直線的傾斜角和斜率教學(xué)設(shè)計(jì)

1、直線的傾斜角和斜率教學(xué)設(shè)計(jì)（一）引言在平面幾何里，我們直接依據(jù)圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，研究圖形的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們采用另一種研究 方法：坐標(biāo)法。坐標(biāo)法是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性 質(zhì)的一種方法。本章首先在平面直角坐標(biāo)系中， 給直線插上方程的 “翅膀” ，通過(guò)直線方程研究直線之間的位置關(guān)系： 平行、垂直，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)到直線的距離等。解析幾何是 17 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬共同創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)重 要的里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期。解析幾何由此成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。本課時(shí)我們將研究最基礎(chǔ)的知識(shí)直線的傾

2、斜角和斜率，并在其學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)和感受解析幾何研 究問(wèn)題的基本方法和思想。（ 設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解學(xué)習(xí)的新內(nèi)容的特點(diǎn)及意義。 ）（二）傾斜角概念的形成問(wèn)題 1 平面幾何中， 確定直線的條件是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線 l ，它的位置由哪 些條件確定呢？（ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)初中學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，尋找本課時(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的固著點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。 ）預(yù)設(shè)的回答：兩點(diǎn)確定一條直線。啟發(fā)引導(dǎo)：還有沒(méi)有別的方法？能否利用給定的直角坐標(biāo)系？在學(xué)生一定時(shí)間的思考后提出問(wèn)題 2 在直角坐標(biāo)系內(nèi)任給一個(gè)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條。再給一個(gè)什么條件就可以唯一確定 一條直線呢？請(qǐng)動(dòng)手操作一下。預(yù)設(shè)的回答 ：可能會(huì)有

3、“與 x 軸的交角”“與 y 軸的交角”等。啟發(fā)性講解：（借助于信息技術(shù)演示）可以發(fā)現(xiàn)，過(guò)一個(gè)點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，再借助坐標(biāo)軸，給定 直線與坐標(biāo)軸的交角，那么直線就唯一確定了。一般的，我們以水平線 x 軸為基準(zhǔn)，這也符合我們?nèi)粘１?示物體傾斜程度的習(xí)慣。因此我們約定圖1中的角a表示直線的傾斜程度，把它叫做直線的傾斜角。a圖1圖2由教師給岀直線的傾斜角的定義，指岀傾斜角的意義：當(dāng)直線丨與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線丨向上方向之間所成的角 a叫做直 線丨的傾斜角（angle of inclination ）.圖2中直線丨的傾斜角a為銳角，直線丨的傾斜角a 為 鈍角。當(dāng)直線與x軸平行

4、或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。（這個(gè)定義可否這樣給出：當(dāng)直線丨與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線丨向上方向之間所成的 最小正（這三個(gè)字是否添加要看必修教材教學(xué)的順序，如果是12345的順序，就不需要添加“正”字，如果是14523的順序，則需要添加）角a叫做直線丨的傾斜角（angle of inclination ）.當(dāng) 直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為 0，因此直線的傾斜角 a的取值范圍為0 a 180.（這 樣做的原因是，定義簡(jiǎn)潔，自明，惟一，可以根據(jù)定義進(jìn)行判斷，而不需要用圖形對(duì)定義進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明。）追問(wèn)：由定義，傾斜角的范圍是什么？（設(shè)計(jì)意圖：在定義的形成過(guò)程

5、中主要上針對(duì)個(gè)別條直線，研究的重點(diǎn)是定義的形成，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生研究所有直線與其傾斜角的關(guān)系，將定義具體化，全面化，同時(shí)得到傾斜角的意義。）預(yù)設(shè)的答案：傾斜角a的取值范圍為0o a 180。傾斜角的意義：平面內(nèi)每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線，其傾斜角步等。因此，直線的傾斜角表示平面內(nèi)一條直線的傾斜程度。（三）斜率概念的形成問(wèn)題3日常生活中我們經(jīng)常遇到上坡下坡之類的問(wèn)題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎？這些量與傾斜角有關(guān)系嗎？（設(shè)計(jì)意圖：了解學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并引導(dǎo)學(xué)生建立坡度與傾斜角的關(guān)系。）（活動(dòng)方式：先由學(xué)生在回憶的基礎(chǔ)上做答，教師收

6、集整理，挑選其中合理的成份。之后再在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立這個(gè)量與傾斜角之間的關(guān)系。）汁高量預(yù)設(shè)的復(fù)習(xí)答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3,有坡度（比） = i:HN（此處可舉具體的數(shù)字進(jìn)行解釋或復(fù)習(xí)）坡度與傾斜角的關(guān)系預(yù)設(shè)的答案：如圖3所示是斜坡的主視圖，可見(jiàn)，斜坡可以抽象為一條直線，它關(guān)于水平面的傾斜角記為a，那么這里的坡度（比）實(shí)際就是“傾斜角a的正切值”。小結(jié)講授：把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率（slope ）。斜率常用小寫(xiě)字母 k 表示，即k=tan a 。問(wèn)題4 如圖2,直線丨的傾斜角a =450，直線丨的傾斜角a =135，寫(xiě)出兩條直線的斜率。再 選取

