數(shù)學分析第五章 導數(shù)和微分ppt課件

1、1、知道導數(shù)的構(gòu)造性定義,了解導數(shù)在研討函數(shù)性態(tài)方面的作用.2、知道導數(shù)和延續(xù)的關(guān)系,即可導必延續(xù),延續(xù)不一定可導.3、運用導數(shù)的定義計算函數(shù)在一點的導數(shù).1 1 導數(shù)的概念導數(shù)的概念學習要求學習要求 學習目的學習目的 使學生掌握導數(shù)的概念。明確其幾何意義，能使學生掌握導數(shù)的概念。明確其幾何意義，能從從定義出發(fā)求一些簡單函數(shù)的導數(shù)，能利用導數(shù)的意義處理某定義出發(fā)求一些簡單函數(shù)的導數(shù)，能利用導數(shù)的意義處理某些實踐運用的計算問題。些實踐運用的計算問題。第五章第五章 導數(shù)和微分導數(shù)和微分;問題的提出問題的提出:在中學里我們學習過，物體作勻速直線運動，其速度等于位移除以時間。而物體的運動往往不能夠總是

2、勻速的，通常人們所說的物體運動速度是指物體在一段時間內(nèi)的平均速度。平均速度不能反映物體的瞬時速度。假設我們知物體的運動規(guī)律，如何計算它的瞬時速度?一一 導數(shù)的定義及幾何意義導數(shù)的定義及幾何意義;1 兩個例子兩個例子1). 1). 瞬時速度瞬時速度.).(0其在該時刻的速度為某一確定的時刻，求若其運動規(guī)律為設一質(zhì)點作直線運動，ttss .,)()(00000）上的平均速度（或是質(zhì)點在時間段的時刻，則為鄰近于設tttttttstsvtt;那么物體在時辰 t 0 的瞬時速度定義為tsvtvtt000limlim)(ttsttst)()(lim000速度反映了路程對時間變化的快慢程度;2). 2).

3、切線的斜率切線的斜率的斜率為因為割線時的位置沿曲線無限接近與點當動點是割線處的切線在其上一點曲線PQPQPQPTyxPxfy.),()(00 xQ曲線在其上一點),(00yxP,0)0()(xxxfxfk則極限的極限存在時如果所以當,0kxx )(xfy 00)()(lim0 xxxfxfkxx即為曲線在點 P的切線的斜率.OPTy;xyx00lim)(xf).(,000 xfxfxf記作處的導數(shù)在點并稱該極限為函數(shù)處可導在點則稱函數(shù)存在極限,的某鄰某鄰域內(nèi)有定義0 x在點 f(x)設函數(shù)y 0)0()(lim0 xxxfxfxx定義定義1:即 00000 xx)f(xf(x)lim)f(x)

4、f(xlim0 xxxxx.處不可導 x在點式極極限不存在，則 若0f上(1)2 導數(shù)的定義;.lim)4(,)3(),()()2(),() 1 (00000 xyxyxfxxfyxxfx，xx求極限作商計算計算函數(shù)值改變量給3 求函數(shù)在某點的導數(shù)值;.處的導數(shù) 1在點x)( 求函數(shù) 1例3 xxf3)33(limlim) 1 ()4(33) 3(331)1 () 1 ()1 ()2(331)1 ()1 () 1 (2002323323xxxyfxxxyxxxxfxfyxxxxxfxx解;.處不可導 0在點 . 00, 01sin)(證明函數(shù) 2例0 xxxxxxf證 由于 ,1sin1sin

5、0)0()(xxxxxfxf.處不可導 0在點x 所以f ,時極限不存在0 0 x當注注: 利用導數(shù)的定義可證, 常量函數(shù)在任何點的導數(shù)為零,即 . 0C;3 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 處切線方程為： ,在點 所以曲線 ,處切線的斜率, 在點 等于曲線)( 00000yxxfyyxxfyxf 000 xxxfyy法線方程為: )()(1000 xxxfyy注注:.)0(,0()(,0)(.)0(,0()(,0)(垂直的切線軸可能存在與在點即曲線是無窮大它的導數(shù)可能不可導在因為函數(shù)可能存在切線在點則曲線不可導在若函數(shù)xxfxxfyxxfxfxxfyxxf;.處的切線方程 ) 1,1 (點并求

