方向均勻分布視重力沿水平方向均勻分布, 為的是為的是容易確定重力的合力作用線的位置容易確定

18、重力的合力作用線的位置.由三力平衡匯交定理由三力平衡匯交定理, 所取電線受力如圖所取電線受力如圖示示BCBFOCFG yx20m1m1011sin1011011010cos2 NGFFGYBB2010sin200sin0sin:0 NFFFFXBCBC2000cos0cos:0 答答: 輸電線內(nèi)輸電線內(nèi), 兩桿端處的拉力為兩桿端處的拉力為2010N , 下垂最低處的拉力為下垂最低處的拉力為2000 N. 2 3 平面力對點之矩的概念及計算平面力對點之矩的概念及計算 力對剛體的運動效應(yīng)有兩種力對剛體的運動效應(yīng)有兩種: 一種為平動一種為平動( 移動移動) 效應(yīng)效應(yīng), 另一種為轉(zhuǎn)動效應(yīng)另一種為轉(zhuǎn)動效

19、應(yīng). 其中其中, 平動效應(yīng)用力矢平動效應(yīng)用力矢 ( 就是我們平常所說的力就是我們平常所說的力 ) 來度量來度量, 而轉(zhuǎn)動效應(yīng)則而轉(zhuǎn)動效應(yīng)則 用力矩來度量用力矩來度量. 1. 力對點之矩力對點之矩OhAF平面上力平面上力F 對點對點O 的矩的矩 hFFm 0(1) 平面上平面上, 力對點之矩是代力對點之矩是代數(shù)量數(shù)量. 以逆時針轉(zhuǎn)者為正以逆時針轉(zhuǎn)者為正,順時針轉(zhuǎn)者為負順時針轉(zhuǎn)者為負.(2) 力對不過其作用線的點都力對不過其作用線的點都有矩有矩.此處此處, O 稱為稱為 矩心矩心, h 稱為稱為 力力臂臂. 2. 合力矩定理合力矩定理: 對一平面上的力系而言對一平面上的力系而言, 合力對某一點的矩

20、合力對某一點的矩, 等于各個分力對等于各個分力對 同一點之矩的代數(shù)和同一點之矩的代數(shù)和.3. 力矩和合力矩的解析表達力矩和合力矩的解析表達xOAFy YXxFyF由合力矩定理和力在正交坐標坐標系下的由合力矩定理和力在正交坐標坐標系下的 解析表達解析表達, 可得到可得到: yXxYyFxFFmFmFmxyyOxOO 值得注意的是值得注意的是: 上式中上式中yxFFyx,本身是代本身是代數(shù)量數(shù)量 , 其正負與力的方向及坐標軸的取向有關(guān)其正負與力的方向及坐標軸的取向有關(guān).如果一個力系有合力如果一個力系有合力( 比如平面匯交力系比如平面匯交力系) , 則則 niiRFF1由合力矩定理由合力矩定理:)(

21、)()(11iiiniiniiOROyXxYFmFm 例一例一. 求剛架上的力求剛架上的力F 對對B 點的矩點的矩. 已知已知 = 30 , F = 20 kN .ABDC15m10mF 解解: 運用合力矩定理運用合力矩定理 mkNFFFmB.2 .2315212010232015sin10cos 用解析法具體計算力對點的矩時用解析法具體計算力對點的矩時, 不必拘泥不必拘泥硬套公式硬套公式, 只需據(jù)圖直接考慮各個力的力矩只需據(jù)圖直接考慮各個力的力矩的正負的正負.例二例二. 水平梁水平梁AB 受三角形分布的載荷作用受三角形分布的載荷作用. 求載荷的合力作用線位置求載荷的合力作用線位置.ABql由

22、合力矩定理由合力矩定理: qdxlxxFmlRA 02023121qldxlxqxqllC xdxqlx lxC32 QCx 2 4 平面力偶理論平面力偶理論1. 力偶與力偶矩力偶與力偶矩定義定義: 二等值二等值, 反向不共線的一對力構(gòu)成一力偶反向不共線的一對力構(gòu)成一力偶.(MM一般記為一般記為，），如圖的力偶記為如圖的力偶記為FFd力偶矩力偶矩: 力偶的大小及轉(zhuǎn)向力偶的大小及轉(zhuǎn)向. 以逆時針為正以逆時針為正, 順時針為負順時針為負.( 如上圖的力偶如上圖的力偶M = Fd )二力之間的距離稱為二力之間的距離稱為 力偶力偶臂臂.力偶的性質(zhì)力偶的性質(zhì): (1) 一個力不能和一個力偶等效一個力不能

