同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第02章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、-作者xxxx-日期xxxx同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)教案WORD版-第02章 導(dǎo)數(shù)與微分【精品文檔】第二章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的： 1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。 2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)

2、重點(diǎn)： 1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系； 2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 4、高階導(dǎo)數(shù)；6、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)： 1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。2. 1 導(dǎo)數(shù)概念 一、引例 1直線運(yùn)動(dòng)的速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng), 時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為s, s是t的函數(shù): s=f(t), 求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度. 考慮比值 , 這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t-t0內(nèi)的平均速度. 如果時(shí)間間隔選較短, 這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度. 但這樣

3、做是不精確的, 更確地應(yīng)當(dāng)這樣: 令t -t00, 取比值的極限, 如果這個(gè)極限存在, 設(shè)為v , 即 , 這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t 0的速度. 2切線問(wèn)題 設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M, 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N, 作割線MN. 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí), 如果割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT, 直線就稱(chēng)為曲線有點(diǎn)處的切線. 設(shè)曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形. 現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(x0, y0)(y0=f(x0)處的切線, 只要定出切線的斜率就行了. 為此, 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, y), 于是割線MN的斜率為 , 其中j為割線MN的傾角. 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí), xx0.

4、 如果當(dāng)x 0時(shí), 上式的極限存在, 設(shè)為k , 即 存在, 則此極限k 是割線斜率的極限, 也就是切線的斜率. 這里k=tan a, 其中a是切線MT的傾角. 于是, 通過(guò)點(diǎn)M(x0, f(x0)且以k 為斜率的直線MT便是曲線C在點(diǎn)M處的切線. 二、導(dǎo)數(shù)的定義 1. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) 從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出, 非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限: . 令Dx=x-x0, 則Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), xx0相當(dāng)于Dx 0, 于是成為 或. 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)自變量x在x0處取得增量Dx(點(diǎn)

5、x0+Dx仍在該鄰域內(nèi))時(shí), 相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 如果Dy與Dx之比當(dāng)Dx0時(shí)的極限存在, 則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù), 記為, 即 , 也可記為, 或. 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)x0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在. 導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式, 常見(jiàn)的有 , . 在實(shí)際中, 需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題, 在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題. 導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述. 如果極限不存在, 就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo). 如果不可導(dǎo)的原因是由于

6、, 也往往說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大. 如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo), 就稱(chēng)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo), 這時(shí), 對(duì)于任一x I, 都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值. 這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù), 記作 , , 或. 導(dǎo)函數(shù)的定義式: =. f (x0)與f (x)之間的關(guān)系: 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x)就是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值, 即 . 導(dǎo)函數(shù)f (x)簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù), 而f (x0)是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f (x)在x0處的值. 左右導(dǎo)數(shù): 所列極限存在, 則定義 f(x)在的左

7、導(dǎo)數(shù):; f(x)在的右導(dǎo)數(shù):. 如果極限存在, 則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在x0的左導(dǎo)數(shù). 如果極限存在, 則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在x0的右導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: . 2求導(dǎo)數(shù)舉例 例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù). 解: . 即 (C ) =0. 例2. 求的導(dǎo)數(shù). 解: . 例3. 求的導(dǎo)數(shù). 解: . 例2求函數(shù)f(x)=x n (n 為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù). 解: f (a)(x n-1+ax n-2+ +a n-1)=na n-1. 把以上結(jié)果中的a 換成x 得 f (x)=nx n-1, 即 (x n)=nx n-1. (C)=0, , , . 更一般地, 有(x m)=m

8、x m-1 , 其中m為常數(shù). 例3求函數(shù)f(x)=sin x 的導(dǎo)數(shù). 解: f (x) . 即 (sin x)=cos x . 用類(lèi)似的方法, 可求得 (cos x )=-sin x . 例4求函數(shù)f(x)= a x(a0, a 1) 的導(dǎo)數(shù). 解: f (x) . 特別地有(e x )=e x . 例5求函數(shù)f(x)=log a x (a0, a 1) 的導(dǎo)數(shù). 解: . 解: . 即 . : 特殊地 . , . 3單側(cè)導(dǎo)數(shù): 極限存在的充分必要條件是 及都存在且相等. f(x)在處的左導(dǎo)數(shù):, f(x)在處的右導(dǎo)數(shù):. 導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是

