線性代數(shù)(同濟六版珍藏版)

1、 線性代數(shù)線性代數(shù) 同濟六版同濟六版 一元一次方程一元一次方程 ax = b 一元二次方程一元二次方程 二元二元 、三元線性方程組、三元線性方程組 n行列式行列式 n矩陣及其運算矩陣及其運算 n矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 n向量組的線性相關性向量組的線性相關性 n矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量 一元一次方程一元一次方程 ax = b 當當 a0 時，時，bax 1 10 x2x 22x3x2 21 21 23 12 二元二元 （三元）線性方程組（三元）線性方程組 例例 解二元線性方程組解二元線性方程組 14x7 1 得得 于是于是 2x1 6x2 42x

2、7 2 類似地，可得類似地，可得 于是于是 第一章第一章 行列式行列式 1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式 , 21122211 212221 aaaa baab x 1 )(1 bxaxa bxaxa 2222121 1212111 線性方程組線性方程組 時，得時，得當當0aaaa 1221211 乘乘第第二二個個方方程程乘乘第第一一個個方方程程的的兩兩邊邊，即即用用 1222 aa 212221112212211 baabxaaaa )( 消去消去 x2 , 的兩邊后的兩邊后,兩式相加得兩式相加得 消元法消元法 記記 2221 1211 aa aa 2221 1211 aa aa 稱

3、它為稱它為二階行列式二階行列式， 于是，線性方組（于是，線性方組（1）的解可以寫為）的解可以寫為 21122211 aaaa 定義為定義為 類似地，可得類似地，可得 . aaaa abba x 21122211 211211 2 , 21122211 212221 aaaa baab x 1 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 312213332112322311 aaaaaaaaa 類似的，我們還可以定義三階行列式為類似的，我們還可以定義三階行列式為 3221312312332211 aaaaaaaaa 13 2221 1211 221 111 2 2221 1

4、211 222 121 1 aa aa ba ba x aa aa ab ab x , n 階排列共有階排列共有 n! !個個. 排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù) 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù) 把把 1, 2, , n 排成一列，稱為一個排成一列，稱為一個 n 階全排列階全排列. 奇排列奇排列 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. 在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有在一個排列中如果一對數(shù)的前后位置與大小次序相反就說有 例例 1 排列排列 1 2 n 稱為自然排列，稱為自然排列， 所以是偶排列所以是偶排列. 一個一個逆序逆序. 偶排列偶排列 一個排列中所有逆序的總數(shù)一個排列中

5、所有逆序的總數(shù). 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. 它的逆序數(shù)為它的逆序數(shù)為0 ， 三 階排列階排列 共有共有321=3!個個. 321 jjj 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 t () 例例 3 排列排列 n ( n 1 ) 3 2 1 的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為 t ( n (n 1) 3 2 1 ) = 0 + 1 + 2 + + ( n 1 ) = 2 1nn 排列排列 3 2 5 1 4 為奇排列為奇排列. 5 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 312213 332112 322311 aaa aaa aaa 三階行列式定

6、義為三階行列式定義為 3221 312312 332211 aaa aaa aaa 13 3n 階行列式的定義階行列式的定義 三階行列式是三階行列式是 3 ! != 6 項項 的代數(shù)和的代數(shù)和. 321 321 j3j2j1 jjjt aaa 1)( )( 321 j3j2j1 aaa 123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3 三階行列式可以寫成三階行列式可以寫成 321 321 2331 232221 131211 j3j2j1 jjjt 33 aaa aaa aaa aaa 1

7、 )( )( ,的的一一個個排排列列，是是其其中中321jjj 321 .jjjjjjt 321321 的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)( 定義定義 由由 n2 個數(shù)組成的數(shù)表，個數(shù)組成的數(shù)表， 的的一一個個排排列列，是是其其中中n21jjj n21 .jjjjjjt n21n21 的的逆逆序序數(shù)數(shù)是是排排列列)( n21 n21 njj2j1 jjjt aaa1.)( )( nn2n1n n22221 n11211 a.aa a.aa a.aa 稱為稱為 n 階行列式階行列式 , 項的代數(shù)和，項的代數(shù)和， 即即 規(guī)定為所有形如規(guī)定為所有形如 記成記成 nn2n1n n22221 n11211