23、和一個力偶等效. 即即 一個力和一個力偶對物體的作用永遠不一個力和一個力偶對物體的作用永遠不可能相同可能相同. (2) 力偶中的二力對任意點之矩的和恒等于力偶矩本身力偶中的二力對任意點之矩的和恒等于力偶矩本身, 與矩心的位置無關(guān)與矩心的位置無關(guān). (3) 在同一剛體上在同一剛體上, 力偶對其效應(yīng)只決定于力偶矩的值力偶對其效應(yīng)只決定于力偶矩的值( 包括大小包括大小 與轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)向), 與與力偶作用的位置無關(guān)力偶作用的位置無關(guān). (4) 同一剛體上同一剛體上, 任意改變力偶的力偶臂長短及二力的大小和方向任意改變力偶的力偶臂長短及二力的大小和方向, 而保持而保持力偶矩不變力偶矩不變, 則不會改變其對剛

24、體的效應(yīng)則不會改變其對剛體的效應(yīng).力偶中的二力對任意點之矩的和恒等于力偶矩本身力偶中的二力對任意點之矩的和恒等于力偶矩本身, 與矩心的位置無關(guān)與矩心的位置無關(guān).FFdxO , FFMdFxFxdFFmFmOO2.同平面內(nèi)力偶的等效定理同平面內(nèi)力偶的等效定理 通過對力偶性質(zhì)的認識通過對力偶性質(zhì)的認識, 不難得到如下的結(jié)論不難得到如下的結(jié)論: 同一平面內(nèi)同一平面內(nèi), 兩個力偶若力偶矩相等兩個力偶若力偶矩相等, 則二力偶等效則二力偶等效. 3.平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡( 1 ) 合成合成同一平面內(nèi)的諸力偶組成一平面力偶系同一平面內(nèi)的諸力偶組成一平面力偶系. 同一平面上諸力偶的力偶

25、矩同一平面上諸力偶的力偶矩, 其轉(zhuǎn)向或正其轉(zhuǎn)向或正或負或負. 所以所以,平面力偶系的合成是代數(shù)量的疊加平面力偶系的合成是代數(shù)量的疊加.由于同一平面內(nèi)的力偶可任意移動由于同一平面內(nèi)的力偶可任意移動, 又力偶矩是力偶的唯一度量又力偶矩是力偶的唯一度量, 則則:平面力偶系的合成是一合力偶平面力偶系的合成是一合力偶, 合力偶矩等于各個力偶的力偶矩的代數(shù)和合力偶矩等于各個力偶的力偶矩的代數(shù)和. niimM1M1M2M3BAl( 2 ) 平衡平衡平面力偶系平衡平面力偶系平衡 的充分和必要條件是的充分和必要條件是: 合力偶矩為零合力偶矩為零.01 niim力偶系平衡力偶系平衡例一例一. 某鉆床加工一鋼板某鉆

26、床加工一鋼板, 已知三個鉆頭在鉆孔時施加給鋼板的力偶矩分別為已知三個鉆頭在鉆孔時施加給鋼板的力偶矩分別為 M1 = M2 =10N.m , M3 = 20N.m . 固定螺柱固定螺柱A 和和B 的距離的距離l = 200mm. 求求: 兩個光滑螺柱所受到的水平力兩個光滑螺柱所受到的水平力.AFBF解解: 取鋼板分析取鋼板分析. 鋼板靜止平衡鋼板靜止平衡, 其上受三個力偶的作用其上受三個力偶的作用, 而而A , B 處受兩個約束力的作用處受兩個約束力的作用. 由于力偶只能由力由于力偶只能由力偶來平衡偶來平衡, A , B 處的二力必構(gòu)成力偶處的二力必構(gòu)成力偶.:0 im NlMMMFMMMlFA

27、A2000321321 NFFAB200 A, B 螺柱所受的力分別與螺柱所受的力分別與FA , FB 等值反向等值反向.AO例二例二 . 圖示機構(gòu)的自重不計圖示機構(gòu)的自重不計. 圓輪上的銷釘圓輪上的銷釘A 嵌在搖桿嵌在搖桿BC 的導(dǎo)槽內(nèi)的導(dǎo)槽內(nèi). 圓輪上作用圓輪上作用 一力偶一力偶, 其矩其矩 M1 = 2kN. m , OA = r = 0.5 m . 圖示位置時圖示位置時OA O B , = 30 . 系統(tǒng)平衡系統(tǒng)平衡. 求求: 搖桿搖桿BC上的力偶上的力偶M2 及及O , B 處的約束反力處的約束反力.BOACM2 M1 rM1解解: 取圓輪為研究對象取圓輪為研究對象 AFOF由于力偶只能由力偶來平衡由于力偶只能由力偶來平衡, A , O 二點的約束反力二點的約束反力必構(gòu)成一力偶與必構(gòu)成一力偶與M1 平衡平衡. 并由并由A 處的約束特點可求得處的約束特點可求得二力的方向二力的方向. kNrMFFrFMmOAAi85 . 05 . 0230sin0sin:0011 取搖桿為研究對象取搖桿為研究對象M2 CBAAFBF r同理可知同理可知BAFF ,構(gòu)成一力偶構(gòu)成一力偶FB = FA = 8 kN .mkNMrFMmAi.80sin:022 習(xí)題選解習(xí)題選解: 2 22 四塊相同的均質(zhì)板四塊相同的均質(zhì)板, 疊放如圖疊放如圖. 在板在板I