6、曲 線,處的導數(shù) 1在點x)( 求函數(shù) 3例2在 xxf解: 由定義求得2)2(lim2limx1x)(1limf(1)f(1lim) 1 (020200 xxxxxxfxxxxx處的切線斜率為) 1,1 ( 在點2 由此知道拋物線xy 2) 1 ( fk所以切線方程為 ) 1(21xy即.12xy; 解 由于 ,203203xxxxxy.203)203203(0lim0 xxxxxxxf方程為的切線 在點 3曲線 ,所以Pxy )0(2030 xxxyy方程為法線的 在點 3曲線 Pxy )0(203130 xxxxy例例4.法線線方處的切線方程與 )0,0(在點 3求曲 線程yxPxy ;

7、。xxfxoxxfy，xxfxyxyxf，xxfx)0()()(0)(lim)()(000000仍成立此外有限增量公式在稱為于是時的無窮小是則可導在若二 可導與延續(xù)的關(guān)系;.為狄利克雷函數(shù) )(其中 ,處可導 0僅在點)()( 證明函數(shù) 5例02xDxxDxxf。xfxfxxoxxfy。xf，xf連續(xù)在點可導在點注分析連續(xù)在點則可導在點若定理不一定00000:)0(0)()(:1 . 4;.可導處 在點 )(所以 ,處不連續(xù) 0在點 )(由歸歸結(jié)原理可 ,時0 當 證000不得xxxfxxfx. 0)(0lim0)0()(0lim)0(,)(,00 xxDxxfxfxfxDx因此得到為有界函數(shù)

8、由于時當.0,0sin)(6可導性討論其在連續(xù)在函數(shù)例xxxxf;。xf，xyxxxxxyxxxyxxxfxfxyxxxxxx不可導在即不存在故由于解0lim1sinlim)sin(limlim1sinlimlimsin)0()0(:000000;)0(0 x-x)0f(xf(x)xlim)0f(x)0f(x0lim0 xlim0 xxxxxxy定義定義2:限域若右極 ,有定義上 ),的某鄰 在點 )(設函數(shù)000 xxxxfy. )0(記作 ,的右導0 在點 則稱該極限為 ,存在xfxf數(shù)三 單側(cè)導數(shù)的概念1) 右導數(shù)右導數(shù) ;類似地, 可以定義左導數(shù) 0 x-x)0f(xf(x)xlim)

9、0f(x)0f(x0lim(x)/-f0-xxxx左右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù). 2) 單側(cè)導數(shù)與導數(shù)的關(guān)系)。(xf = )(x f )都都存在，(xf),(xf存在)(xf 定義的某鄰某 x在點 f(x)若函數(shù)y 5.2定理000000且的充要條件是內(nèi)有; 注注:以下函數(shù)個別點的導數(shù)或左右導數(shù)運用導數(shù)的定義.(1) 函數(shù)在個別點的函數(shù)值單獨定義的, 其他點的函數(shù)(2) 值用一致解析式定義的(函數(shù)在個別點延續(xù)).(2) 求分段函數(shù)在分段點的導數(shù).例例7.0)(. 0, 0,cos1)(導數(shù)與導數(shù)處的左右在討論設xxfxxxxxfxyxyxy-0 x0 x0 xlimlimlim:存在分析; 解 由

10、于 , 0, 1, 0,cos1)0()0(xxxxxfxf因此 , 0cos10lim)0(xxxf110lim)0(xf.處不可導 0 在 所以 , )0()0( 因 為xfff; .上的可導 為 則稱 ),單側(cè)導數(shù)僅考慮相應的 ,對區(qū)間端點(一點都可導上 若函數(shù)在區(qū)間函數(shù)導每IfI即或記作,dxdyyf.,)()(0lim)(Ixxxfxxfxxf定義定義:。ydxd，dxdyxx，的求導施加于也可理解為看成一個整體記號目前注看成變量把看成常量應求極限過程中注:;,:四四 導函數(shù)導函數(shù);特別 例例8證明 (i) nnnxnx,1)(為正整數(shù).(ii) xxxxsin)(cos,cos)(

11、sin(iii) ),0, 1, 0(log1)(logxaaeaxxa.1)(lnxx ;1122110012211)(limlim)()( :nnnnnnxxnnnnnnnnxxxxCxCxyyxxxCxCxxxxxyiproof;xxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxyiixxsin)2sin(22sinlimlim)(cos)2sin(22sin22sin2sin2cos)cos()(00;axexxxxxxxxxxxxxxxxyiiiaxxaxaxxaaaaln1log1)1 (log1lim)(log)1 (log1)1 (log1log)(log)(0).(,sgn)(92x