8、a.aa a.aa a.aa 例例 1 下三角行列式下三角行列式 333231 2221 11 aaa 0aa 00a 332211 aaa n21 n21 njj2j1 jjjt aaa 1 . )( ).( 例例2 下三角行列式下三角行列式 nn2211 aaa nn2n1n 2221 11 a.aa 0.aa 0.0a 例例 3 三階行列式三階行列式 3 2 1 321 例例5 n 階行列式階行列式 n 2 1 n21 2 1nn 1 )( )( 4 3 2 1 例例4 四階行列式四階行列式 4321 經(jīng)對換經(jīng)對換 a 與與 b ,得排列得排列 , m1k1 babbaa 1babbaa

9、tbbabaat m1k1m1k1 )()( 所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性所以，經(jīng)一次相鄰對換，排列改變奇偶性. , 11mk bbabaa 4 4 對換對換 對換對換 定理定理 1 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性. 證證 先證相鄰對換的情形先證相鄰對換的情形. 那么那么 設排列設排列 1cbcbabaa n1m1k1 經(jīng)對換經(jīng)對換 a 與與 b排列，得排列排列，得排列 2cacbbbaa n1m1k1 相鄰對換相鄰對換 再證一般對換的情形再證一般對換的情形. 設排列設排列 事實上，排列（事實上，排列（1）經(jīng)過）經(jīng)過 2m +

10、1 次相鄰對換變?yōu)榕帕校ù蜗噜弻Q變?yōu)榕帕校?）. np2p1p pppt n21 n21 aaaD 1 )( )( 定理定理 2 n 階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為 根據(jù)相鄰對換的情形及根據(jù)相鄰對換的情形及 2m + 1 是奇數(shù)，是奇數(shù)， 性相反性相反. 所以這兩個排列的奇偶所以這兩個排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7 t(53412) = 0+1+1+3+3=8 53412 求這兩個排列的逆序數(shù)求這兩個排列的逆序數(shù). 經(jīng)對換經(jīng)對換1與與4 得排列得排列 例例 1 排列排列 1. 選擇選擇 i 與與 k 使使 （1）2 5 i 1 k 成偶

11、排列成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列. 項項，是是否否為為四四階階行行列列式式中中的的和和 2431431244332114 aaaaaaaa2. 若是，指出應冠以的符號若是，指出應冠以的符號 3.計算計算n 階行列式階行列式 練習練習 1 1 1 是是四四階階，不不是是四四階階行行列列式式中中的的項項 2431431244332114 aaaaaaaa2. 4331241224314312 aaaaaaaa 2 1nn 1 1 1 1 3 )( )(. 4331241243312412 3 43312412 2413t aaaaaaaa1aaaaa1 行列式中的項行列式

12、中的項. 1.（1）i = 4, k = 3時，即排列時，即排列 2 5 4 1 3 為偶排列；為偶排列； （2）i = 3, k = 4時，即排列時，即排列 2 5 3 1 4 為奇排列為奇排列. 性質性質 1 性質性質 2 5 行列式的性質行列式的性質 推論推論 兩行（列）相同的行列式值為零兩行（列）相同的行列式值為零. 數(shù)數(shù) k , 推論推論 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號 性質性質4 性質性質 3 式等于零式等于零. 等于用數(shù)等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式 . 行列式與它的轉置行列式相等行列式與它的轉置行列式相等. 互換

13、行列式的兩行（列），行列式變號互換行列式的兩行（列），行列式變號. 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個 行列式中如果有兩行（列）元素成比例行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列，則此行列 外面外面. nnnj2n1n n2j22221 n1j11211 nnnj2n1n n2j22221 n1j11211 acaa acaa acaa abaa abaa abaa 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是兩個元素和的某一列（行）的元素都是兩個元素和 ， nnnjnj2n1n n2j2j22221 n1j1j11211 acbaa

14、acbaa acbaa )( )( )( 例如例如則此行列式等于兩個行列式之和則此行列式等于兩個行列式之和 . 性質性質 5 把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另 nnnjnjni1n n2j2j2i221 n1j1j1i111 aakaaa aakaaa aakaaa nnnjni1n n2j2i221 n1j1i111 aaaa aaaa aaaa 一行（列）的對應元素上去，一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變行列式的值不變. 性質性質 6 , nnn2n1 2n2212 1n2111 aaa aaa aaa , aaa aaa aa

