解析幾何解題方法集錦

1、 解析幾何解題方法集錦 俗話說：知己知彼，才能百戰(zhàn)百勝，這一策略，同樣可以用于高考復(fù)習(xí)之中。我們不僅要不斷研究教學(xué)大綱、考試說明和教材，而且還必須研究歷年高考試題，從中尋找規(guī)律，這樣才有可能以不變應(yīng)萬變，才有可能在高考中取得優(yōu)異成績(jī)?？v觀近幾年的高考解析幾何試題，可以發(fā)現(xiàn)有這樣的規(guī)律：小題靈活，大題穩(wěn)定。一、解決解析幾何問題的幾條原則1重視數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想2注重平面幾何的知識(shí)的應(yīng)用3突出圓錐曲線定義的作用二、解析幾何中的一類重要問題直線有圓錐曲線的位置關(guān)系問題是解析幾何中的一類重要問題，它是我們解決解析幾何其他問題的基礎(chǔ)。我們必須熟悉直線與三種圓錐曲線的位置關(guān)系，熟練掌握直線和圓錐曲線相交所

2、所產(chǎn)生的有關(guān)弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)以及垂直等基本問題的基本解法。特別要重視判別式的作用，力爭(zhēng)準(zhǔn)確地解決問題。弦長(zhǎng)問題：|ab|= 。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。三、高考解析幾何解答題的類型與解決策略.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例1 （1994年全國(guó)）已知直線l過原點(diǎn)，拋物線c 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)a（-1，0）和點(diǎn)b（0，8）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在c上，求直線l和拋物線c的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設(shè)出它們的方程，l：y=kx(k0),c:y2=2px(p0).設(shè)a、b關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)分別為a/、b/，則利用對(duì)稱性可求得

3、它們的坐標(biāo)分別為：a/（ ），b/（ ）。因?yàn)閍/、b/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k= ,p= .所以直線l的方程為：y= x,拋物線c的方程為y2= x.例2 (1993年全國(guó))在面積為1的pmn中，tanm= ,tann=-2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以m、n為焦點(diǎn)且過點(diǎn)p的橢圓方程。分析：此題雖然與例1一樣都是求形狀已知的曲線方程問題，但不同的是例1是在給定的坐標(biāo)系下求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而此題需要自己建立坐標(biāo)系。為使方程簡(jiǎn)單，應(yīng)以mn所在直線為x軸，以mn的垂直平分線為y軸。這樣就可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中有兩個(gè)未知數(shù)。2曲線的形狀未知-求軌跡方程例3 （199

4、4年全國(guó)）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q（2，0）和圓c：x2+y2=1, 動(dòng)點(diǎn)m到圓c的切線長(zhǎng)與|mq|的比等于常數(shù) （ 0）,求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)mn切圓c于點(diǎn)n，則動(dòng)點(diǎn)m組成的集合是：p=m|mn|= |mq|，由平面幾何知識(shí)可知：|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，將m點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.當(dāng) =1時(shí)它表示一條直線；當(dāng) 1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。例4 （1999年全國(guó)）給出定點(diǎn)a（a,0）(a0)和直線l：x=-1，b是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，boa的角平分線交ab于點(diǎn)c，求點(diǎn)c的軌跡方程

5、，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。分析：設(shè)c（x,y）,b(-1,b).則直線ob的方程為：y=-bx.由題意：點(diǎn)c到oa、ob的距離相等，且點(diǎn)c在線段ab上，所以y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0若，y0,則(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0，則b=0,aob=180?,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，0），也滿足上式。所以，點(diǎn)c的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)。當(dāng)a=1時(shí)，方程表示拋物線??；當(dāng)0a1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧。一般地，如果選擇了m個(gè)參數(shù)，則需要列出m+1個(gè)方程。例5 （1995年全國(guó)）已知橢圓 和直線l: ，p

6、是直線l上一點(diǎn)，射線op交橢圓于點(diǎn)r，又點(diǎn)q在op上，且滿足|oq| |op|=|or|2，當(dāng)點(diǎn)p在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。分析：設(shè)q(x,y),p(xp,yp),r(xr,yr), 則，代入，得： (x-1)2+ (y-1)2=1.注意：若將點(diǎn)p、q、r分別投影到x軸上，則式子 可用|x| |xp|=|xr2|代替，這樣就簡(jiǎn)單多了。.研究圓錐曲線有關(guān)的問題1有關(guān)最值問題例6 (1990年全國(guó))設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，已知點(diǎn)p（0， ）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是 ，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)p的距離等于 的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問題，函數(shù)思想。

7、關(guān)鍵是將點(diǎn)p到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為 ，則由e= 得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|pq|= = (-b y b).若b ，則- 與b0)，過m（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)a、b，|ab|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段ab的垂直平分線交x軸于點(diǎn)n，求nab面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對(duì)于（1），可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：求范圍，找不等式?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；

8、對(duì)于（2）首先要把nab的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：最值問題，函數(shù)思想。解：(1)直線l的方程為：y=x-a,將y=x-a 代入拋物線方程y2=2px,得：設(shè)直線l與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（x1,y1）,b(x2,y2)，則 ,又y1=x1-a,y2=x2-a,解得:(2)設(shè)ab的垂直平分線交ab與點(diǎn)q，令其坐標(biāo)為（x3,y3），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：,所以|qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又mnq為等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|= ，所以snab= ,即nab面積的最大值為 2。例8 （1992年高考題）已知橢圓 ，a,b是橢圓上的兩點(diǎn)，線

9、段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)p(x0,0)，證明： .分析：欲證x0滿足關(guān)于參數(shù)a、b的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：-axa,因此問題轉(zhuǎn)化為尋求x0與x的關(guān)系。由題設(shè)知，點(diǎn)p在線段ab的垂直平分線上，所以|ap|=|bp|，若設(shè)a（x1,y1）,b(x2,y2),則有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因?yàn)辄c(diǎn)a、b在橢圓上，所以，從而由-ax1a,-ax2a,可得：例9 (2000年高考題)已知梯形abcd中，|ab|=2|cd|，點(diǎn)e滿足 ，雙曲線過c、d、e三點(diǎn)，且以a、b為焦點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。分

10、析：顯然，我們只要找到e與 的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出e的范圍。解：如圖建立坐標(biāo)系，這時(shí)cdy軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)c、d，且以a、b為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知c、d關(guān)于y軸對(duì)稱。依題意，記a(-c,0)，c( h)，e(x0,y0),其中c= 為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由 ,即(x0+c,y0)= ( -x0,h-y0)得:x0= .設(shè)雙曲線的方程為 ,則離心率e= 。由點(diǎn)c、e在雙曲線上,將點(diǎn)c、e的坐標(biāo)和e= 代入雙曲線的方程得將（1）式代入（2）式,整理得 (4-4 )=1+2 ,故 =1 .依題設(shè) 得 ,解得 .所以雙曲線的離心率的取值范圍是 .例10 已知拋

11、物線y2=2px (p0)上存在關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，求p的取值范圍。分析：解決本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于p的不等式。設(shè)拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)是m(x1,y1)、n(x2,y2)，設(shè)直線mn的方程為y=x+b.代入拋物線方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.則x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.則mn的中點(diǎn)p的坐標(biāo)為 (p-b,p).因?yàn)辄c(diǎn)p在直線x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。又 =(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp0,將b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)0,3p2-2p0.解得：0p .是否存在常數(shù)a、b、c，使函數(shù)f(x)= 滿足下列條件：（1）函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（2）；f(1)f(3)