課本一道例題的探究.doc

1、課本一道例題的探究438600- 結(jié)合 2012 年高考題談斜率的一些性質(zhì)湖北省羅田縣第一中學(xué) 曾堯鋒【摘要】本文通過(guò)課本圓錐曲線的例題結(jié)合歷年高考題談斜率的一些性質(zhì)，探求高考試題的聯(lián)系，認(rèn)真研究高考試題，從而強(qiáng)化對(duì)課本的作用的，發(fā)掘其真正內(nèi)涵，探索出一般性的結(jié)論.【關(guān)鍵詞】課本例題高考斜率性質(zhì)變式題課本是教學(xué)之本， 考題之源。 近幾年的高考命題堅(jiān)持貫徹高考試題 “源于課本”的命題原則， 一直都很注重強(qiáng)化課本的作用。 其中許多題目都能在課本上找到影子，是課本上題目的變形和轉(zhuǎn)化， 因此課本典型例題， 習(xí)題值得師生關(guān)注與思考。人教版教材選修 2-1 有這樣一道例題（第 41 頁(yè)例 3） 設(shè)點(diǎn) A

2、， B 的坐標(biāo)分別為（ -5,0），（5，0），直線 AM ， BM 相交于點(diǎn) M ，且它們的斜率之積是4 ,9求點(diǎn) M 的軌跡方程 .這是一道很具有典型性和代表性的題， 是我們探究圓錐曲線斜率的一個(gè)很好的素材，同時(shí)也是近年高考命題者親睞的內(nèi)容之一。我們知道點(diǎn) M 的軌跡為焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓，該題可變形為：設(shè)點(diǎn) A ，B 是橢圓 x 2y 2長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，點(diǎn) M 在橢圓上，求直線 AM ， BM 的斜率之積 .2511009在求斜率之積的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)可以將其拓展到一般的橢圓：探究一 若橢圓 x2y2 1(ab0) 上任意一的點(diǎn) P（不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）與長(zhǎng)軸a2b2的兩個(gè)端點(diǎn)的連線斜率分別為k1與

3、k2 ，則橢圓的離心率 e滿足：k1 k2 e2 1。推廣更一般結(jié)論：定理一：有心圓錐曲線（ 圓、橢圓、雙曲線都有對(duì)稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線x2y 21上任一點(diǎn)與任一直徑兩端點(diǎn)分別連線, 其斜率之積為常數(shù)n .mnm22例 1 設(shè) A ，B 是橢圓 x 2+ y21(ab0) 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)， P 為橢圓上異于abA，B 的點(diǎn)，直線 PA 與 PB 的斜率分別記為k1 , k2 ，離心率為 e，則 k1k2b2e21.a2證明：設(shè) A（x1，y1）， （）則（，- y1）P x2 , y2,B - x12222A，P 都在橢圓上，故 x12 +y121x22 + y221ab,ab兩式

4、相減變形得： y12y22b2, 而 k1k2 y1y2y1y2y12y22x12x22a2x1x2x1x2x12x22故 k1 k2b2e21.a2顯然探究一為定理一的特殊情況， 例一只證明了曲線為焦點(diǎn)在 x 軸上的情況。 利用探究的結(jié)論可以比較方便的解決這道高考題：例 2（2012 年湖北高考）設(shè)A 是單位圓 x2y21 上的任意一點(diǎn) ,l 是過(guò)點(diǎn) A 與 x 軸垂 直 的 直 線 , D 是 直 線 l 與 x軸 的 交 點(diǎn) , 點(diǎn) M 在 直 線 l 上 , 且 滿 足| DM |m | DA | (m0, 且 m1) . 當(dāng)點(diǎn) A 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,記點(diǎn) M 的軌跡為曲線 C .()求

5、曲線 C 的方程 ,判斷曲線 C 為何種圓錐曲線 ,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo) ;() 過(guò)原點(diǎn)且斜率為k 的直線交曲線C 于 P , Q 兩點(diǎn) ,其中 P 在第一象限 ,它在 y 軸上的射影為點(diǎn)N ,直線 QN 交曲線 C 于另一點(diǎn) H . 是否存在 m ,使得對(duì)任意的k0 ,都有 PQPH ?若存在 ,求 m 的值 ;若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由。yAyyHHNPMNPODxOxOxQQ圖 1圖 2 （0m1)解析: () 略( )標(biāo)準(zhǔn)答案利用例一的結(jié)論可簡(jiǎn)寫(xiě)為：如圖 2，設(shè) P( x1 , y1) , H ( x2 , y2 ) ,則 Q( x1 ,y1 ) , N (0, y1 ) 記直線 HP , HQ