15、a D nn2n1n n22221 n11211 設設 行列式行列式 D T 稱為行列式稱為行列式 D 的轉置行列式的轉置行列式. 記記 那么那么DDT 222 cba cba 111 1例例 2 2 2 cc1 bb1 aa1 = T D , bbb bbb bbb D nn2n1n n22221 n11211 1 設行列式設行列式 D = det (aij ) 互換第互換第 i , j ( i j ) 兩行兩行,得行列式得行列式 性質性質 2 的證明的證明 3333 2222 dcba dcba dcba 1111 2例例 3333 2222 dcba 1111 dcba dcba 其中，

16、當其中，當 k i , j 時時, bkp = akp ;當當 k = i , j 時，時，bip = ajp, bjp = aip , nji1 nji1 npjpipp1 t 1 bbbb pppp 1 D )( )( 其中其中, 1i j n 是自然排列是自然排列, )()( )()( 11 pppppppp nji1nij1 tt 所以所以 nij1 nij1 npjpipp1 t 1 aaaa pppp D 1 )( )( nji1 nji1 npipjpp1 t aaaa pppp 1 )( )( nij1 nji1 npjpipp1 t aaaa pppp 1 )( )( 于是于

17、是 = D 333231 232221 131211 aaa kakaka aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa k ，若若例例 121 013 201 D 4 121 013 402 則則D2 121 013 201 2)()( 例例 3 333231 232221 131211 aaa aaa kakaka 333231 232221 131211 kakaka aaa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa k 132 141 131 132 010 131 r2 - r1 例例5 = 422 510 211 = 0

18、例例6 例例7 254222 510 211 422 510 211 2520 510 211 5021 0113 4321 2101 D 解解 r2 - r1, r3 - 3r1 , r4 - r1 例例 8 計算行列式計算行列式 7120 6410 2220 2101 D r22 r3 + r2 , r4 - 2r2 9300 5300 1110 2101 2 7120 6410 1110 2101 2 r4( -3 ) , r3r4 r4+3r3 5300 3100 1110 2101 6 4000 3100 1110 2101 6 24 dc3b6a10cb3a6ba3a dc2b3a

19、4cb2a3ba2a dcbacbabaa dcba D cb3a6ba3a0 cb2a3ba2a0 cbabaa0 dcba D ba3a00 ba2a00 cbabaa0 dcba 例例 9 計算行列式計算行列式 解解 從第從第 4 行開始，后行減前行得，行開始，后行減前行得， 23 34 rr rr a000 ba2a00 cbabaa0 dcba 34 rr 4 a 例例 10 計算行列式計算行列式 axxx xaxx xxax x3ax3ax3ax3a D axxx xaxx xxax xxxa D 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行， axxx xaxx xxax 1111

20、x3a)( xa000 0 xa00 00 xa0 1111 x3a )( 3xax3a 各行都減第一行的各行都減第一行的 x 倍倍 第一行提取公因子第一行提取公因子( a+3x ) 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 在在 n 階行列式階行列式 det ( aij ) 中，把元素中，把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 記成記成 Mij , 稱為元素稱為元素 aij 的的余子式余子式. 稱它為元素稱它為元素 aij 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. 劃去劃去, 剩下的剩下的( n 1 )2 個元素按原來的排法構成的個元素按原

21、來的排法構成的 n 1 階行列式階行列式, 記記 例例1 三階行列式三階行列式 323231 232221 131211 aaa aaa aaa 中元素中元素 a23 的余子式為的余子式為 3231 1211 23 aa aa M 元素元素 a23 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為 2323 32 23 MM1A )( 例例2 四階行列式四階行列式 1030 32x1 1520 1101 中元素中元素 x 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為 100 150 111 1A 23 32 )(= 5 ji0AaAaAa njnij2i2j1i1 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元行列式某一行（列）

