專題2立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必講)(張俊)教學(xué)提綱

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除專題二 立方和(差)公式、和(差)的立方公式a2 b2 ； b2 。2ab我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1) 平方差公式(a b)(a b)(2) 完全平方公式(a b)2 a2我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：例1計算：2(1) (32y)(9 6y 4y )；1 2512(2) (5x -y)(25x2-xy - y2)；2 242(3) (2x 1)(4 x2x 1)。分析：兩項式與三項式相乘，先觀察其是否滿足立立方和(差)公式,然后再計算(1)立方和公式(ab)(a22ab b2)23 a3b3 ；3(2)立萬差公式(ab)

2、(aab b )ab ；(3)三數(shù)和平方公式(ab c)22 .2a b2 c2(ab bc ac)；(4)兩數(shù)和立方公式(ab)3 a33a b3ab2b3 ；(5)3323兩數(shù)差立方公式(ab) a3a b3abb。寸上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。反過來，就可以利用上述公式對多項式進(jìn)行因式分解。解：(1)原式=33 (2y)327 8y3 ；11(2) 原式=(5x)3 ( y)3 125x3y3 ；28(3) 原式=8x3 4x2 2x 4x2 2x 1 8x3 8x2 4x 1。說明：第(1)、( 2)兩題直接利用公式計算.第(3)題不能直接利用公式計算，只好用多項

3、式乘法法則計算，若將此題第一個因式中“+T改成“-1 ”則利用公式計算；若將第二個因式中“ 2x ”改成“ 2x ”則利用公式計算；若將第二個因式中“ 2x ”改成“ 4x ”,可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式計算23322332(2x 1)(2x 1)(2x 1)(2x)3(2x) 1 3(2 x) 11 8x 12x 6x 1。例2計算：(1) (x31)(x6 x3 1)(x91)；(2) (x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)；(3) (x 2y)2(x2 2xy 4y2)2 ；分析： 利用乘法的交換律、積的乘方，找出滿足立方和（差）的兩個因式，是計算的關(guān)

4、鍵解：（ 1）原式 （x9 1）（x9 1） x18 1；2）解法一：原式(x 1)(x2 x 1)( x 1)(x2x 1) (x3 1)(x3 1) x6 1 ；只供學(xué)習(xí)與交流解法二：原式 (x 1)(x 1)( x2 1) x( x2 1) x2 2 2 2(x2 1)(x2 1)2 x22 4 2(x2 1)(x4 x2 1)x61；3)原式 (x 2y)(x2 2xy 4y2)23 3 2(x3 8y3)2 x6 16x3y3 64y6 。說明： 第（ 2）、（ 3）題往往先用立方和（差）公式計算簡捷. 相反，如第（ 2）題的第二種解法就比較麻煩 .例 3 因式分解：1) x3 y3

5、 125 ；2) a 27a4 ；3) x6 y6 。分析： 對照立方和(差)公式，正確找出對應(yīng)的 a,b 是解題關(guān)鍵，然后再利用立方公式分解 因式。3 3 2 2解：( 1)原式 (xy)3 53 (xy 5)(x2y2 5xy 25) ；3 3 3 2(2)原式 a(1 27a3) a13 (3a)3 a(1 3a)(1 3a 9a2)( 3 )原式3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2(x ) (y ) (x y )(x y ) (x y)(x xy y )(x y)(x xy y ) 。說明 ：我們可嘗試一下，第 （3） 題先用立方差公式分解就比較復(fù)雜，會導(dǎo)致有的同學(xué)分解不 徹

6、底。例4設(shè)x y 5,xy 1 ,試求x3 y3的值。分析：對于立方和公式 a3 b3 （a b）（a2 ab b2），我們不難把它變成:a3b3 (a b)(a b)2 3ab，即 a3b （a b） 3ab（a b），再應(yīng)用兩數(shù)和、 兩數(shù)積解題較為方便。解：x3 y3 (x y)3 3xy(x y) 533(1) 5 140。說明:立方和（差）與和（差）的立方之間可以相互轉(zhuǎn)化。例5如果 ABC的三邊a,b,c滿足a3a2bab2 ac2 be2 b30，試判斷 ABC的形狀。分析:直接看不出三角形邊之間的關(guān)系，可把左邊的多項式分解因式，變形后再找出三角形三邊之間的關(guān)系。解：因為a3a2ba

7、b2ac2bc2b30，所以a3 b3(a2b ab2)(ac2bc2)0，即(a b)(a2abb2)ab(ab)c2(ab) 0，（a b）（a2 b2 c2）0,所以a b或a2 b2 c2，因此 ABC是等腰三角形或直角三角形 說明：此類題型，通常是把等式一邊化為零，另一邊利用因式分解進(jìn)行恒等變形練習(xí)1.計算：（1）(4a)(164aa2)；（2）(2 alb)(，4 a2-ab-b2)；339（3）(x1)(x2x1)；（4）x(x2)2(x22x4)(x 2)。2.計算：（1）(x2)(x2)2(x22:2x 4)( x 2x 4)；此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(2

8、x 3y)3;1 3(3) (5 -b)3;3(4) (m 1)3(m2 m 1)3。3.分解因式:(1)(2x1)3 x(2)27x38y3;(3)31 32x卩;(4)6 m64。4.化簡:5若 a b c 0,求證：a3 a2c b2c abc b3 0。6. ()已知 m n 2，求 m3 n3 6mn 的值；33(2)已知：x y 1,求x y 3xy的值.7. 已知兩個正方體，其棱長之總和為48cm,體積之和為28cm，求兩個正方體的棱長8. 已知a b 1，求a3 3ab b3的值。9. 已知 a b 2, ab 48，求 a4 b4 的值。10.已知實數(shù)a,b,c滿足abc0,abc2 2 2；1,a b c 2,a3 b3 c3，求 abc 的值答案：1.(1)643a ;(2) 8a3127b3; (3)32x 1 ; (4) 4x4x 8 o2.(1)6 x64 ；(2) 8x32236x y 54xy27 y3 ;(3)12525b5b2丄b3;(4) m93m6 3m3 1。3273、(1)(3x1)(3x2 3x 1);(2)2(3x 2y)(9x 6xy4y2);(3)1-(2x y)(4 x22 xyy2);(4)2(m 2)( m 2