量子統(tǒng)計系綜的基本原理.doc

1、一量子統(tǒng)計系綜的基本原理1近點統(tǒng)計系綜理論統(tǒng)計力學研究的對象是大量粒子組成的系統(tǒng)。它的目的是一物質(zhì)微觀結構的動力學行為作為依據(jù)，應用統(tǒng)計的方法，解釋物體在宏觀上、整體上表現(xiàn)出來的物理性質(zhì)。物質(zhì)微觀粒子的動力學狀態(tài)遵從量子力學的規(guī)律，在此基礎上建立的統(tǒng)計力學稱為量子統(tǒng)計力學。近點統(tǒng)計力學是量子統(tǒng)計力學的經(jīng)典極限。引進系綜和系綜平均的概念是系綜理論主要內(nèi)容。我們知道統(tǒng)計力學區(qū)別于力學的主要點在于：它不像力學那樣，追求系統(tǒng)在一定初始條件下任何時刻所處的確切的動力學狀態(tài)；而認為系統(tǒng)的動力學狀態(tài)準從統(tǒng)計規(guī)律。大量處于相同宏觀條件下 , 性質(zhì)完全相同而各處于某一微觀運動狀態(tài)、并各自獨立的系統(tǒng)的集合稱為統(tǒng)計

2、系綜。系綜理論中重要的物理量是密度函數(shù)。密度函數(shù)對于整個像空間的積分應是一個與時間無關的常數(shù)，等于相點的總數(shù)。因此引進幾率密度函數(shù)是很方便的。幾率密度函數(shù)隨時間的變化滿足方程這個方程稱為劉偉方程。它表明，只要給出某一時刻的幾率密度函數(shù)就可以確定以后任意時刻的幾率密度。容易看出，的函數(shù)形式與系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)有關。如果系統(tǒng)處于平衡態(tài)，則幾率密度函數(shù)必不顯含時間，只能是的函數(shù)。在平衡態(tài)的系綜理論中，經(jīng)常用到微正則系綜、正則系綜、巨正則系綜和等溫等壓系綜。組成微正則系綜的系統(tǒng)的特征是系統(tǒng)的能量、體積和總粒子數(shù)恒定，滿足和與溫度恒定的大熱源相接觸，具有確定粒子數(shù)和體積的系統(tǒng)組成的統(tǒng)計系綜稱為正則系綜。正則

3、系綜的宏觀狀態(tài)的特征是系統(tǒng)的體積、粒子數(shù)和溫度恒定；與溫度恒定的大熱源和化學勢恒定的大粒子源接觸，體積一定的系統(tǒng)組成的統(tǒng)計系統(tǒng)系綜稱為巨正則系統(tǒng)，巨正則系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)的特征是系統(tǒng)的體積、化學勢和溫度恒定巨正則分配函數(shù)由下式?jīng)Q定與溫度恒定的熱源相接觸，并通過無摩擦的活塞與恒壓強源相接觸，粒子數(shù)恒定的系統(tǒng)所組成的統(tǒng)計系綜稱為等溫等壓系綜。這種系綜的宏觀狀態(tài)的特征是系統(tǒng)的粒子數(shù)、溫度和壓強恒定。等溫等壓系綜的配分函數(shù)為2量子統(tǒng)計系綜理論量子力學中，系統(tǒng)所處的動力學狀態(tài)（或量子態(tài)）由波函數(shù)確定。在坐標表象中，一個具有 個經(jīng)典自由度的系統(tǒng)的動力學狀態(tài)由波函數(shù)加以確定。在經(jīng)典力學中，用相空間里的相點描述和

4、確定系統(tǒng)所處的動力學狀態(tài)，在量子力學里，則用態(tài)矢量描述和確定系統(tǒng)的狀態(tài)。量子力學和經(jīng)典力學在描述和確定系統(tǒng)的動力學狀態(tài)上的不同所引起的差異，在討論系統(tǒng)動力學函數(shù)（如能量、動量、角動量和粒子坐標等）的數(shù)值時將明顯地表現(xiàn)出來。量子統(tǒng)計力學中的純系綜就是大量處于相同的宏觀條件下、性質(zhì)完全相同都處于動力學狀態(tài) 、并各自獨立的系統(tǒng)的集合。應用純系綜的概念，很多次獨立地測量某一力學變量，可以看作是對組成系綜的個別系統(tǒng)作這個力學量的測量。但是，對于由大量粒子組成的系統(tǒng)，為了確切知道太矢量，需要求解多粒子系統(tǒng)的薛定諤方程。這里我們遇到經(jīng)典力學中同樣的困難，我們對初始態(tài)知道得非常不確定，從而也就無法確切地知道任