9、左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f -(x0) 和右導(dǎo)數(shù)f +(x0)都存在且相等. 如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且右導(dǎo)數(shù)f +(a) 和左導(dǎo)數(shù)f -(b)都存在, 就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo). 例6求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù). 解: , , 因?yàn)閒 -(0) f +(0), 所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo). 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, f(x0)處的切線的斜率, 即 f (x 0)=tan a , 其中a是切線的傾角. 如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大, 這時(shí)曲線y=f(x)的

10、割線以垂直于x 軸的直線x=x0為極限位置, 即曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, f(x0)處具有垂直于x軸的切線x=x0. : 由直線的點(diǎn)斜式方程, 可知曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, y0)處的切線方程為 y-y0=f (x0)(x-x0). 過(guò)切點(diǎn)M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)M處的法線如果f (x0)0, 法線的斜率為, 從而法線方程為 . 例8. 求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率, 并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解: , 所求切線及法線的斜率分別為 , . 所求切線方程為, 即4x+y-4=0. 所求法線方程為, 即2x-8y+15=0. 例9 求曲

11、線的通過(guò)點(diǎn)(0, -4)的切線方程. 解 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0, 則切線的斜率為 . 于是所求切線的方程可設(shè)為 . 根據(jù)題目要求, 點(diǎn)(0, -4)在切線上, 因此 , 解之得x0=4. 于是所求切線的方程為 , 即3x-y-4=0. 四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 即存在. 則 . 這就是說(shuō), 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 處是連續(xù)的. 所以, 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù). 另一方面, 一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).x 例7 函數(shù)在區(qū)間(-, +)內(nèi)連續(xù), 但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo). 這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .

12、 2. 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 并且 u(x) v(x)=u(x) v(x) ; u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); . 證明 (1) =u(x)v(x). 法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為 (uv)=uv . (2) =u(x)v(x)+u(x)v(x), 其中v(x+h)=v(x)是由于v(x)存在, 故v(x)在點(diǎn)x連續(xù). 法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為 (uv)=uv+uv. (3) . 法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為 . (uv)

13、=uv, (uv)=uv+uv, . 定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形. 例如, 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo), 則有 (u+v-w)=u+v-w. (uvw)=(uv)w=(uv)w+(uv)w =(uv+uv)w+uvw=uvw+uvw+uvw. 即 (uvw) =uvw+uvw+uvw. 在法則(2)中, 如果v=C(C為常數(shù)), 則有 (Cu)=Cu. 例1y=2x 3-5x 2+3x-7, 求y 解: y=(2x 3-5x 2+3x-7)= (2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7)= 2 (x 3)- 5( x 2)+ 3( x)

14、=23x 2-52x+3=6x 2-10x+3. 例2. , 求f (x)及. 解: , . 例3y=e x (sin x+cos x), 求y. 解: y=(e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例4y=tan x , 求y. 解: .即 (tan x)=sec2x . 例5y=sec x, 求y. 解: =sec x tan x . 即 (sec x)=sec x tan x . 用類(lèi)似方法, 還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)

15、=-csc2x , (csc x)=-csc x cot x . 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)0, 那么它的反函數(shù)y=f -1(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y), yIy內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 簡(jiǎn)要證明: 由于x=f(y)在I y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在I x內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 任取x I x, 給x以增量Dx(Dx0, x+DxI x), 由y=f -1(x)的單調(diào)性可知 Dy=f -1(x+Dx)-f -1(x)0, 于是 . 因?yàn)閥=f -1(x)連續(xù)

16、, 故 從而 . 上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 例6設(shè)x=sin y, 為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (sin y)=cos y0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x=(-1, 1)內(nèi)有 . 類(lèi)似地有: . 例7設(shè)x=tan y, 為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (tan y)=sec2 y0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x=(-, +)內(nèi)有 . 類(lèi)似地有: . 例8設(shè)x=a y(a0, a 1)為直

