排列組合競(jìng)賽訓(xùn)練題（含答案）

1、精誠(chéng)凝聚 =_= 成就夢(mèng)想 排 列 組 合 一、選擇題 1、公共汽車(chē)上有4位乘客，其中任何兩人都不在同一車(chē)站下車(chē)，汽車(chē)沿途?？?個(gè)站，那么這4位乘客不同的下車(chē)方式共有a、15種 b、24種 c、360種 d、480種2、把10個(gè)相同的球放入三個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于2，則不同的放法有a、81種 b、15種 c、10種 d、4種3、12輛警衛(wèi)車(chē)護(hù)送三位高級(jí)領(lǐng)導(dǎo)人，這三位領(lǐng)導(dǎo)人分別坐在其中的三輛車(chē)中，要求在開(kāi)行后12輛車(chē)一字排開(kāi)，車(chē)距相同，車(chē)的顏色相同，每輛車(chē)內(nèi)的警衛(wèi)的工作能力是一樣的，三位領(lǐng)導(dǎo)人所坐的車(chē)不能相鄰，且不能在首尾位置。則共（ ）種安排出行的辦法a、a99a310 b

2、、a99a38 c、a38 d、c384、在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱的中點(diǎn)、6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，不共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是a、2898 b、2877 c、2876 d、28725、有兩個(gè)同心圓，在外圓上有相異的6個(gè)點(diǎn)，內(nèi)圓上有相異的3個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)所確定的直線最少可有a、15條 b、21條 c、36條 d、3條6、已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集a=a1，a2，a60與b=b1，b2，b25，若從a到b的映射f使得b中每個(gè)元素都有原象，且f（a1）f（a2）f（a60），則這樣的映射共有a、c60 b、c2459 c、c2560 d、c2559二、填空題7、4410共有 個(gè)不同的正約數(shù)。8、

3、有7個(gè)人站成一排，其中a、b不能相鄰，c、d必須挨在一起，且c要求在a的右側(cè)，則共有站隊(duì)方法數(shù)是 。9、如圖，兩圓相交于a、b兩點(diǎn)，在兩圓周上另有六點(diǎn)c、d、e、f、g、h，其中僅e、b、g共線，共他無(wú)三點(diǎn)共線，這八點(diǎn)緊多可以確不同圓的個(gè)數(shù)是 。10、一個(gè)圓周上有5個(gè)紅點(diǎn)，7個(gè)白點(diǎn)，要求任兩個(gè)紅點(diǎn)不得相鄰，那么共有 種排列方法。11、平面上給定5點(diǎn)，這些點(diǎn)兩兩間的連線互不平行，又不垂直，也不重合，現(xiàn)從任一點(diǎn)向其余四點(diǎn)兩兩之間的連線作垂線，則所有這些垂線間的交點(diǎn)數(shù)最多是 。12、10人有相應(yīng)的10個(gè)指紋檔案，每個(gè)指紋檔案上都記錄有相應(yīng)人的指紋痕跡，并有檢測(cè)指示燈和檢測(cè)時(shí)的手指按鈕，10人某人把手

4、指按在鍵鈕上，若是他的檔案，則指示燈出現(xiàn)綠色，否則出現(xiàn)紅色，現(xiàn)在這10人把手指按在10個(gè)指紋檔案的鍵鈕上去檢測(cè)，規(guī)定一個(gè)人只能在一個(gè)檔案上去檢測(cè)，并且兩個(gè)人不能在同一檔案上去檢測(cè)，這時(shí)指示燈全部出現(xiàn)紅色，這樣的情況共有 種。三、解答題13、中、日圍棋隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先安排好的次序出場(chǎng)進(jìn)行圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方的2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全部被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過(guò)程，現(xiàn)在中方只動(dòng)用了5名隊(duì)員，就擊敗了日方的所有隊(duì)員，問(wèn)這樣的比賽過(guò)程有多少種？14、從1到n（n3，且n為整數(shù)）之間任取3個(gè)不同的整數(shù)，使得這3個(gè)數(shù)的和正好被3整數(shù)，如果這樣的

5、取法有53922種，試確定n的取值。15、集合a中有n個(gè)元素，其中有m個(gè)是特殊元素（mn），已知集合a的五元素子集共有68個(gè)，且每個(gè)子集中都含有至少一個(gè)特殊元素，此外，集合a的作地意一個(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含。（1）求n的取值。（2）請(qǐng)回答：所有五元素子集中是否有至少含有4個(gè)特殊元素的集合？參考答案一、選擇題1、可把問(wèn)轉(zhuǎn)化為：4個(gè)不同的元素，放到6個(gè)位置中， a46=360種方法，選c。2、問(wèn)題相當(dāng)于：把4個(gè)相同的球放入一個(gè)不同的盒中，有c26=15種放法，故選b。3、此題即：3個(gè)人坐10個(gè)位置，一人只能坐一個(gè)，且兩兩不得相鄰，有a38種坐法，選c。4、用間接法，容易求得共線的