5、意時刻所處于的某種特定狀態(tài)。如何解決這個問題呢？我們認為量子統(tǒng)計系統(tǒng)遵從統(tǒng)計規(guī)律性，即在一定宏觀條件下，某一時刻系統(tǒng)以一定的幾率處于某一量子態(tài)；系統(tǒng)的宏觀量是相應的微觀量對系統(tǒng)可能處的各種量子態(tài)的統(tǒng)計平均值。這樣，對于量子系統(tǒng)，我們同樣可以引進統(tǒng)計系綜和系綜平均值的概念。在量子統(tǒng)計力學中，統(tǒng)計系綜定義為：大量處于相同的宏觀條件下、性質(zhì)完全相同而各處于某一量子態(tài)、并各自獨立的系統(tǒng)的集合。常常把這樣的量子統(tǒng)計系統(tǒng)稱為混合系綜。應該指出，密度算符給出了有關系統(tǒng)狀態(tài)的最詳盡的信息。由矩陣元所表示的態(tài)稱為混合態(tài)，它是純態(tài)以幾率為權重的統(tǒng)計平均，而并非純態(tài)的線性疊加。因此，量子統(tǒng)計力學的基本課題是確定系綜

6、的密度矩陣現(xiàn)在我們討論混合系綜的密度算符具有的主要性質(zhì)：滿足歸一條件。密度矩陣是陣。厄。密矩由厄密算符的性質(zhì)可知，對于密度算符存在一組正較完備系使密度矩陣化，而且密度算符的本征值是實數(shù)。（ 3）密度矩陣定義的平均值對于表象變換不變。對角（ 4）算符的平均值給出系統(tǒng)處于狀態(tài)的幾率。前面我們已經(jīng)看到，對于純態(tài)，系統(tǒng)處于狀態(tài)的幾率由給出?，F(xiàn)在求算符的平均值。上式正是混合系綜中系統(tǒng)處于狀態(tài)的幾率，因為按照定義，是系統(tǒng)處于的幾率。（ 5）我們定義系綜的熵為式中是熵算符，定義為（ 6）密度矩陣的矩陣元是有界的，因為另一方面，故可得3. 非理想氣體理論集團展開法 及處理量子統(tǒng)計問題的一般過程實際的系統(tǒng)中各粒

7、子之間總是有相互作用的，因此處理這種各粒子之間具有相互作用的系統(tǒng)的問題是統(tǒng)計物理學中的重要方面。當氣體密度不太高因而粒子之間的作用力在粒子的運動中所起的影響不太大時，可采用一種級數(shù)展開法。對實際氣體的這方面工作由 Ursell 提出 ,Mayer 等人推廣完成了經(jīng)典非理想氣體理論，所用方法叫集團展開法，以及李政道，楊振寧等人將這一方法推廣與量子非理想氣體，在更高密度下，則以徑向分布函數(shù)方法為有效。在量子統(tǒng)計中，處理問題的一般過程：（ 1）建立模型，寫出系統(tǒng)的哈密頓量，用正則方程或薛定諤方程；（ 2）求解方程，知道能級結構，不能求解返回修改模型；（ 3）配分函數(shù)；（ 4）由求解的動力學函數(shù)或力學

