單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)[綜合材料]

1、現(xiàn)代控制理論課程綜合設(shè)計單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)1 引言單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)一種廣泛應(yīng)用的物理模型，其物理模型如下：圖示為單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)原理圖。其中擺的長度=1m，質(zhì)量=0.1kg ，橫桿的長度 =1 m，質(zhì)量=0.1kg，重力加速度。以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入，橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移為輸出?？刂频哪康氖钱?dāng)橫桿在水平方向上旋轉(zhuǎn)時，將倒立擺保持在垂直位置上。圖1 單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)模型單級旋轉(zhuǎn)倒立擺可以在平行于紙面3600的范圍內(nèi)自由擺動。倒立擺控制系統(tǒng)的目的是使倒立擺在外力的推動下，擺桿仍然保持豎直向上狀態(tài)。在橫桿靜止的狀態(tài)下，由于受到重力的作用，倒立擺的穩(wěn)定性在擺桿微小的擾動下，就會

2、使倒立擺的平衡無法復(fù)位，這時必須使橫桿在平行于紙面的方向通過位移產(chǎn)生相應(yīng)的加速度。作用力與物體位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)存在線性關(guān)系，故單級倒立擺系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)。本文綜合設(shè)計以以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入，橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移為輸出，建立狀態(tài)空間模型，在原有系統(tǒng)上中綜合帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng)，從而實現(xiàn)當(dāng)橫桿在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，將倒立擺保持在垂直位置上。2 模型建立本文將橫桿和擺桿分別進(jìn)行受力分析，定義以下物理量：本文將橫桿和擺桿分別進(jìn)行受力分析，定義以下物理量：為加在橫桿上的力矩；為擺桿質(zhì)量；為擺桿長度；為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量；為橫桿的質(zhì)量；為橫桿的長度；為橫桿的轉(zhuǎn)動慣量；為橫桿在力矩作用下

3、轉(zhuǎn)動的角度；為擺桿與垂直方向的夾角；N和H分別為擺桿與橫桿之間相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立擺模型受力分析如圖2所示。圖2 倒立擺模型受力分析擺桿水平方向受力平衡方程：（橫桿的轉(zhuǎn)動弧長即位移）擺桿垂直方向受力平衡方程：擺桿轉(zhuǎn)矩平衡方程： 橫桿轉(zhuǎn)矩平衡方程： 考慮到擺桿在設(shè)定點(diǎn)附近做微小振動，對上式進(jìn)行線性化，即， ，其中，近似線性化得到，整理上式可得倒立擺的狀態(tài)方程：本文參數(shù)代入計算可得：取狀態(tài)變量如下： 故 3 穩(wěn)定性和能控性分析3.1 穩(wěn)定性分析判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定，只需判斷該系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是否都在左半平面。編寫Matlab語句可得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即A=0,1,0,0;0,0

4、,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0;D=0;Gss=ss(A,B,C,D);G1=zpk(Gss)G1 = 11.053 (s+2.898) (s-2.898) - s2 (s-3.518) (s+3.518) Continuous-time zero/pole/gain model.從結(jié)果可以看出，傳遞函數(shù)存在一個在復(fù)平面右半側(cè)的極點(diǎn)，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.2 能控性分析判斷系統(tǒng)是否完全能控，只需判斷該系統(tǒng)能控性矩陣是否為滿秩，即若，則該系統(tǒng)是完全能控的。根據(jù)Matlab語句中Qc=ctrb(A,B)，即

5、A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0;Qc=ctrb(A,B);n1=rank(Qc)n1 = 4從結(jié)果可以看出該系統(tǒng)是完全能控的，可以實現(xiàn)任意極點(diǎn)的配置。3.3 能觀測性分析與判斷能控性類似，只需判斷該系統(tǒng)能觀測性矩陣是否為滿秩，即若，該系統(tǒng)是完全能觀測的。借用Matlab語句中Qo=obsv(A,C)，即A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;C=1,0,0,0;Qo=obsv(A,C);n2=

6、rank(Qo)n2 = 4從結(jié)果可以看出該系統(tǒng)是完全能觀測的，故可以配置狀態(tài)觀測器4 狀態(tài)反饋分析4.1 原系統(tǒng)Simulink仿真及分析根據(jù)現(xiàn)代控制原理，繪制原系統(tǒng)的狀態(tài)模擬圖，如圖3所示。M-9.474yM-9.474-4.642 12.39711.053圖3 原系統(tǒng)狀態(tài)模擬圖運(yùn)用MATLAB中的Simulink來對原系統(tǒng)進(jìn)行仿真，首先可以得出原系統(tǒng)的Simulink仿真模型如下圖4所示圖4 原系統(tǒng)Simulink仿真圖通過Simulink仿真可以得到原系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，其中初始值，響應(yīng)曲線如下圖所示圖5 原系統(tǒng)和零狀態(tài)響應(yīng)曲線從仿真波形可以看出，在初始擾動情況下，擺桿不會穩(wěn)定到垂直位置

7、，橫桿會一直運(yùn)動，故原系統(tǒng)不穩(wěn)定，這與上文所述傳遞函數(shù)有左半平面極點(diǎn)符合。4.2 狀態(tài)反饋分析由于原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需要加入狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于左半平面，狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。圖6 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的各種特性及其品質(zhì)指標(biāo)在很大程度上是由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置決定。極點(diǎn)配置問題就是通過對狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在所希望的位置上，從而達(dá)到期望的性能指標(biāo)的要求。極點(diǎn)配置是一個非常復(fù)雜的問題，是一個工程實踐與理論相結(jié)合的問題。我們這里采用一種工程實踐中經(jīng)常用到的簡便方法-主導(dǎo)極點(diǎn)法，其基本思路是先根據(jù)期望的性能指標(biāo)和經(jīng)驗公式確定一對主導(dǎo)