7、一些數(shù)據(jù)如傾斜角為：30，150，60，120等，計(jì)算相應(yīng)直線的斜率。并分析直線的傾斜角不同時(shí)， 直線的斜率取值是否也不同，在此基礎(chǔ)上總結(jié)斜率的意義。（提示：當(dāng) a為銳角時(shí)，tan （180 - a） =-tan a。）（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)有代表性的具體實(shí)例的分析，利用“提示”中的知識(shí)，結(jié)合初中學(xué)過(guò)的正切值，了解斜率取值的特點(diǎn)，滲透分類討論點(diǎn)思想總結(jié)岀斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計(jì)算器計(jì)算）（活動(dòng)方式：由學(xué)生獨(dú)立完成，教師在方法上予以指導(dǎo)一一分類討論法，并類比傾斜角的意義思考概括。）計(jì)算過(guò)程：表1 :傾斜角30 45 60 135 120 150 斜率預(yù)設(shè)的答案：傾斜角a是90

8、的直線沒(méi)有斜率；傾斜角 a不是90 的直線都有斜率；傾斜角不同，直線的斜率也不同。斜率大于 0的直線的傾斜角為銳角，并且斜率越大傾斜角越大；斜率小于 0的直線的 傾斜角為鈍角，并且斜率越小傾斜角越大。（此處可以結(jié)合具體計(jì)算過(guò)程得到的表1進(jìn)行理解。）因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。（四）直線斜率的坐標(biāo)計(jì)算法問(wèn)題5 :確定直線的兩個(gè)條件一一點(diǎn)和傾斜角（或斜率）中的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，傾斜角已經(jīng)代數(shù)化為斜率。在引言中已經(jīng)談到，解析幾何的基本方法就是坐標(biāo)法，因此要利用傾斜角和斜率對(duì)直線進(jìn)行進(jìn)一步的代數(shù)化的研究必須建立斜率的坐標(biāo)表示方法。根據(jù)斜率定義的過(guò)程，你能否將坡度進(jìn)一步坐標(biāo)化，在此基礎(chǔ)上求出

9、斜率的坐標(biāo)表示？（設(shè)計(jì)意圖：逐步實(shí)踐坐標(biāo)法。）（活動(dòng)方式：先由學(xué)生初步坐標(biāo)化，教師引導(dǎo)分類求解。）活動(dòng)過(guò)程：原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：給定兩點(diǎn)P（xi,yJ, P2（X2, y2）（其中xi工X2）的坐標(biāo)，求出直線 P P2的斜率k。分析：解決這個(gè)問(wèn)題需要分類求解，首先是對(duì)于特殊直線，與x軸垂直或平行（重合）的直線進(jìn)行分析求解。對(duì)于其他直線分類的依據(jù)是兩點(diǎn)在直線上位置以及直線的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級(jí)分類共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類求解。解決的具體思路是：先就圖 4 （1）求解，再變式為圖 4 （2），比較異同求解；之后就圖 4 （3）求解，再變式為圖4 （4），類比求解解：（略）活動(dòng)結(jié)果

10、：綜上所述，我們得到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式是:追問(wèn)：上述公式的適用范圍是什么？與所取的點(diǎn)的坐標(biāo)是否有有關(guān)，與所取點(diǎn)的先后順序是否有關(guān)?（設(shè)計(jì)意圖：辨析公式。） （五）應(yīng)用理解例1如圖5，已知A（3，2）, B（-4，1）, C（0，-1）,求直線AB BC CA的斜率，并判斷這些直線的傾 斜角是銳角還是鈍角。（設(shè)計(jì)意圖：鞏固本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)。）例2在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率分別為1，-1，和2的直線。（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)逆向思維，進(jìn)一步加深對(duì)本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)的理解，滲透坐標(biāo)法的逆用和數(shù) 形結(jié)合思想。）（六）小結(jié)問(wèn)題6:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？可以從知識(shí)，方法，數(shù)學(xué)思想，經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劇ｎA(yù)設(shè)的回答：知識(shí)方面：傾斜角的定義，斜率的定義和利用坐標(biāo)求斜率的公式及其適用范圍；方法：坐標(biāo)法；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，分類討論，化歸等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)驗(yàn)：今天所學(xué)的知識(shí)都是源于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，傾斜角是角概念基礎(chǔ)上學(xué)的，斜率是在坡度概念 基