經(jīng)典力學(xué)的秘密微積分精要和物理與數(shù)學(xué)的奧秘

1、 經(jīng)典力學(xué)的秘密微積分精要和物理與數(shù)學(xué)的奧秘 secrets of classical mechanicsthe essence of calculus and the mysteries of physics and mathematicsdawei tang摘要：“如果我比別人看得更遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏?。”?7世紀(jì)的約200年前，意大利有一位大家（注：為了避免一些可能性的歷史糾紛，未使用人名，統(tǒng)稱“大家”），他首先發(fā)現(xiàn)了重力和慣性，200年后，在英國的另一位大家將這個(gè)發(fā)現(xiàn)首先用數(shù)學(xué)的方式論證出來。世間流傳他是因?yàn)樵谝活w蘋果樹下思考重力的奧秘，被蘋果砸中頭頂，靈感一現(xiàn)才思考通了這

2、個(gè)道理。其實(shí)，這個(gè)故事或真或假，也有很大可能是他為了搪塞眾口而臨時(shí)起意，即使真有這個(gè)經(jīng)過，是否跟蘋果砸中頭頂有關(guān)系，無從考證，也沒有必要探究清楚，并不影響我要在下文講解的內(nèi)容。if i have seen further than others, it is by standing on the shoulders of giants.關(guān)鍵詞：經(jīng)典力學(xué)；力學(xué)距離公式；微積分；classical mechanics；mechanical distance formula；calculus引言：我們這個(gè)物質(zhì)世界，由許許多多的物理規(guī)則和公式組成，出現(xiàn)了物體就有數(shù)學(xué)可以對(duì)它們進(jìn)行表示，各位大家創(chuàng)造出來

3、的數(shù)學(xué)原理，也必然可以切合入物理規(guī)則中，那么物理和數(shù)學(xué)之間的應(yīng)用就可以相輔相成。正文：在17世紀(jì)，數(shù)學(xué)界，或許早已精通如何計(jì)算累加值，比如從1累加到10，它的總數(shù)等于55，應(yīng)該說從古羅馬古經(jīng)典時(shí)期，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)得出了這個(gè)計(jì)算公式，公式如下它的意思是從1累加到x，其中每個(gè)值只自增1，將首尾的數(shù)字相加再乘以相加的次數(shù)，再除以2，就等于累和的值。這是前人總結(jié)出來的數(shù)學(xué)計(jì)算公式，英國的那位大家，也許是從中得到了一些經(jīng)驗(yàn)和啟發(fā)，又或者從比薩斜塔著名的自由落體實(shí)驗(yàn)中得到啟示。當(dāng)一個(gè)物體下落的時(shí)候，移動(dòng)速度越來越快，那么這個(gè)下落的過程中，如果把總時(shí)間分割為每單位時(shí)間，其中每單位時(shí)間經(jīng)過的距離就會(huì)不斷地

4、增加，把后一單位時(shí)間的距離減去前一單位時(shí)間的距離，等于多出來的一段自增距離，那么，這位大家如果根據(jù)這個(gè)原理，測(cè)量出了每個(gè)單位時(shí)間增加的距離都相同，就能夠斷定，這各下落的物理現(xiàn)象中存在一個(gè)恒定的加速度，再根據(jù)比薩斜塔的自由落體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)質(zhì)量差異巨大的物體落下經(jīng)過的路程和過程用時(shí)幾乎一樣，那么加速度相同，是不是受到了同一個(gè)力量呢？這或許就是他找出了地球存在一個(gè)同樣的引力在作用的原因。那么將他在大腦里得出的這個(gè)原理導(dǎo)入到數(shù)學(xué)的累和公式中，比如把第一單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離好比為1，把最后落地所經(jīng)過的最后單位時(shí)間移動(dòng)的距離比作x，假設(shè)每單位時(shí)間增加的距離等于1，則受這個(gè)加速度影響的整個(gè)移動(dòng)距離就等于(

5、1+x)x/2。其實(shí)這里每單位時(shí)間移動(dòng)的距離增加的1，就是整個(gè)下落運(yùn)動(dòng)中的加速度a，如圖1所示進(jìn)一步講解圖1從每單位時(shí)間就增加a=1的加速度來看，整個(gè)落地過程就可以表示為從移動(dòng)距離的1、2、3一直到10落地，再將這幾個(gè)按單位時(shí)間分割的移動(dòng)距離累和起來，就是在a=1這個(gè)加速度影響下移動(dòng)了t=10個(gè)單位時(shí)間所移動(dòng)的總距離。每次單位時(shí)間移動(dòng)的距離等于整個(gè)下落過程中每單位時(shí)間內(nèi)的速度，所以，我們把這個(gè)累和公式中，后一個(gè)x單位當(dāng)作t時(shí)間，得到距離h的式子等于又從數(shù)學(xué)關(guān)系上知道 ，則這就是那位大家的第一經(jīng)典力學(xué)定律的距離計(jì)算公式的由來，可見物理和數(shù)學(xué)是互通的，并且也是可以互相得到啟發(fā)的。當(dāng)然這位大家在后來