8、閉環(huán)極點(diǎn)，然后將另外的非主導(dǎo)極點(diǎn)放在復(fù)平面上遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)的位置設(shè)倒立擺控制系統(tǒng)期望的性能指標(biāo)為：阻尼系數(shù)=0.6，調(diào)節(jié)時間ts=2s。亦即控制系統(tǒng)在任意給定的初始條件下，能夠以適當(dāng)?shù)淖枘?0.6（大約10%的超調(diào)），在2s鐘內(nèi)將擺桿恢復(fù)到垂直平衡位置。根據(jù)控制理論的經(jīng)驗公式得到無阻尼自然頻率為： n =4/ （ ts ） =4/1.2=3.33 P=wn由上述條件的很容易構(gòu)建一個二階系統(tǒng)，其兩個極點(diǎn)為： p1 = -2.0000 +2 j p2 = -2.0000 -2 j它們就是需要的主導(dǎo)極點(diǎn)，控制系統(tǒng)的性能主要由這兩個主導(dǎo)極點(diǎn)決定。另外兩個非主導(dǎo)極點(diǎn) （為簡化取兩個實數(shù)極點(diǎn)）經(jīng)過反復(fù)試驗整

9、定，分別取距離兩個主導(dǎo)極點(diǎn)4 倍和 5 倍的遠(yuǎn)處，即： p3 = -8.0000 p4=-10.0000本文設(shè)計的狀態(tài)反饋要求系統(tǒng)期望的特征值為：-10;-8;-2+j;-2-j。手算求解狀態(tài)反饋陣K有待定系數(shù)法和直接法，由于矩陣A階數(shù)較高，本文使用Matlab中K=place(A,B,P1)，求解K。A=0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0;B=0;11.053;0;-9.474;P1=-10;-8;-2+2j;-2-2j;K=place(A,B,P1)K =-6.8931 -4.9957 -26.2369 -8.1525狀態(tài)反饋運(yùn)用MATLAB

10、中的Simulink來對原系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到狀態(tài)反饋模型仿真圖如下圖7所示。圖7 狀態(tài)反饋Simulink仿真圖同理可得，初始值，的零狀態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)曲線如圖8所示。圖8 狀態(tài)反饋系統(tǒng)和零狀態(tài)響應(yīng)曲線從響應(yīng)曲線可以看出，在，的初始擾動下，經(jīng)過3s左右的時間，擺桿回到垂直的位置，這說明加入狀態(tài)反饋后可以使原系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。5 帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng)分析5.1 狀態(tài)觀測器的設(shè)計由于在系統(tǒng)建模時狀態(tài)變量并不是都是能直接測量，因此人為地構(gòu)建一個系統(tǒng)來實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)也即狀態(tài)觀測。狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖如下，即圖9 狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖觀測器的狀態(tài)方程為：顯然選擇觀測器的系數(shù)矩陣的特征值均具有負(fù)復(fù)數(shù)，就可以使?fàn)?/p>

11、態(tài)估計逐漸逼近狀態(tài)的真實值。本文設(shè)計全維狀態(tài)觀測器的特征值為：-10，-8，-2+2j，-2-2j，同理根據(jù)語句G=place(A,C,P2)可得5.2 帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋分析帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由3個部分組成，即原系統(tǒng)，觀測器和狀態(tài)反饋。圖10 綜合后Simulink仿真圖初始值，的零狀態(tài)響應(yīng)曲線如下 圖11 綜合后零狀態(tài)響應(yīng)曲線從上面響應(yīng)曲線可以看出，加入觀測器后系統(tǒng)在3s左右達(dá)到穩(wěn)定，這是因為觀測器后極點(diǎn)特征值的實部更加偏離原點(diǎn)，極點(diǎn)離遠(yuǎn)點(diǎn)越近，達(dá)到穩(wěn)定的時間越短。此外，綜合后超調(diào)量略有增加。綜合后階躍響應(yīng)如圖12所示。圖12 綜合后階躍響應(yīng)曲線從響應(yīng)曲線可以看出，加入階躍M=1后，

12、擺桿發(fā)生左右來回振蕩，振蕩幅度較大，最終擺桿處于垂直位置，橫桿位于一個具體位置。6 總結(jié)單倒立擺是一個非線性系統(tǒng)，通過近似線性變化，得到一個單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)。選擇一組狀態(tài)變量， ， ，線性定常系統(tǒng)做穩(wěn)定性，能控性和能觀測性分析，得出原系統(tǒng)是不穩(wěn)定，完全能控的，完全能觀測的。原系統(tǒng)在參考輸入為零的情況下，系統(tǒng)狀態(tài)在初始擾動的響應(yīng)不能衰減至零，加入狀態(tài)反饋后能夠衰減至零。利用狀態(tài)觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)與直接進(jìn)行狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)相比，暫態(tài)過程持續(xù)時間較長，這與極點(diǎn)的位置有關(guān)。綜合后的階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定時間較長，還有劇烈的震蕩，這符合實際情況。7 感想本次課程設(shè)計利用現(xiàn)代控制理論建立空間狀態(tài)變量以及狀態(tài)反饋的方法，實現(xiàn)單