17、接函數(shù), 則y=loga x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=a y在區(qū)間I y=(-, +)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且 (a y)=a y ln a 0. 因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x=(0, +)內(nèi)有 . 到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了, 那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x 、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？ 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 或. 證明: 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí), y=fj(x)也是常數(shù), 此時(shí)導(dǎo)數(shù)為

18、零, 結(jié)論自然成立. 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí), Du0, 此時(shí)有 , = f (u)g (x ). 簡(jiǎn)要證明: . 例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=e u, u=x3復(fù)合而成的, 因此 . 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u , 復(fù)合而成的, 因此 . 對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后, 就不必再寫(xiě)出中間變量, 例11lnsin x, 求. 解: . 例12, 求. 解: . 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形. 例如, 設(shè)y=f(u), u=j(v), v=y(x), 則 . 例13y=lncos(e x), 求. 解: . 例14, 求. 解: .

19、例15設(shè)x0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (x m)=m x m-1. 解 因?yàn)閤 m=(e ln x)m=e m ln x, 所以 (x m)=(e m ln x)= e m ln x(m ln x)= e m ln xm x-1=m x m-1. 四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(C)=0,(2)(xm)=m xm-1,(3)(sin x)=cos x,(4)(cos x)=-sin x,(5)(tan x)=sec2x,(6)(cot x)=-csc2x,(7)(sec x)=sec xtan x,(8)(csc x)=-csc xcot x,(9)(a x)=a x

20、 ln a,(10)(e x)=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)u=u(x), v=v(x)都可導(dǎo), 則(1)(u v)=uv,(2)(C u)=C u,(3)(u v)=uv+uv,(4). 3反函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)x=f(y)在區(qū)間Iy 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y)0, 則它的反函數(shù)y=f -1(x)在Ix=f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或. 4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(x), 而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為 或y(x)=f (u)g(x). 例16. 求雙曲正

21、弦sh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以 , 即 (sh x)=ch x. 類(lèi)似地, 有 (ch x)=sh x. 例17. 求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以 . 例18. 求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以 . 由, 可得. 由, 可得. 類(lèi)似地可得, . 例19y=sin nxsinn x (n為常數(shù)), 求y. 解: y=(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x) = ncos nx sin n x+sin nx n sin n-1 x (sin x ) = ncos nx sin n x+n sin n-1 x cos x =n

22、 sin n-1 x sin(n+1)x . 2. 3 高階導(dǎo)數(shù) 一般地, 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f (x)仍然是x 的函數(shù). 我們把y=f (x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù), 記作 y、f (x)或, 即 y=(y), f (x)=f (x) , . 相應(yīng)地, 把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù). 類(lèi)似地, 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 叫做三階導(dǎo)數(shù), 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù), , 一般地, (n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n 階導(dǎo)數(shù), 分別記作 y, y (4), , y (n) 或, , , . 函數(shù)f(x)具有n 階導(dǎo)數(shù), 也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n 階可導(dǎo).

23、如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n 階的導(dǎo)數(shù). 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù). y稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù), y, y, y (4), , y(n)都稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù). 例1y=ax +b , 求y. 解: y=a, y=0. 例2s=sin w t, 求s. 解: s=w cos w t , s=-w 2sin w t . 例3證明: 函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng) 3y+1=0. 證明: 因?yàn)? , 所以y 3y+1=0. 例4求函數(shù)y=ex 的n 階導(dǎo)數(shù). 解; y=ex , y=ex , y=ex , y( 4)=ex , 一般地, 可得 y( n