12、fxxxf求設例;0202)(0)0(0lim)0()0(lim)0(0lim)0()0(lim)0(02)2(lim)()(lim)()(lim)(02)(,00000sgn)(:20020002200222xxxxxffxxxfxffxxxfxffxxxxxxxxxxfxxfxfxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxx即時當時時由于解;.值點稱極大值點極小值點統(tǒng) ,極值極大值極小值統(tǒng)稱為 .值點)小(為極大 稱點 ,值)小(取得 極 在點 則稱函數(shù) ),()()( 有)(一切內(nèi) )(的某 鄰某 在點 若函數(shù)0000000極為大對xxfxfxfxfxfxUxxUxf定義定義3四 導數(shù)的運用

13、1 極值的概念;.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:).()(, 0)()(,00)()(),(, 0,0)()(lim)(:).()(),(, 0, 0)(1100000000000000000000極點不是則存在且不為零若從上例可知的情況用類似方法可證明注即有時從而推得當有對一切由保號性證明有使對任何則存在證明若例xfx，xfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxfxfxxxxxxfxfxfxfxfxxxxfxx;。xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxfxfx，xfxfxfxf)()(,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)()()(

14、,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)(.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:000000000000000000000時當時時當時時當時時當時極點不是則存在且不為零若從上例可知的情況用類似方法可證明注;0)(,;,3 . 50000 xffxxxf則必有的極值點為若點可導在點且的某鄰域內(nèi)有定義在點設函數(shù)定理2 定理定理 (費馬定理費馬定理);注注2:極值點與穩(wěn)定點的關(guān)系:1. 極值點不一定是穩(wěn)定點,穩(wěn)定點也不一定是極值點.2. 可導函數(shù)的極值點一定是穩(wěn)定點. 0)(. 0)(, 0)()(),()()()(lim)(:0000000000 xfxfxfxUxxfxfxxxfx

15、fxfxx分析注1。xf的點為穩(wěn)定點稱滿足0)(;3 達布達布(Darboux)定理定理 (導函數(shù)的介值定理導函數(shù)的介值定理)kfbabfafkbfafbaf)(),(,)(),(),()(,4 . 5使得則至少存在一點之間任一數(shù)于為介且上可導在若函數(shù)定理;),(,)(0)(:,),()(,(*),)(;,)(*)()(),()()(),(0)(, 0)(0)()()()()(,)(,)()(:210201bakfFFemartbaxFbaxFxFbFxFaFxFbUxaUxbFaFkbfkafbFaFbaxFkxxfxF即定理得由內(nèi)取得只能在的最大值點知由最大值與最小值上有在故因而連續(xù)可導因

16、且則分別存在不妨設且上可導在則設證明;作業(yè)P94 3,4,6(2),8, 9(2),11,14;2 2 求導法那么求導法那么教學內(nèi)容：教學內(nèi)容：1. 給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導法那么.2. 給出了反函數(shù)的求導法那么,并得到了指數(shù)函數(shù),反三角函數(shù) 的求導公式.3. 給出了復合函數(shù)的求導法那么, 并得到了冪函數(shù)的求導公式.要求要求:1. 掌握求導法那么,尤其是復合函數(shù)的求導法那么.2. 能熟練運用求導法那么及根本初等函數(shù)的求導公式計算 初等函數(shù)的導數(shù).; 上一節(jié)我們講述了導數(shù)的相關(guān)知識，從實際上來講，給了一個函數(shù)，總可用定義求其導數(shù)只需可導。但用定義計算函數(shù)的導數(shù)是比較繁瑣的。 因此，我們不

17、能滿足于只用導數(shù)定義求導數(shù)，而應去尋覓一些求導數(shù)的普通方法，以便能較方便地求出初等函數(shù)的導數(shù)。在給出較普通的方法之前，先看以下函數(shù)如何求導數(shù)：xxxfcossin)(1 xxg2sin)(1xxxfcossin)(2 )sin()(2axxgxxxfalogcos)(3 xxgarcsin)(3xcxfsin)(4 xxgarccos)(4;一一 導數(shù)的四那么運算法那么導數(shù)的四那么運算法那么1 和差運算法那么).()()(,)()()(,)()(5 . 500000 xvxuxfxxvxuxfxxvxu且可導在點則函數(shù)可導在點和若函數(shù)定理;)()()()()()()()()()()()(:00