6、三點(diǎn)組共有49個(gè)，而所有拓點(diǎn)組共有c327，所以不共線的三點(diǎn)且共有c327-49=2876（個(gè)）故選c。5、設(shè)p1、p2、p3是內(nèi)圓上三點(diǎn)，q1、q2，q6分別為三條直線p1p2、p2p3、p3p1與外圓的交點(diǎn)，此時(shí)9個(gè)點(diǎn)所確定的直線最少有c29 - 3（c24 - 1）=21（條），故選b。6、此題相當(dāng)于：用25個(gè)從大到小的數(shù)從左至右的順序不變，去插入到a1、a2、a3、a60，這60個(gè)數(shù)的兩數(shù)空隙之間，要求最大數(shù)必在a1左側(cè)，最小數(shù)不得在a60右側(cè)，共有c2459個(gè)映射，故選b。二、填空題7、由4410=232572知：正約數(shù)中含2的指數(shù)冪有2種，含3的指數(shù)冪有3種情況，含5的指數(shù)冪有2種

7、情況，含7的指數(shù)冪有3種情況，而2、3、5、7均為質(zhì)數(shù)，故根據(jù)分步原理共有2323=36個(gè)不同的正約數(shù)。8、把c、d捆綁起來(lái)看作一個(gè)元素，元素a只能安放在從左至右的前5個(gè)位置中，故對(duì)a的位置分類(lèi)：若a在左起第1位，則有a14a44a22=192（種）；若a在左起第2位，則有a13a14a33a22=144（種）；若a在左起第3位，則有a13a33+a12c12a22a33=66（種）；若a在左起第4位，則有a12c12a22a33+a22a33=60（種）；若a在左起第5位，則有a22a13a33=36（種）；所以，共有站隊(duì)方法數(shù)498種。9、過(guò)8個(gè)點(diǎn)可作c38個(gè)圓，需減去兩類(lèi)：e、b、g共線

8、，減去1個(gè)；a、b、c、d、e五點(diǎn)共圓及a、b、f、g、h五點(diǎn)共圓，減去2（c351），所以最多可以確定不同圓的個(gè)數(shù)是37個(gè)。10、用插空法，共有c57種排列方法。11、用排除法，設(shè)a1、a2、a5為平面上給定的5個(gè)點(diǎn)，a2、a3、a4、a5之間兩兩連線有c24=6條，從a1出發(fā)可引6條垂線，依此5個(gè)點(diǎn)共可引30條垂線，它們之間最多有c230=435個(gè)交點(diǎn)，但應(yīng)排除以下三種情況：從a1、a2、a3作a4a5的三條垂線互相平行，無(wú)交點(diǎn)，這樣的情形共有c25c23=30個(gè)；從ai（i=1，2，3，4，5）出發(fā)的6條垂線都交于點(diǎn)ai，這樣的點(diǎn)共有5c26=75個(gè)，只能留下5個(gè)，剩余的應(yīng)減去；ai（i

9、-1，2，3，4，5）中每三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，三角形的高共點(diǎn)，應(yīng)減去c35（c231）=20個(gè)。因此，滿足題意的交點(diǎn)最多有c230307020=315個(gè)。12、此題相當(dāng)于：10個(gè)編號(hào)為1，2，3，10的球放入十個(gè)編號(hào)為1，2，3，10的盒中，要求每個(gè)盒中只盛一球，且號(hào)碼均不相同，求放法總數(shù)。設(shè)這種情況的n個(gè)號(hào)碼時(shí)，方法數(shù)為an，第一步是安排第1號(hào)球，共有n1種方法，此時(shí)，不妨設(shè)1號(hào)球安排在了第i（i1）號(hào)位置，再安排第i號(hào)球的位置，有兩種情況：第i號(hào)球在1號(hào)位置，此時(shí)剩余的n2個(gè)球要放在n2個(gè)盒中的要求依然是號(hào)碼均不相同，故有an2種方法；第i號(hào)球不安排在1號(hào)位置，此時(shí)如同n1個(gè)球放入n1個(gè)盒