24、)=ex , 即 (ex)(n)=ex . 例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù). 解: y=sin x, , , , , 一般地, 可得 , 即. 用類(lèi)似方法, 可得. 例6求對(duì)函數(shù)ln(1+x)的n 階導(dǎo)數(shù) 解: y=ln(1+x), y=(1+x)-1, y=-(1+x)-2, y=(-1)(-2)(1+x)-3, y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4, 一般地, 可得 y(n)=(-1)(-2) (-n+1)(1+x)-n, 即 . 例6求冪函數(shù)y=xm (m是任意常數(shù))的n 階導(dǎo)數(shù)公式. 解: y=mxm-1, y=m(m-1)xm-2, y=m(m-1)(m-2)xm-

25、3, y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4, 一般地, 可得 y (n)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)xm-n , 即 (xm )(n) =m(m-1)(m-2) (m-n+1)xm-n . 當(dāng)m=n時(shí), 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) 3 2 1=n! . 而 (x n)( n+1)=0 . 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 那么顯然函數(shù)u(x)v(x)也在點(diǎn)x 處具有n 階導(dǎo)數(shù), 且 (uv)(n)=u(n)+v(n) . (uv)=uv+uv (uv)=uv+2uv+uv, (uv)=uv+3uv+3uv+uv

26、, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 , 這一公式稱(chēng)為萊布尼茨公式. 例8y=x2e2x , 求y(20). 解: 設(shè)u=e2x , v=x2, 則 (u)(k)=2k e2x (k=1, 2, , 20), v=2x , v=2, (v)(k) =0 (k=3, 4, , 20), 代入萊布尼茨公式, 得 y (20)=(u v)(20)=u(20)v+C 201u(19)v+C 202u(18)v =220e2x x2+20 219e2x 2x218e2x 2 =220e2x (x2+20x+95). 2. 4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 顯函數(shù): 形如y

27、=f(x)的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù). 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隱函數(shù): 由方程F(x, y)=0所確定的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù). 例如, 方程x+y3 -1=0確定的隱函數(shù)為y . 如果在方程F(x, y)=0中, 當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí), 相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y 值存在, 那么就說(shuō)方程F(x, y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù). 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù), 叫做隱函數(shù)的顯化. 隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的, 甚至是不可能的. 但在實(shí)際問(wèn)題中, 有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 因此, 我們希望有一種方法, 不管隱函數(shù)能否顯化, 都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái). 例1求

28、由方程e y+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù). 解: 把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x 求導(dǎo)數(shù)得 (e y)+(xy)-(e)=(0), 即 e y y+y+xy=0, 從而 (x+e y0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y|x=0. 解: 把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得 5yy+2y-1-21x 6=0,由此得 . 因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí), 從原方程得y=0, 所以 . 例3. 求橢圓在處的切線方程. 解: 把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo), 得 . 從而 . 當(dāng)x=2時(shí), , 代入上式得所求切線的斜率 . 所求的切線方程為 , 即. 解: 把橢圓方程的兩邊分

29、別對(duì)x求導(dǎo), 得 . 將x=2, , 代入上式得 ,于是 k=y|x=2. 所求的切線方程為 , 即. 例4求由方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù). 解: 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得 , 于是 . 上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo), 得 . 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: 這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對(duì)數(shù), 然后再求出y的導(dǎo)數(shù). 設(shè)y=f(x), 兩邊取對(duì)數(shù), 得 ln y = ln f(x), 兩邊對(duì)x 求導(dǎo), 得 , y= f(x)ln f(x). 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù). 例5求y=x sin x (x0)的導(dǎo)數(shù). 解法一: 兩邊取對(duì)數(shù), 得 ln y=sin x ln

30、 x, 上式兩邊對(duì)x 求導(dǎo), 得 , 于是 . 解法二: 這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin xln x , . 例6. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解: 先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得 ,于是 .當(dāng)x1時(shí), ; 當(dāng)2x4, x1, 2x3三種情況討論, 但結(jié)果都是一樣的. 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程確定的. 則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù). 在實(shí)際問(wèn)題中, 需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 但從參數(shù)方程中消