22、的元素與另一行（列）的對應元 或或 ji0AaAaAa jnin2j2i1j1i 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應 .n,2 , 1iAaAaAaD inin2i2i1i1i 或或 .n,2 , 1jAaAaAaD njnjj2j2j1j1 的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即 素的代數(shù)余子式乘積之和等于零素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即即 定理定理 3 推論推論 引理引理 在行列式在行列式 D 中，如果它的第中，如果它的第 i 行中除行中除 aij 外其余元素外其余元素 都為都為0, 即即 D = aij Aij nnnj

23、1n ij n1j111 aaa 0a0 aaa D 那么那么 nn2n1n n22221 11 aaa aaa 00a D 證明證明 先證先證 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形列的情形，即即 由行列式的定義，得由行列式的定義，得 n21 n21 npp2p1 pppt aaaD 1 )( n2 n2 npp2 ppt 11 aaa 1 )( n21 1 n21 n2 n2 npp2p1 1p pppt npp211 pp1t aaaaaa 11 )()( 1111 Ma 1111 Aa 再證一般情形，設再證一般情形，設 nnnj1n ij n1j111 aaa 0a0 a

24、aa D 用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把 aij 調到左上角，得行列式調到左上角，得行列式 aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa a nn1jn1jn1nnj n1i1j1i1j1i11ij1i n1i1j1i1j1i11ij1i n11j11j111j1 ij 1 0000 D , , , , 利用前面的結果，得利用前面的結果，得 ijij1 MaD 于是于是 1 ji 1 1j1i DDD 11)()( )()( 所以引理成立所以引理成立. ij ji ij Ma 1)( ijij Aa .n,2 , 1iAaAaAaD inin2i2i1i1i 定理定

25、理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應 證證 因為因為 或或 n21jAaAaAaD njnjj2j2j1j1 , nn2n1n in2i1i n11211 aaa a000a000a aaa D 的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即 椐引理，就得到椐引理，就得到 nn2n1n in n11211 nn2n1n 2i n11211 nn2n1n 1i n11211 aaa a00 aaa aaa 0a0 aaa aaa 00a aaa .n,2 ,1iAaAaAaD inin2i2i1i1i 類似地可得類似地可得 .n,2

26、,1jAaAaAaD njnjj2j2j1j1 例例 3 計算四階行列式計算四階行列式 x00 yx0 0yx 1xD 11 4 )( 解解 按第按第 1 列展開，有列展開，有 x00y yx00 0yx0 00yx D4 yx0 0yx 00y 1y 14 )( 44 yx 例例 4 計算四階行列式計算四階行列式 ba00 0baba 0baba 1baD 11 4 )( 解解 按第按第 1 行展開，有行展開，有 ba00ba 0baba0 0baba0 ba00ba D4 00ba baba0 baba0 1ba 41 )( 對等式右端的兩個對等式右端的兩個 3 階行列式都按第階行列式都按

27、第 3 行展開，得行展開，得 baba baba babaD 22 )()( 224 ba2 5021 0113 2101 4321 D 解解 c3 - c1 c4 - 2c1 例例 5 計算四階行列式計算四階行列式 712 641 222 11D 12 712 641 111 2 712 641 111 121D 第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 1 按第按第 2 行展開得行展開得 7121 6413 0001 2221 D 93 53 2 93 53 112D 11 40 53 2D 按第按第 1 行展開行展開 r2 + r1 = 24 932 531 001 2D c2

28、 - c1 ，c3 - c1 例例 6 證明范德蒙（證明范德蒙（Vandermonde ） 行列式行列式 證證 用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法. 12 21 2 xx xx 11 D nij1 ji xx)( 1n n 1n 2 1n 1 n21 n xxx xxx 111 D 所以當所以當 n=2 時（時（*）式成立）式成立. 假設對于假設對于 n 1 階階范德蒙范德蒙 ri x1ri -1 , i = n , n 1 , 2 ,有有 因為因為 對對 n 階階范德蒙行列式做運算范德蒙行列式做運算 行列式等式成立行列式等式成立. )()( )()( 1n 2n n13 2n 312 2n 2 1nn