6、更將這個(gè)原理發(fā)展到了極致，創(chuàng)作出了流傳幾百年的經(jīng)典數(shù)學(xué)原理：微積分。微積分的用處非常廣泛，特別是到了近代，它可以用于計(jì)算不規(guī)則形狀的長(zhǎng)度和面積，以及體積。在微積分出現(xiàn)以前，要計(jì)算不規(guī)則的復(fù)雜模型的數(shù)據(jù)，是行不通的，當(dāng)時(shí)只有規(guī)則的模型，比如矩形、三角形、圓形、球體等這些幾何形狀才能被精確計(jì)算。當(dāng)然也有比較古老笨拙的計(jì)算方法，就是把不規(guī)則形狀的模型放入一個(gè)立方體內(nèi)，然后注滿水，再把模型撈出來，計(jì)算水的體積，再用立方體的體積減去水的體積，就得到不規(guī)則模型的體積了。但如果單從數(shù)學(xué)的方法入手，就必須要借用微積分的思路了。那位大家將計(jì)算力學(xué)中距離累和的公式引入到了計(jì)算曲線中，來解決測(cè)量曲線長(zhǎng)度或曲面面積的

7、數(shù)值的問題。如圖2圖2從計(jì)算定加速度距離的公式中看，要計(jì)算一條曲線的長(zhǎng)度，可以將這曲線移動(dòng)距離的時(shí)間t分割若干單位時(shí)間，也就是自增量 ，也可以記作 ，如圖2中，每個(gè) 內(nèi)，線段都移動(dòng)若干格子的距離，這個(gè)距離可以記作 ，假設(shè)每個(gè) 距離增加的量相等，也就是在曲線中從物理的方面看，定加速度a恒定，則曲線長(zhǎng)度式子h可以寫作 ，也可以寫作 。其實(shí)這是 無限小的情況下，一種近乎垂直的曲線的計(jì)算狀況，實(shí)際計(jì)算曲線長(zhǎng)度需要用到勾股定律計(jì)算 和 組成的三角形最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度來累和。一個(gè)微分的單位斜邊可以用 來表示，將整個(gè)微分的曲線過程累和就是曲線的長(zhǎng)度了，如下 就是微積分中的導(dǎo)數(shù)，雖然只是表示一個(gè)值，通常也叫做導(dǎo)函數(shù)

8、，它的實(shí)現(xiàn)是將原函數(shù)代入到導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)中進(jìn)行演化后得到，比如導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)等于如果將 這個(gè)曲線作為原函數(shù)帶入到導(dǎo)函數(shù)的推導(dǎo)函數(shù)中，得到再將導(dǎo)函數(shù)2x導(dǎo)入到曲線 的積分中，得到若， 可導(dǎo)，則表示在定區(qū)間內(nèi)，任意x點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)相同且連續(xù)，這種情況也表示了每次 的增加值恒定，因?yàn)?無限小，可看作每個(gè) 的增加值也近似恒定，也就是曲線運(yùn)動(dòng)中物理的加速度a恒定，則可利用 公式進(jìn)行累和計(jì)算。得到曲線經(jīng)過0點(diǎn)的長(zhǎng)度積分求和的方法等于所以，可以算出當(dāng)x取3的時(shí)候，曲線 從0點(diǎn)畫到3時(shí)的曲線長(zhǎng)度是 10.6241437，當(dāng)x取1的時(shí)候，曲線長(zhǎng)度等于1.6180339。它表示了一條穿過0點(diǎn)的可導(dǎo)曲線從0點(diǎn)到x的長(zhǎng)度計(jì)算公式等于函數(shù)可導(dǎo)的意義在于函數(shù)線段連續(xù)平滑，連續(xù)平滑就表示了任意點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)相同且連續(xù)，每 中 的增加量恒定，當(dāng) 或者 時(shí)，一次計(jì)算 之間的差值并不能得到恒定的a加速度增加值，比如 這個(gè)函數(shù)就會(huì)得到一個(gè)變加速a，需要多次求a，最后能找到一個(gè)恒定的增加值，這表示取 無限小的時(shí)候，累加可行，可以看作是物理曲線運(yùn)動(dòng)中的a加速度恒定。如果這個(gè)a加速度在曲線某區(qū)間內(nèi)的過程中不恒定，則這條曲線畫出來就不是一條連續(xù)平滑的曲線，就不可導(dǎo)。這就是微積分的精要，由英國那位大家先是通過數(shù)學(xué)累和公式完成了經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)原理，再通過經(jīng)典力學(xué)原理完成了微積分的原理。這就是當(dāng)代物理和數(shù)學(xué)之間最大的奧秘，也是