18、0000000000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析nkknkkkxuxf，xuxf，xnkxu10010)()()()()2 , 1)(:且可導則可導在若注;xxxxxxxf。xxxxfxxxxxxxf。xxxf1sin3)5(sin)(ln)(cos)()(:5sinlncos)(2cos2)(sin)()sin()(:sin)(1233222解的導數(shù)求例解的導數(shù)求例;2 乘積運算法那么)()()()()(,)()()(,)()(6 . 50000000 xvxuxvxuxfxxvxuxfxxvxu且可導在點則函數(shù)可導在點和若函數(shù)定理;)()()

19、()()()()()()()()()()()()(:000000000000000 xvxuxvxxvxxvxuxxuxxuxxvxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析)()()()()()()()()()( :1xvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注;xxxxxxxxxfxfxxxfcoslnsin)(sinlnsin)(ln)(:).(,sinln)(3解求設例)()()()()(,)()(,)2 , 1)(:2001010110010 xuxuuxuxuxfxxuxfxnkxunkkknknkkk且可導在則可導在若注;2sin82cos1223)2(sincos33)cos()l

20、n3()(:).2(cosln3)(. 4)(|)(,)(:3233000fxxxxxxxxxffxxxxfxcvxcvcxxvxx解求設例則為常數(shù)可導在若函數(shù)推論;3 相除運算法那么)()()()()()(,)()()(0)(,)()(7 . 50200000000 xvxvxuxvxuxfxxvxuxfxvxxvxu且可導在點則函數(shù)且可導在點和若函數(shù)定理?|)(1()()()()(1)()()(:0011xxxvxfxfxuxvxuxvxu轉(zhuǎn)化研究分析;)()(|)(1()()()(1)()()()(1)(1)(1)()(0200100200000001010 xvxvxvxfxvxvxx

21、vxxvxvxxvxxvxxvxxfxxfxx分析;)()()()()()()()()()()()()(1)(|)()(0200000200000 xvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxuxx注故;xxxxxxxxxxxxxxxxxnxxnxxxxx。nxxnnnnnnnnn2222222212121cscsin1sincossinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot:.csc)(cot,sec)(tan6)()1()( :,)(5證明證明例證明其中為正整數(shù)證明例;22222)tan3sin5()sec3cos5()(tan3sin5()ta

22、n3sin5()(:).(,tan3sin5)(8cotcscsincossin)(sin)sin1()(csc:cotcsc)(csc,tansec)(sec7xxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxxxxx解求設例證明證明例;二二 反函數(shù)的導數(shù)反函數(shù)的導數(shù)定理定理5.8 設設)(xfy 為)(yx的反函數(shù)，假設)(y在點0y的某鄰域內(nèi)延續(xù)，嚴厲單調(diào)且0)( 0y，那么)(xf在點0 x)(00yx可)( 1)( 00yxf 。導，且1:yxxy，如出就把這個變量用下標標的導數(shù)變量關(guān)于那一個變量有時為了清楚標明一個注;)(1lim1limlim)(0)(, 00; 0

23、0,)()(),()(:0000000100000yyxxyxyxfyxyxyyfyxfxxfyyyyxyyx得由時當且時從而當鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴格單調(diào)某在故調(diào)某鄰域內(nèi)連續(xù)且嚴格單在因設證明;1 指數(shù)函數(shù)的導數(shù)xxxaaxaxxxxeeaaeyyayxayaaaaaay)( :lnlog)(log1)(log:.ln)(),1, 0(注反函數(shù)為證明則設;2 反三角函數(shù)的導數(shù)),(11)cot()4(),(11)(arctan)3() 1 , 1(11)(arccos)2() 1 , 1(11)(arcsin) 1 (2222xxxarcxxxxxxxxx;2211cos11sin1)(cos1)(

24、arccos), 0(,cos) 1 , 1(,arccos:xyyyxyyxxxy的反函數(shù)為證明;222211cot11sincsc1)(cot1)cot(cotcotxyyyyxarcyxxarcy的反函數(shù)為;三三 復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)(鏈式法那么鏈式法那么)()()()()(),()()(100000000 xHxfxxxHxfxfxHxxUxxxf從而使得函數(shù)的連續(xù)內(nèi)存在一個在點某鄰域的可導的充要條件是在在點引理;)()()()(,)()()()()(lim)(lim)()()()()(,)(”“:00000000000000000 xUxxxxHxfxfxxHxHxfxxxf

