相交線平行線

1、上海市尚德實(shí)驗(yàn)學(xué)校 楊曉 email:qdyangxiao初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(12)相交線、平行線一、知識要點(diǎn)：1 平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2 兩條不同的直線，若它們只有一個公共點(diǎn)，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個交點(diǎn)。3 垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個重要的結(jié)論：（1） 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2） 直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱為平行線。平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，并會運(yùn)用與“三線八角”有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)

2、定理。5 利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例1如圖(1)，直線a與b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度數(shù)。解：ab，34（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）1+32+4180(平角的定義)12 (等式性質(zhì))則3x+705x+22解得x=24 即11423180-138 圖(1)評注：建立角度之間的關(guān)系，即建立方程（組），是幾何計(jì)算常用的方法。例2已知：如圖(2)， abefcd，eg平分bef，b+bed+d =192，b-d=24，求gef的度數(shù)。解：abefcd b=bef，def=d（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） b+bed+d =192（已知） 即b+bef+def+d

3、=1922（b+d）=192（等量代換）則b+d=96（等式性質(zhì)）b-d=24（已知） 圖(2)b=60（等式性質(zhì)） 即bef=60（等量代換） eg平分bef（已知）gef=bef=30（角平分線定義）例3如圖（3），已知abcd，且b=40，d=70，求deb的度數(shù)。解：過e作efababcd（已知）efcd（平行公理）bef=b=40 def=d=70（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）deb=def-bef deb =d-b=30 評注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角”，則應(yīng)添出輔助線。圖（3）例4已知銳角三角形abc的三邊長為a，b，c，而ha，hb，hc分別為對應(yīng)邊上的高

4、線長，求證：ha+hb+hca+b+c分析：對應(yīng)邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知，hac ，hba，hcb以上三式相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1 以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2 垂線段最短。例5如圖（4），直線ab與cd相交于o，efab于f，ghcd于h，求證ef與gh必相交。分析：欲證ef與gh相交，直接證很困難，可考慮用反證法。證明：假設(shè)ef與gh不相交。ef、gh是兩條不同的直線efghefabghab又因ghcd故abcd (垂直于同一直線的兩直線平行)圖（4）這與已知ab和cd相交矛盾。所以ef與gh不平行，即

5、ef與gh必相交評注：本題應(yīng)用結(jié)論：(1) 垂直于同一條直線的兩直線平行。(2) 兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例6平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個不同交點(diǎn)？解：2條直線產(chǎn)生1個交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加2個交點(diǎn)，這時(shí)平面上3條直線共有1+2=3個交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加3個交點(diǎn)，這時(shí)平面上4條直線共有1+2+3=6個交點(diǎn)；則n條直線共有交點(diǎn)個數(shù)：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)評注：此題是平面上n條直線交點(diǎn)個數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例76個不同的點(diǎn)，其中

6、只有3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點(diǎn)中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有33=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13條評注：一般地，平面上n個點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例810條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一

7、段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個，即最多分成2+2+3=7個不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個不同區(qū)域； 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個不同區(qū)域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？例9平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個角不大于證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對頂角2n(n-1)對，即2n(n-1)個角平面上任取一點(diǎn)o，將這n條直線均平行移動過點(diǎn)o，成為交于一點(diǎn)o的n條直線，這n條直線將以

8、o為頂點(diǎn)的圓周角分為2n個（共n對）互不重疊的角：a1、a2、a3、a2n由平行線的性質(zhì)知，這2n個角中每一個都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個角相等，即這2n個角均是原2n(n-1)個角中的角。若這2n個角均大于，則a1+a2+a3+a2n 2n=360,而 a1+a2+a3+a2n =360,產(chǎn)生矛盾故a1、a2、a3、a2n中至少有一個小于，即原來的2n(n-1) 中至少有一個角不小于評注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例10（a）請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡單說明畫法。（b）能否在平面上

9、畫出7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能請畫出一例，如果不能請簡述理由。解：（a）在平面上任取一點(diǎn)a。過a作兩直線m1與n1。在n1 上取兩點(diǎn)b，c，在m1上取兩點(diǎn)d，g。過b作m2m1，過c作m3m1，過d作n2n1，過g作n3n1，這時(shí)m2、m3、n2、n3交得e、f、h、i四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都恰與另3條直線相交。（b）在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交。理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個交點(diǎn)，又沒有3條直線共

10、點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個不同的交點(diǎn)。根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3721個交點(diǎn)，但每個交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這7條直線交點(diǎn)總數(shù)為10.5個，因?yàn)榻稽c(diǎn)個數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)選擇題1平面上有5個點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過每2點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線（）條a6b 7c8d92平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個數(shù)是（）a3b1或3c1或2或3d不一定是1，2，33平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）a36條b33條c24條d21條4已知平面中有個點(diǎn)三個點(diǎn)在一條直線上，四個點(diǎn)也

11、在一條直線上，除些之外，再沒有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這個點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí)等于（ ） （a）9 （b）10 （c）11 （d）125若平行直線ab、cd與相交直線ef、gh相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）a4對b8對c12對d16對6如圖，已知fdbe，則1+2-3=( )a90b135c150d180 第7題 7如圖，已知abcd，1=2，則e與f的大小關(guān)系 ；8平面上有5個點(diǎn)，每兩點(diǎn)都連一條直線，問除了原有的5點(diǎn)之外這些直線最多還有 交點(diǎn)9平面上3條直線最多可分平面為 個部分。10如圖，已知abcdef，psgh于p，frg=110，則psq 。11已知a、b是直線l外的兩點(diǎn)，則線段ab的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個數(shù)是 。12平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個數(shù)不會超過 個。13已知：如圖，decb ，求證：aed=a+b14已知：如圖，abcd，求證：b+d+f=e+g第13題 第14題15如圖，已知cbab，ce平分bcd，de平分cda，edc+ecd =90，求證：daab1