29、133122 1n1312 n xxxxxxxxx0 xxxxxxxxx0 xxxxxx0 1111 D 按第按第 1 列展開后，各列提取公因子列展開后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得得 2n n 2n 3 2n 2 n32 1n1312n xxx xxx 111 xxxxxxD )()( 椐歸納法假設，可得椐歸納法假設，可得 歸納法完成歸納法完成. 1n1n1312n DxxxxxxD )()( )()()( nij2 ji1n1312n xxxxxxxxD nij1 ji xx)( ji0AaAaAa njnij2i2j1i 1 推論推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的

30、對應元行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元 或或 ji0AaAaAa jnin2j2i1j1i 元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. 即即 例例7 計算計算 行列式行列式 32 32 32 ccc bbb aaa 2 2 2 cc1 bb1 aa1 abc bcacababc 解解 32 32 32 ccc bbb aaa 先以先以 3 階行列式為例，例如為了證得階行列式為例，例如為了證得 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 333231 232221 333231 1 aaa aaa aaa D 0AaAaAa 13331

31、2321131 因為因為 就就得得到到分分別別換換成成將將上上式式中中的的 333231131211 a,a,aa,a,a , 0 aaa aaa aaa D 333231 232221 333231 1 所以所以. 0AaAaAa 133312321131 又又 131312121111 AaAaAa 133312321131 AaAaAa 設行列式設行列式 D = det (aij ) ， nn1n in1i in1i n111 1 aa aa aa aa D . 0D1 所所以以 jnin2j2i1j1i1 AaAaAaD 0AaAaAa jnin2j2i1j1i 因為行列式因為行列式

32、D1中第中第 i 行與第行與第 j 行元素對應相同，行元素對應相同， 把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展開，有行展開，有 類似地，也可以證明另一個式子類似地，也可以證明另一個式子. 所以所以 ji j i 行行第第 行行第第 推論的證明推論的證明取行列式取行列式 7 Cramer 法則法則 1 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa nnnn22n11n 2nn2222121 1nn1212111 0 aaa aaa aaa D nn2n1n n22221 n11211 設線性方程組設線性方程組 定理定理4 （Cramer 法則法則 ）若線性方程組（若線性方程組（1）的系數(shù)行列

33、式不）的系數(shù)行列式不 即即等于零，等于零， 其中其中 .n,2 , 1j aabaa aabaa aabaa D nn1j ,nn1j ,n1n n21j ,221j ,221 n11j ,111j ,111 j 2, D D x, D D x, D D x n n 2 2 1 1 則方程組有唯一解則方程組有唯一解 n,2 , 1ib D D a D D a D D a i n in 2 2i 1 1i n, 2 , 1i aab aab aab nn1nn n1111 in1ii 證證 先證（先證（2）是（）是（1）的解，即要證明）的解，即要證明 為此看為此看 n+1 階行列式階行列式 第第

34、1行展開，注意到，其第一行中行展開，注意到，其第一行中 aij 的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為 首先，因為第首先，因為第 1 行與第行與第 i+1 行相同行相同,所以它的值為零所以它的值為零. 再把它按再把它按 nin11ii DaDaDb0 nn1jn1jn1nn n21j21j2212 n11j11j1111 1j1 aaaab aaaab aaaab 1 , , , )( )( n,2 , 1ib D D a D D a D D a i n in 2 2i 1 1i D D x, D D x, D D x n n 2 2 1 1 故有故有 因而因而 即即 是線性方程組（是線性方程組（1）解

35、）解. jj 1j2j DD11 )()( 3 個恒等式個恒等式 3333232131 2323222121 1313212111 bcacaca bcacaca bcacaca A12 , A22 , An2 分別乘以上的分別乘以上的 3 個等式得個等式得 323332332323213231 222322232222212221 121312132121211211 AbcAacAacAa AbcAacAacAa AbcAacAacAa 323222121 3323322231213 2323222221212 1323122211211 AbAbAb cAaAaAa cAaAaAa cA

36、aAaAa )( )( )( 相加相加,得得 設設 x1= c1 , x2= c2 , x3= c3 是線性方程組（是線性方程組（1）的解）的解,于是有于是有 類似的可得類似的可得 , D D c 1 1 . D D c 3 3 . 323222121 33331 23221 13111 AbAbAb aba aba aba 于是于是 , 22 DDc 也就是也就是 . D D c 2 2 , , , 0AaAaAa DAaAaAa 0AaAaAa 323322231213 323222221212 323122211211 由于由于 例例1 用用 Cramer 法則解線性方程組法則解線性方程