25、xfxHxxxfxUxxxxfxfxHxxfxxxx且連續(xù)在所以則因令可導在設必要性證明;。xHxf，xxfxHxHxxxfxfxUxxxxHxfxfxxUxxHxxxx)()()()()(lim)()(lim)()()()(,)()(”“0000000000000且可導在點所以因且連續(xù)它在點若充分性;2 定理定理5. 9 設設)(xu在點0 x可導，)(ufy 在點)(00 xu可導，那么復合函數(shù)fy 在點0 x可導，且)( )( )( )( )()(00000 xxfxufxf。;)()()(),()(. .),(,)()()()()()()(. .),(,)(:0000000000000

26、 xxxxxxxtsxxxxuuUuuuuFufufuFuftsuFuuuf且續(xù)的函數(shù)連同理存在一個在可導在又由且連續(xù)的函數(shù)在則由引理存在一個可導在點由證明;)()()()()()(,)()()(,)(,)()()()()()()(0000000000000 xufxxFxHfxfxxxFxHxuFxxxxxFxxxFxfxf且可導在由引理充分性得連續(xù)在所以連續(xù)在連續(xù)在因為于是有.)()()(| )()(1)(含義不可混淆與注xxfxfufxfxu;dxdddvdvdududydxdyxxJhvvguufydxdududydxdyxuufy導數(shù)為在的復函數(shù)可導函數(shù)函數(shù)可推廣到多個函數(shù)復合寫成般

27、可的復合函數(shù)求導公式一函數(shù)為鏈式法則復合函數(shù)求導公式也稱注,)(),(),(),(,)(),(,2;x。xxxuxuyxuuyxy。yxy2sincossin2cos2)(sin)(sin,sin:,sin82222故的復合由解求設例。xxy為實數(shù)的導數(shù)求冪函數(shù)例),0(9;1lnln)ln()()(ln,:xxexexexxueyexyxuuxu故的復合為解).(),1ln()(102xfxxxf求設例;22222222211)11 (11)1 (1211 11)1(11)1ln()(:xxxxxxxxxxxxxxxxf解.,)(arctan11313yeyx求設例;223222323313

28、3131333311)(arctan31131)()()(arctan)(,arctan,)(arctan:xeeexevuxevudxdddvdvdududyyxevvuuyeyxxxx的復合為解;3333333333332232323223232311)(arctan)(11)(arctan31)(11)(arctan31)(arctan)(arctan31)(arctanxxxxxxxxxxxxeexexeeeeeeeeey熟練后;)2cos()2sin(21)21(|)cos()sin(2)cos()sin(2)(sin()sin()()(:21),()sin(1221222222es

29、vttetetetetets。ttesvtttttt解時質(zhì)點的運動速度試求為常數(shù)設一質(zhì)點的運動方程為例;xexxxxeyyeyxxx2sin1)1(1cos1sin2:.,131sin221sin1sin222解求設例;3 對數(shù)求導法對數(shù)求導法求導然后兩邊對數(shù)則采用兩邊取對求導時或冪指函數(shù)冪運算表達的函數(shù)除對由某些函數(shù)乘x，xuy，、xv)()(;1lnln,)(lnln)(ln1)2()(lnln) 1 ()(yydxdydyyddxyd。xyxyyxfdxdyyxxfyxfy為自變量函數(shù)為中間變量為以這里求導兩邊對兩邊取對數(shù)如.),1(1) 1(114222yxxxxxy求設例;)1121

30、1(1) 1(1122112111)1ln(21) 1ln(2)1ln(ln:222222222xxxxxxxxyxxxxyyxxxxxy即求導得兩邊對兩邊取對數(shù)得解。y，xvxuxuxuyxv)()()(0)(,)(15求均可導和且其中設例;)()()()(ln)()()()()()(ln)()()(ln)()()(:1)()()()(ln)()(ln)()(xvxuxuxuxvxuxuxuxvxuxvxuxuxveexuyxvxvxvxuxvxuxvxv解.,16yxyxx求設例;)ln11(lnln)ln11(lnln1ln11ln1ln1lnlnlnlnlnlnln:xxxxxxxxx

31、yyyxxxxxyyyxxxxyxxyxxxx求導兩邊對解;例例17.),4() 4(5) 2() 4(2) 5(2131yxxxxxy求設;先對函數(shù)取對數(shù), 得解解).4ln(21) 2ln(5) 4ln(31) 5ln(2) 4(5) 2() 4(2) 5(lnln2131xxxxxxxxy再對上式兩邊分別求對數(shù), 得.)4(2125)4(3152xxxxyy整理后得到.)4(2125)4(3152)4(5)2()4(2)5(2131xxxxxxxxy; 初等函數(shù)導數(shù)的計算方法:1.利用求導的四那么運算法那么及復合函數(shù)的鏈式法那么求導； 2.利用反函數(shù)求導法那么求導； 3.對數(shù)求導法； 4