8、量給出宏觀力學量（也就是應用我們上面給出的理論）；（ 5）和實驗比較并進行修正。量子統(tǒng)計理論小結（ 1）近獨立子系在討論由 N 個同樣粒子所組成的系統(tǒng)，設粒子間的相互作用可以略去，即認為這些例子是整個力學系統(tǒng)的近獨立子系。對于由近獨立的粒子組成的體系，若粒子的自旋為半整數(shù)，則服從費米 - 狄拉克分布，體系波函數(shù)對于粒子的交換具有反對稱性；若粒子的自旋為證書，則服從玻色 - 愛因斯坦分布，體系的波函數(shù)對于粒子的交換具有對稱性。若粒子是定域粒子，可區(qū)分，則服從從玻爾茲曼分布。它們的分布函數(shù)分別是（ 2）當當時，費米分布和玻色分布都過渡到玻爾茲曼分布。時，理想費米體系在動量空間中形成費米球分布。對三

9、位費米體系，費米能量對三維理想玻色體系，當 ( 為凝結溫度 ) 時，出現(xiàn)在動量空間中的玻色凝結現(xiàn)象。零動量態(tài)的荔枝樹是個大量。近年來，利用激光制冷、原子囚禁、蒸發(fā)冷卻等技術，已經(jīng)在實驗上成功地實現(xiàn)玻色 - 愛因斯坦凝結。費米體系和玻色體系的熱力勢是一旦知道，一切熱力學量均可由它求出。若粒子的色散關系是，則可證明，因此算可通過求體系的內(nèi)能得出。熱力學第三定律可表述為：不可能用有限的手續(xù)把物體冷卻到絕對零度；也可表述為；也可表述為在絕對零度時任何物體的熵為零。第三定律本質(zhì)上是個量子統(tǒng)計規(guī)律。獲得低溫的方法由焦耳 - 湯姆孫效應、絕熱去磁等。近年來由通過多普冷卻、偏振梯度激光冷卻等方法獲得了更低的溫

10、度。在體系的能級數(shù)目有限，能量有上界，體系能夠和外界隔絕，體系內(nèi)部相互作用的馳豫時間很短，能夠到平衡等條件下，體系可以出現(xiàn)負溫度，負溫度是比任何正溫度以致無窮大的正溫度還高的溫度。對于負溫度體系，出現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。對于二維體系，粒子可以服從不同于玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計的分布統(tǒng)計。任意子服從分數(shù)不相容統(tǒng)計。即使對理想任意子體系，也會出現(xiàn)由于分數(shù)統(tǒng)計帶來的不同于理想玻色體系或理想費米體系的相互作用項。三量子流體當系統(tǒng)的溫度足夠低，密度足夠高，以致粒子的平均熱波長與粒子之間的平均距離可比擬時，量子效應在決定系統(tǒng)的宏觀熱力學性質(zhì)上其主導作用，這種“流體”稱為量子流體。在自然界中， He 可以以液體狀態(tài)一

11、直保持到近于絕對零度。量子流體更廣的含義是：凡是量子效應其主導作用的相互作用多粒子流體系統(tǒng)，統(tǒng)稱為量子流體。并且，量子流體是統(tǒng)計物理和凝聚態(tài)物理的一個重要研究領域。1. 相互作用多粒子系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)的一般特征 . 元激發(fā)近獨立子系所組成的體系中，體系的能量是個別粒子能量之和。但對于粒子之間有相互作用的宏觀物體，體系的能量不再是單粒子能量之和。當相互作用較強時，粒子間彼此牽連，甚至個別粒子的態(tài)和能量已沒有意義。原則上說，平衡性質(zhì)仍可用計算巨配分函數(shù)來確定?；プ饔孟翟谧銐虻蜏囟认碌臒崃W性質(zhì)有低激發(fā)態(tài)能譜決定。而互作用系的低激發(fā)態(tài)可以看作是一些近獨立的元激發(fā)或準粒子的集合。必須注意的是，元激發(fā)是組成

12、整個體系的粒子的相互作用的產(chǎn)物，它屬于整個系統(tǒng)，而不屬于個別粒子。所有元激發(fā)能譜可以分為兩大類：玻色型能譜，費米型能譜。玻色型能譜相應的元激發(fā)具有零或整數(shù)自旋，服從玻色統(tǒng)計，費米型能譜相應的元激發(fā)具有半整數(shù)自旋。其中應該注意的是，元激發(fā)遵從的統(tǒng)計不一定與組成的系統(tǒng)的粒子本身所遵從的統(tǒng)計一致。元激發(fā)圖像研究互作用系的低溫性質(zhì)時，需確定的三個要素：元激發(fā)能譜；元激發(fā)服從的統(tǒng)計；元激發(fā)散射機制。2. 簡并性理想玻色氣體朗道理論中建立的準粒子模型很好的解釋 He的性質(zhì)，但是其理論的核心 He的元激發(fā)能譜是基于實驗分析一假設形式提出來的，要建立一個完整的超流理論，必須從微觀上根據(jù)第一原理來確定 He的能