10、中且號(hào)碼均不相同，故有方法數(shù)為an1。所以，an=(n-1)(an-2+an-1) 當(dāng)n=2時(shí),a2=1;當(dāng)n=3時(shí),a3=2.所以a4=3(a2+a3)=9,a5=4(a3+a4)=44,a6=5(a4+a5)=265,a7=6(a5+a6)=1854,a8=7(a6+a7)=14833,a9=8(a7+a8)=133496,a10=9(a8+a9)=1334961.所以，這樣的情況共有1334961種。三、解答題13、設(shè)中方的7名隊(duì)員分雖為a1，a2，a7，日方的7名隊(duì)員分別是b1，b2，b7，由于中方只動(dòng)用了5名隊(duì)員，故可以認(rèn)為a6，a7實(shí)質(zhì)上是不參與比賽的，現(xiàn)把中方的5名隊(duì)員和日方的7

11、名隊(duì)員排成一列，顯然各自的順序已定，只需確定位置即可?，F(xiàn)規(guī)定，排在日方隊(duì)員bi（i=1，2，7）右側(cè)的（緊挨著）中方隊(duì)員是擊敗bi的隊(duì)員，據(jù)題意，a5須在b7的右側(cè)（緊挨著）。其他4名隊(duì)員a1，a2，a3，a4可在b7右側(cè)10個(gè)位置中的任4個(gè)位置中，故有c410種情況。所以，這樣的比賽過(guò)程有c410種。14、用模3對(duì)n分類(lèi)：（1）當(dāng)n=3m（m1，且m為整數(shù)）時(shí)，我們可以把從1到n的這n個(gè)數(shù)分成三部分：a1=1，4，3k+1，共有m個(gè)元素；a2=2，5，3k+2，共有m個(gè)元素；a3=3，6，3k+3，共有m個(gè)元素。易知，a3中的任三個(gè)數(shù)之和能被3整除，有c3m種取法；a1、a2、a3中各取一個(gè)

12、元素，其和亦能被3整除，有c1mc1mc1m=m3（種）取法；a1中任三個(gè)數(shù)之和也能被3整數(shù)，有c3m種取法；a2中任三個(gè)數(shù)之和也能被3整除，有c3m種取法，除上面幾種情況，再無(wú)其他情況使取的三數(shù)之和被3整除。所以，3c3m+m3=53922，即3m3 3m2 + 2m 107844=0 。因?yàn)?|107844，所以3|m，又2m 107844 是偶數(shù)，所以m必是偶數(shù)。為此，不妨設(shè)m=6t（t1，且t為整數(shù)），則有54t3 9t2+t 8987=0。易知當(dāng)t6時(shí)，此等式一定不成立，而當(dāng)t=1，2，3，4，5時(shí)均不能使該等式成立，故當(dāng)n=3m（m1，且m為整數(shù)時(shí)），不存在這樣的n。（2）當(dāng)n=3

13、m+1（m1，且m為整數(shù)時(shí)），亦可把這n個(gè)數(shù)分成三部分：a1=1，4，共有m+1個(gè)元素；a2=2，5，共有m個(gè)元素；a3=3，6，共有m個(gè)元素，據(jù)題意則有。2c3m+c3m+1+（m+1）m2=53922。即5m3+m=353922。m（5m2+1）=353922。因?yàn)椋╩，5m2+1）=（m，1）=1，所以，m與5m2+1互質(zhì)。而353922=232111943。另一方面，若m43，則，故m43。若m18，則5m2+1必小于111943，故m18。所以，m=19或38，代入等式后均不成立。綜上，當(dāng)n=3m+2（m1，且m為整數(shù)）時(shí)，也不存在這樣的n。（3）當(dāng)n=3m+2（m1，且m為整數(shù)）時(shí)，則可得c3m+2c3m+1+（m+1）2m=53922。據(jù)（2）相同的思路，最后可求得m=66。結(jié)合（1）、（2）、（3），n的取值是200。15、（1）據(jù)題意，共有c3n個(gè)三元素子集，因?yàn)槊恳粋€(gè)三元素子集都恰好被一個(gè)五元素子集所包含，所以每一個(gè)五元素子集中包含了c35個(gè)三元素子集，而這樣的五元素子集共有68個(gè)，故有c3n=68c35，解得n=17。（2）假設(shè)法每個(gè)五元素子集中至多含有3種特殊元素，我們把含有1種特殊元素，2種非特殊元素的三元素子集設(shè)為a3。據(jù)題意，68個(gè)五元素子集中，有c3m個(gè)含有3種特殊元素，且每個(gè)子集中可有c13c2