32、.利用導數(shù)的定義求導； ;1 根本求導法那么1 )(vuvu 2. )(uvvuuv， )(cucu 32)(vuvvuvu，21)1(vv 4反函數(shù)導數(shù) dydxdxdy1 5.復合函數(shù)導數(shù) dxdududydxdy;2 根本初等函數(shù)導數(shù)公式10)(c21)(xx )(R3xxcos)(sinxxsin)(cos4xx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secctgxxxcsc)(csc5aaaxxln)(xxee)(6axxaln1)(logxx1)(ln;7211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc。

33、 P102 2(4)(5)(12), 3(8)(10)(15)(19)(23)(25)4(2),5(4),6;3 3 參變量函數(shù)的導數(shù)參變量函數(shù)的導數(shù)教學內(nèi)容：教學內(nèi)容：本節(jié)給出了由參量方程所確定的參變量函數(shù)的求導法那么.教學重點教學重點:參量方程的求導法那么.要求要求:能熟練求出參變量函數(shù)的導數(shù).;問題的提出問題的提出:如何求由參量方程所確定的函數(shù)的導數(shù)呢?在解析幾何上，我們遇到過曲線的參數(shù)方程。例如，橢圓的參數(shù)方程為)(sin)(costtbyttax )20( t;參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導)()()()(:ttytxxyyC參變量方程一般的表達形式是平面曲線。

34、ttttC的切線斜率點對應于求曲線)(),(1000;)(000000000000000000000|)()()()()()(lim)()()()(limlimlimtan,0,)()()()(0)(,)(),(txtttxPQdxdyttttttttttttttttxyxyPTPQtPCQttttttxyktttt時即時趨于沿則且可導在設;20)()(limcot0)(, 0)(:100000ttyxttt則只要若注光滑曲線。Ctt為光滑曲線這時稱且存在連續(xù)的導函數(shù)在若, 0,)(),(2 2 ;)()()()(:2ttytxxyyC式是參變量方程一般的表達形平面光滑曲線注) 1 ()()(

35、ttdxdy則例例1試求擺線20),cos1 (),sin(ttayttax所確定的函數(shù))( xyy 的導數(shù).;解解由公式(1)求得2cot)cos1 (sinsin()cos1 (ttatattatadtdxdtdydxdy)()(, 0)(,)()(:)()(211ttdtdxdtdydxdtdtdydxdytxtyCxttx由復合函數(shù)求導法規(guī)有可導且只要則具有反函數(shù)若;)2(tan)()()(tan)(sin)(cos)(cos)(sin)()cos)()sin)(,)(sin)(sincos)(cos,)(. 3dxdydxdyyxC即則可導若為參數(shù)方程以參量則可轉(zhuǎn)化為給出由極坐標曲線

36、;)()(tantan1tantan)tan(tan的正切是的夾角與切線的射線過點MTOHM;。aar徑的極角線與向徑的夾角等于向上任一點的切圓證明例)0(sin2:2tancos2sin2)()(tan:aarr對圓上每一點都有證明作業(yè) P105 1(1),3,6;4 高階導數(shù)高階導數(shù)教學內(nèi)容：教學內(nèi)容：1、給出了高階導數(shù)的定義，并得到冪函數(shù)、給出了高階導數(shù)的定義，并得到冪函數(shù)y=xn、三、三角函數(shù)角函數(shù) y=sinx、y=cosx、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)y=ex的的n階導數(shù)公式。階導數(shù)公式。2、給出了求兩個函數(shù)乘積的高階導數(shù)的萊布尼茨公式。、給出了求兩個函數(shù)乘積的高階導數(shù)的萊布尼茨公式。3、給

37、出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)的計、給出了求由參量方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)的計算公式。算公式。要求：要求： 熟練掌握各類函數(shù)高階導數(shù)的計算及萊布尼茨公式熟練掌握各類函數(shù)高階導數(shù)的計算及萊布尼茨公式的運用。的運用。;問題的提出：問題的提出： 速度是位移的導數(shù)，而加速度又是速度的速度是位移的導數(shù)，而加速度又是速度的導數(shù)，那么加速度與位移是什么關(guān)系呢？導數(shù)，那么加速度與位移是什么關(guān)系呢？知運動規(guī)律)(tss ，那么它的一階導數(shù)為)( tsv ，在一段時間t內(nèi)，速度的ttvttvtv)()(當0t時，極限tvt0lim 就是加速度，即速度，即平均變化率為:;)( ()( )(tstvta說加