13、譜，亦即確定強相互作用的玻色液體的能譜，波戈留波夫考慮了一個稀薄的，具有弱排斥作用的近理想玻色氣體模型，發(fā)展了波戈留波夫變換方法，部分的解決了這方面的問題。所謂近理想氣體是指一種稀薄的，即密度低的，有相互作用的粒子系統(tǒng)，在這種模型中假設粒子間的相互作用勢的范圍是有限的，并且這種相互作用不產(chǎn)生雙粒子束縛態(tài)。由于假設溫度低，可以把粒子間相互作用當作是對理想氣體所加微擾來處理。3. 朗道正常的費米液體理論狹義而言，只有低溫下的液 He 才是費米量子液體，但通常把有相互作用的簡并性費米體系稱為量子費米液體。朗道正常的費米液體理論是一種唯象理論，它的核心可歸納為三條基本假設。朗道理論第一個基本假設：費米

14、液體的低激發(fā)態(tài)可以按理想費米氣體同樣的原則構成，二者之間存在著一一對應的關系。朗道理論第二個基本假設：準粒子之間的相互作用可以用某種平均場來描述，每個準粒子都受到周圍其他準粒子所產(chǎn)生的平均場作用，個別準粒子的能量與周圍其它準粒子的狀態(tài)有關，亦即與分布有關。朗道理論第三個基本假設：對于時空慢變化的外界擾動，準粒子分布函數(shù)滿足玻爾茲曼方程。4. 超流費米液體朗道的費米液體理論只適用于正常相，這時系統(tǒng)元激發(fā)能譜沒有能隙，不可能導致超流，從微觀上看，必須粒子之間的相互作用是排斥性的。實際上，費米液體還有另一種類型的元激發(fā)能譜，相應與粒子之間的相互作用是吸引性的情形。這時由于這種吸引作用，使費米面附近所

15、有動量和自旋都有一對相反的粒子形成一種特殊形式的束縛態(tài) cooper 對，導致理想氣體的基態(tài)不穩(wěn)定，并重新改組基態(tài)結構，結果元激發(fā)能譜出現(xiàn)能隙，這就是費米液體的超流相。四、相變理論和臨界現(xiàn)象1. 利用熱力學第二定律，可以給出平衡判據(jù)。平衡判據(jù)有熵判據(jù)，自由能的判據(jù)，吉布斯函數(shù)判據(jù)，焓判據(jù)，內(nèi)能判據(jù)。它們使用的條件不同。不同的判據(jù)的條件是特性函數(shù)和獨立變量關系的反映。2. 利用平很判據(jù)可以給出熱血平衡條件體系各處溫度相同；力學平衡條件在無外力場時體系各處壓強相同；相平衡條件各相化學勢相等；化學平衡條件化學反應前后梵音服務的總化學勢等于生成物的總化學勢。3. 單元系一級鑲邊滿足克勞修斯- 克拉玻龍方程：，是相變潛熱；、 分別表示兩相的摩爾體積。耳機鑲邊滿足厄任費斯托方程，它的理論基礎是朗道的有序相變理論。4. 范德瓦爾斯方程是說明氣液相變的一個典型例子。在氣液共存區(qū)，穩(wěn)定平衡的相變曲線可由麥克斯韋等面積法給出。巨配分函數(shù) 在 平面正實軸上的零點決定了體系的相變性質(zhì)。體系的狀態(tài)方程和相變有密切聯(lián)系。5. 在臨界點處，體系的漲落很大，關聯(lián)很強，關聯(lián)長度。在臨界點處，唯一有意義的特征長度就是關聯(lián)長度 。一切熱力學量在臨界點處的奇異性均來自關聯(lián)函數(shù)和關聯(lián)長度