31、去參數(shù)t 有時(shí)會(huì)有困難. 因此, 我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 設(shè)x=j(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=j-1(x), 且此反函數(shù)能與函數(shù)y=y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則 , 即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則. 例7. 求橢圓在相應(yīng)于點(diǎn)處的切線方程. 解: . 所求切線的斜率為. 切點(diǎn)的坐標(biāo)為, . 切線方程為, 即 bx+ayab =0. 例8拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為, 求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量與鉛直分量分別

32、為 x (t)=v1, y(t)=v2-gt, 所以拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為 . 再求速度的方向, 設(shè)a是切線的傾角, 則軌道的切線方向?yàn)?. 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二階導(dǎo)數(shù)y? 由x=j(t), , . 例9計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù). 解: (t2np, n為整數(shù)). (t2np, n為整數(shù)). 三、相關(guān)變化率 設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù), 而變量x與y間存在某種關(guān)系, 從而變化率與間也存在一定關(guān)系. 這兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系, 以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變

33、化率. 例10一氣球從離開(kāi)觀察員500f處離地面鉛直上升, 其速度為140m/min(分). 當(dāng)氣球高度為500m時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升t(秒)后, 其高度為h, 觀察員視線的仰角為a, 則. 其中a及h都是時(shí)間t的函數(shù). 上式兩邊對(duì)t求導(dǎo), 得. 已知(米/秒). 又當(dāng)h=500(米)時(shí), tan a=1, sec2 a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒). 即觀察員視線的仰角增加率是每秒0. 14弧度. 2. 5 函數(shù)的微分 一、微分的定義 引例 函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成. 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 其邊長(zhǎng)由x0變到x0+Dx, 問(wèn)此薄片的面積

34、改變了多少？ 設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x, 面積為A, 則A是x的函數(shù): A=x2. 金屬薄片的面積改變量為 DA=(x0+Dx)2-(x0)2 =2x0Dx +(Dx)2. 幾何意義: 2x0Dx表示兩個(gè)長(zhǎng)為x0寬為Dx 的長(zhǎng)方形面積; (Dx)2表示邊長(zhǎng)為Dx的正方形的面積. 數(shù)學(xué)意義: 當(dāng)Dx0時(shí), (Dx)2是比Dx 高階的無(wú)窮小, 即(Dx)2=o(Dx); 2x0Dx是Dx的線性函數(shù), 是DA的主要部分, 可以近似地代替DA. 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義, x0及x0+Dx在這區(qū)間內(nèi), 如果函數(shù)的增量 Dy =f(x0+Dx)-f(x0)可表示為 Dy=ADx+o(Dx),

35、 其中A是不依賴(lài)于Dx的常數(shù), 那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的, 而ADx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分, 記作 dy, 即 dy =A Dx. 函數(shù)可微的條件: 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo), 且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微時(shí), 其微分一定是 dy=f (x0)Dx. 證明: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微, 則按定義有 Dy=ADx+o(Dx), 上式兩邊除以Dx, 得 . 于是, 當(dāng)Dx0時(shí), 由上式就得到 . 因此, 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微, 則f(x)在點(diǎn)x0也一定可導(dǎo), 且A=f (x0). 反之, 如果f(x)在

36、點(diǎn)x0可導(dǎo), 即 存在, 根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系, 上式可寫(xiě)成 , 其中a0(當(dāng)Dx0), 且A=f(x0)是常數(shù), aDx =o(Dx). 由此又有 Dy =f (x0)Dx+aDx . 因且f (x0)不依賴(lài)于Dx, 故上式相當(dāng)于 Dy=ADx+o(Dx), 所以f(x)在點(diǎn)x0 也是可導(dǎo)的. 簡(jiǎn)要證明: 一方面 . 別一方面 . 以微分dy近似代替函數(shù)增量 Dy的合理性: 當(dāng)f (x0)0時(shí), 有 . Dy=dy+o(d y). 結(jié)論: 在f (x0)0的條件下, 以微分dy=f (x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)時(shí), 其誤差為o(dy). 因此, 在|Dx|很小