38、速度是路程對時間的二階導數(shù)。 對時間的導數(shù)的導數(shù)。)(ts加速度是路程)( ()( )(tstvta)( lim)(0tvtvtat綜上知：;一一 高階導數(shù)的概念高階導數(shù)的概念。xfxxfxxfxf，xf，xfxf，xffxx二階可導在同時稱即記作的二階導數(shù)在導數(shù)為的在則稱可導在的導函數(shù)若函數(shù)定義0000 0 000)()(lim)()(1) 10;)1()()(0 )()(: )(1)()(lim)(),()2xfxfxfnfnf，xxfxxfxfIxxf，If，Ifnnnx函數(shù)階導的階導函數(shù)可定義的由一般地記作上二階導函數(shù)在則可得到上每一點都二階可導在區(qū)間若;)()()(0)(0)1()(

39、,),(:,|),()()(:)300nnnnxxnxxnnnnnydxydxfnydxydxf，nxfxfxf階導函數(shù)記作記作階導數(shù)處在二階及二階以上的導數(shù)高階導數(shù);二二 高階導數(shù)的計算高階導數(shù)的計算例例1 求冪函數(shù)求冪函數(shù) n 為正整數(shù)的各階導數(shù)。為正整數(shù)的各階導數(shù)。 求高階導數(shù)無非是反復運用求一階導數(shù)的方法求高階導數(shù)無非是反復運用求一階導數(shù)的方法,普通來說先求出有限階普通來說先求出有限階,然后總結(jié)出普通規(guī)律然后總結(jié)出普通規(guī)律.; 由此可見，對于正整數(shù)冪函數(shù)由此可見，對于正整數(shù)冪函數(shù)xn，每求導一次，其冪次降，每求導一次，其冪次降低低1，第，第 n 階導數(shù)為一常數(shù)，大于階導數(shù)為一常數(shù)，大于

40、 n 階的導數(shù)都等于階的導數(shù)都等于0。解解 由冪函數(shù)的求導公式得由冪函數(shù)的求導公式得;.,cos2)(nyxy求設例xysin:解)2cos(xxycos )2sin(x)22cos(xxysin )22sin(x)222cos(x)2cos()(nxyn故)2sin(,sin:)(nxyxyn則若類似;.3各階導數(shù)求例xey xxee)(:解xxee )(xnxee)()(;三三 求高階導數(shù)法那么求高階導數(shù)法那么)()()()() 1nnnvuvu2) 萊布尼茨公式萊布尼茨公式2) 萊布尼茨公式萊布尼茨公式萊布尼茨公式：萊布尼茨公式：;解解 令令 由例由例2和例和例3有有運用萊布尼茨公式運用

41、萊布尼茨公式n=5得得)(cos4nxyx，ey求設例;.,) 1(15)(nyxxy求設例111:xxy解)()1(nx)(1)(nx11!) 1(!) 1(nnnnxnxn)()11(nx1) 1(!) 1(nnxn)(ny) 1(11( !) 1(11nnnxxn)()1(nx)()11(nx;3) 分段函數(shù)的高階導數(shù)分段函數(shù)的高階導數(shù)例例5 研討函數(shù)研討函數(shù) 的高階導數(shù)。的高階導數(shù)。解解 當當 時，時， 當當 時，時， 當當 時，由左右導數(shù)定義不難求得時，由左右導數(shù)定義不難求得 而當而當 時，時， 不存在，整理后得不存在，整理后得 當當 時時;4) 由參量方程所確定的函數(shù)的高階導數(shù)由參

42、量方程所確定的函數(shù)的高階導數(shù)) 1 ()()(, 0)(,)()()(ttdxdytnttytxxyy則且階導數(shù)有直到其中所確定由參數(shù)方程設函數(shù)確定參數(shù)方程由即)()()()()(ttdxdytxttdxdy;3 22)()()()()()()()()()(ttttttttdtddtdxdxdydtddxdtdxdydtddxdydxddxyd )()( )2()()()()()( 22322ttdxydtttttdxyd 注;。xfyttbytax的一階二階導數(shù)所確定的函數(shù)程求由上半橢圓的參數(shù)方例)(0sincos7.cotsincos)cos()sin()2)(1 (:tabtatbtat