6、 , PQ 斜率分別為k1, k2 ,k 易知 k k1y1(y1)2 y12k，1， k2 kNQ(x1 )x10而由上述結(jié)論知 k1k2m2 ，故 m22，從而得到 m2本題第一問(wèn)源于教材選修 2-1 第 41 頁(yè)例 2 的背景，考察了軌跡的求法，又體現(xiàn)了圓與橢圓的聯(lián)系， 緊扣教材；同時(shí)又考察了分類(lèi)討論的思想， 延續(xù)了 2011 年湖北解析幾何題的風(fēng)格。 第二問(wèn)突顯幾何味， 利用斜率之間的關(guān)系及點(diǎn)差法極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算。由此可以看到， 2012 年湖北理科高考解析幾何題有如下特點(diǎn)：一 突出貼近教材，彰顯數(shù)學(xué)文化本題取材于數(shù)學(xué)2-1 第 41 頁(yè)例 2 例 3和的背景等，同時(shí)試題的表達(dá)方式與語(yǔ)言

7、敘述盡可能與教材保持統(tǒng)一。這種做法可以為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育創(chuàng)造寬松的環(huán)境， 為高考復(fù)習(xí)提供“依綱靠本”的導(dǎo)向；二 與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題是解析幾何的“幾何味”體現(xiàn)之一，也是高考命題熱點(diǎn)，且?？汲Ｐ拢蝗?本題源于 2011 江蘇高考 18 題，與它有異曲同工之妙。（變式題）（ 2011 年江蘇第 18 題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， M、N 分別是橢圓 x2y 21 的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于 P、A 兩點(diǎn)，其中 P 在第42一象限，過(guò) P 作 x 軸的垂線，垂足為 C，連接 AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) B，設(shè)直線PA的斜率為 k（ 1）（2）略（ 3）對(duì)任意 k0，求證： PA

8、PB.O解析：記直線 BP, BA, PA 斜率分別為 k1, k2 , k ，易知 k21 k ，2故 k k12k1 k2 2(e2 1) 2( 11) 1，所以 PA PB .2實(shí)際上，這兩道題本質(zhì)上都是一樣的， 可見(jiàn)各省高考試題之間也有緊密的聯(lián)系，并且運(yùn)用上述性質(zhì)能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算 . 高考試題是各類(lèi)試題的精華，它與以后的高考命題有著必然的延續(xù)性， 認(rèn)真研究高考試題， 發(fā)掘其真正內(nèi)涵， 探索出一般性的結(jié)論， 并用于解題中， 不僅可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算， 還可以為我們備考指出明確的方向 .探究二圓的很多優(yōu)美性質(zhì)可以類(lèi)比推廣到有心圓錐曲線中, 如圓的“垂徑定理”的逆定理 : 圓的平分弦（不是直徑）的

9、直徑垂直于弦. 類(lèi)比推廣到有心圓錐曲線：定理：“已知直線 l 與曲線 C ： x2y21交于 A,B 兩點(diǎn)， AB 的中點(diǎn)為 M ，若直mn線 AB 和 OM ( O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ) 的斜率都存在，則 kAB kOMn ”， 這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理” .m證明 設(shè) A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ), M ( x0 , y0 )(x1x2 )x12y1 21( x1x2 )( x1x2 ) ( y1 y2 )( y1y2 )m n，相減得x22y22mn0m1n注意到x1x22x0 , y1 y22 y02x02 y0 ( y1y2 )有n(x10mx2 )y0gy

10、1y2n，即 k ABk OMn所以，x1x2mmx0n將上述性質(zhì)的條件作改變，仍然可以得到與m有關(guān)的性質(zhì)：探究三：已知 P ( x0 , y0 ) （ y00 ）是曲線 C ： x2y21上的一點(diǎn)，過(guò) P 作斜率mn互為相反數(shù)的兩條直線， 分別交曲線 C 于兩點(diǎn)，則直線 AB 的斜率為定值 nx0 .my0例 3 己知斜率為1 的直線 l 與雙曲線 C：x 2y 21a 0， b 0相交于a2b 2B、D 兩點(diǎn)，且 BD 的中點(diǎn)為 M1,3,求 C 的離心率 .解析：設(shè) B(x, y), D (x, y)由x12y121,x22y221,兩式相減，并整理得中1122a2b2a2b2b223a2, 故 c2b22a.點(diǎn)弦關(guān)系式 kOM kBD2 即 baa所以 C 的離心率c2.ea若用上述結(jié)論，直接可得出k21)x0，即 1(e21)1，解得 e 2 .( ey03通過(guò)對(duì)一道課本例題的探究， 我們深深體會(huì)到： 在近幾年的高考試題中， 對(duì)課本例習(xí)題和歷年高考試題進(jìn)行變式改造，重新成為高考試題的例子不勝枚舉，因此我們要切實(shí)做到重視課本， 精讀教材， 但僅此還不夠，