37、時(shí), 有近似等式 Dydy . 函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x的微分, 稱(chēng)為函數(shù)的微分, 記作dy或 d f(x), 即 dy=f (x)Dx , 例如 d cos x =(cos x)Dx =-sin x Dx ; dex=(e x)Dx=exDx . 例1 求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分. 解 函數(shù)y=x2在x=1處的微分為 dy=(x2)|x=1Dx=2Dx; 函數(shù)y=x2在x=3處的微分為 dy=(x2)|x=3Dx=6Dx . 例2求函數(shù) y=x3當(dāng)x=2, Dx =0. 02時(shí)的微分. 解: 先求函數(shù)在任意點(diǎn)x 的微分 dy=(x3)Dx=3x2Dx . 再求函數(shù)當(dāng)x=2, D

38、x=0. 02時(shí)的微分 dy|x=2, Dx= =3x2| x=2, Dx= =322=. 自變量的微分: 因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí), dy=dx=(x)Dx=Dx, 所以通常把自變量x的增量Dx稱(chēng)為自變量的微分, 記作dx, 即dx=Dx. 于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作 dy=f (x)dx. 從而有 . 這就是說(shuō), 函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 因此, 導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”. 二、微分的幾何意義當(dāng)Dy 是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí), dy 就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量. 當(dāng)|Dx|很小時(shí), |Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此在點(diǎn)M的鄰近, 我們可以

39、用切線段來(lái)近似代替曲線段. 三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 從函數(shù)的微分的表達(dá)式 dy =f (x)dx可以看出, 要計(jì)算函數(shù)的微分, 只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 再乘以自變量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則. 1. 基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式: 微分公式: (x m)=m x m-1 d (x m)=m x m-1d x (sin x)=cos x d (sin x)=cos x d x (cos x)=-sin x d (cos x)=-sin x d x (tan x)=sec 2 x d (tan x)=sec 2x d x (cot x)=-csc 2x

40、d (cot x)=-csc 2x d x (sec x)=sec x tan x d (sec x)=sec x tan x d x (csc x)=-csc x cot x d (csc x)=-csc x cot x d x (a x )=a x ln a d (a x )=a x ln a d x (e x)=e x d (e x)=e x d x 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則: 微分法則: (uv)=u v d(uv)=dudv(Cu)=Cu d(Cu)=Cdu (uv)= uv+uv d(uv)=vdu+udv 證明乘積的微分法則: 根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式, 有d(uv

41、)=(uv)dx. 再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則, 有(uv)=uv+uv. 于是 d(uv)=(uv+uv)dx=uvdx+uvdx. 由于udx=du, vdx=dv, 所以d(uv)=vdu+udv. 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u=j(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fj(x)的微分為dy=yx dx=f (u)j(x)dx. 于由j(x)dx=du, 所以, 復(fù)合函數(shù)y=fj(x)的微分公式也可以寫(xiě)成dy=f (u)du 或 dy=yu du. 由此可見(jiàn), 無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù), 微分形式dy=f (u)du保持不變. 這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性. 這性質(zhì)表示, 當(dāng)

42、變換自變量時(shí), 微分形式dy=f (u)du并不改變. 例3y=sin(2x+1), 求dy. 解: 把2x+1看成中間變量u, 則 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)2dx=2cos(2x+1)dx. 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí), 可以不寫(xiě)出中間變量. 例4., 求dy. 解: . 例5y=e1-3xcos x, 求dy. 解: 應(yīng)用積的微分法則, 得 dy=d(e1-3xcos x)=cos xd(e1-3x)+e1-3xd(cos x) =(cos x)e1-3x(-3dx)+e1-3x(-sin xdx)=-e1-3x(3cos x+sin x)dx. 例6在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù), 使等式成立. (1) d( )=xdx; (2) d( )=cos w t dt. 解: (1)因?yàn)閐(x2)=2xdx, 所以 , 即. 一般地, 有(C為任意常數(shù)). (2)因?yàn)閐(sin w t)=w cos w tdt, 所以 . 因此 (C為任意常數(shù)). 四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1函數(shù)的近似計(jì)算 在工程問(wèn)題中, 經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式. 如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算, 那是很費(fèi)力的. 利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公