43、bdxdy得由公式解.cscsincsc)cos()cot()(32222tabtatabtatabdtdxdxdydtddxyd;5) 復合函數(shù)的高階導數(shù)。xyxgxgfxgxgfxgxgfxgxgfdxdxgxgfdxdxyxgxgfxynIgfIxxgfy數(shù)求導法規(guī)時對上式仍采用復合函從而求則階導數(shù)直到都有在和其中設)()()()()()()()()()()()()()()(,)( 2 ;)(arctan7nyx，y求設例)(coscostan1111:2222xyyyxy解求導方程兩邊對x y)2(2sincossincos22yyyyy y2)2(202cos)2(2sinsinco

44、s2yyscyyyysin)2(2sincos)2(2coscos23yyyyy)2(3sincos2)3cos(cos233yyyy;)2(sincos)!1(:)(ynynynn若1)1()2(coscos)2(sinsincos)!1(yynynynyynnynnn)2)(1sin(cos!1ynynn)2(sincos)!1()(ynynynnn求導兩邊對求導兩邊對則注由xyxxy，xyxxy0)1 (21)1 (11 222;作業(yè)P109 2,3(3)(4),4(2),5(4),6(1); 5 微微分分教學內(nèi)容：教學內(nèi)容：1、給出了函數(shù)在一點得微分可微的概念，并證明、給出了函數(shù)在一點

45、得微分可微的概念，并證明了可導與了可導與 可微是等價的?？晌⑹堑葍r的。2、微分運算法那么以及一階微分方式的不變性。、微分運算法那么以及一階微分方式的不變性。3、高階微分的定義與計算，并闡明高階微分不具有方、高階微分的定義與計算，并闡明高階微分不具有方式的不變式的不變 性。性。4、微分在近似計算中的運用。、微分在近似計算中的運用。要求要求:1、掌握微分概念，了解微分的分析和幾何意、掌握微分概念，了解微分的分析和幾何意義。義。2、掌握微分與導數(shù)的異同以及它們之間的聯(lián)、掌握微分與導數(shù)的異同以及它們之間的聯(lián)絡。絡。; 由兩部分組成：由兩部分組成： 陰影部分陰影部分 它是關(guān)于它是關(guān)于 的高階無窮小量的高

46、階無窮小量因此，當給因此，當給 一個微小增量一個微小增量 時，由此引時，由此引起的正方形增量起的正方形增量 可近似地用可近似地用 的線性部分的線性部分 來替代，且來替代，且由此產(chǎn)生的誤差是一個關(guān)于由此產(chǎn)生的誤差是一個關(guān)于 的高階無窮小量。的高階無窮小量。例：設一邊長為例：設一邊長為x的正方形，它的面積的正方形，它的面積 是是 正數(shù)。假設邊長由正數(shù)。假設邊長由 添加到添加到 ，相應地正方，相應地正方形形202020)(2)(xxxxxxs2xs 0 xxx0面積地增量面積地增量;一一 微分的概念微分的概念1定義定義1設函數(shù)設函數(shù) 定義在點定義在點 的某鄰域的某鄰域 內(nèi)。當給內(nèi)。當給 一個增量一個

47、增量 時，相應地得到函數(shù)的增量為：時，相應地得到函數(shù)的增量為： 假設存在常數(shù)假設存在常數(shù)A，使得，使得 能表示成能表示成那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 在點在點 可微，并稱可微，并稱1式中的第一項式中的第一項 為為 在在點點 的微分，記作的微分，記作 1或或留意：函數(shù)的微分與增量之間僅相差一個關(guān)于留意：函數(shù)的微分與增量之間僅相差一個關(guān)于 的高階無窮的高階無窮 小量。小量。 假設函數(shù)假設函數(shù) 在點在點 可微，那么在點可微，那么在點 的小鄰域內(nèi)可的小鄰域內(nèi)可 用切線替代曲線。用切線替代曲線。;2 可導與可微的關(guān)系可導與可微的關(guān)系xxfdyxfAxfxf)()(,10. 50000即而且可導在可微的充要條件是在函數(shù)定理可導可微在必要性分析)0()()(,”“0 xAxxoAxyxoxAyxf)()0, 0()(”“00 xodyxxxxfyxf有限增量公式可導在充分性;PQQR3 微分幾何意義長小得多比的長時即當且如圖0000,0, 0)()()0, 0()(:RQQQxxRQQQxfRQQQxfPRQQxdyyQQdyyxxxxfRQy;4 區(qū)間上可微函數(shù)xxxfdxdyxxfyxxxxfdyIfIfIxfy)()(),()(,)(時當也依賴于不僅依賴于上微分記