37、組 232 13 022 144 432 421 432 4321 xxx xxx xxx xxxx 14 1320 3101 1220 4141 D 解解 因為因為 6 1320 3111 1200 4111 D2 4 1220 3101 1020 4141 D3 4 2320 1101 0220 1141 D4 所以所以 . 7 2 x, 7 2 x, 7 3 x, 7 15 x 4321 30 1322 3101 1220 4141 D1 0 x1xx 0 xx1x 0 xxx1 321 321 321 )( )( )( 3 0 xaxaxa 0 xaxaxa 0 xaxaxa nnn2

38、2n11n nn2222121 nn1212111 定理定理 5 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 D0 ，那么它只有零解那么它只有零解. 下述齊次方程組有非零解下述齊次方程組有非零解？ ,取何值時取何值時例例 2 解解 根據(jù)定理根據(jù)定理 5 ，若此齊次線性方程組有非零解，則其系，若此齊次線性方程組有非零解，則其系 2 3 111 111 111 D)( ,.時時或或當當經(jīng)經(jīng)驗驗證證可可知知，得得由由03030D 321 所述方程組確有非零解所述方程組確有非零解. 行列式必為行列式必為 0 .而而 第五章第五章 相似矩陣及二次型相似矩陣及二次型 1 預備知識預備知

39、識 向量的內積向量的內積 定義定義 1 設有設有 n 維向量維向量 , n 2 1 n 2 1 y y y y x x x x 令令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn , 稱稱 x , y 為向量為向量 x 與與 y 的的內積內積. 內積具有下列性質：內積具有下列性質： 1. x , y = y , x ; ;y,xy,x. 2 3. x + y , z = x , z + y , z ; 4. x , x 0, 其中其中 x，y，z 是為向量，是為向量，.為為實實數(shù)數(shù) 易知易知, x , y = xTy . 當且僅當時當且僅當時x = 0 時時 x , x =

40、0. 定義定義 2 非負實數(shù)非負實數(shù) 稱為稱為 n 維向量維向量 x 的長的長. 向量的長具有性質：向量的長具有性質： ,.0 x1 ;.xx2 .yxyx3 長為長為 1 的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.若向量若向量 x 0 , .是是單單位位向向量量則則x x 1 如果如果 x , y = 0 ，那么稱向量那么稱向量 x 與與 y 正交正交. .維單位向量維單位向量都是都是，例例3 3 1 3 1 3 1 21 21 0 0 0 1 1 一組兩兩正交的非零向量一組兩兩正交的非零向量. ;,0 x0 x 時時當當且且僅僅當當 正交向量組正交向量組: 2 n 2 2 2 1 xxxxxx

41、 , .,都正交都正交量量試求一個非零向量與向試求一個非零向量與向例例 1 2 1 a 1 1 1 a2 21 , 3 2 1 x x x x設所求的向量為設所求的向量為解解 0 xx2x 0 xxx 321 321 121 111 A 0 x xx 2 31 .即為所求即為所求取向量取向量 1 0 1 x 那么它應滿足那么它應滿足 , 010 101 由由 得得 規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組: 定理定理 1 正交向量組必線性無關正交向量組必線性無關. 證證 設向量組設向量組 a1 , a2 , , ar 是正交向量組是正交向量組, 使使 r21 , .0aaa rr2211 左乘上式兩邊，得

42、左乘上式兩邊，得以以 T 1 a , 0aa 1 T 11 ,0aaa0a 2 11 T 11 ，所所以以因因為為.0 1 因此必有因此必有 類似的可證類似的可證 . 0 r32 于是向量組于是向量組 a1 , a2 , , ar 線性無關線性無關. 線性無關，線性無關，向量組向量組例例 0 1 1 0 0 1 3但不為正交向量組但不為正交向量組. 向量組向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，當且僅當為規(guī)范正交向量組，當且僅當 ., ., ;, ,r21ji ji0 ji1 ee ji 當當 當當 若有一組數(shù)若有一組數(shù) 由單位向量構成的正交向量組由單位向量構成的正交向量組.

43、設向量組設向量組 a1 , a2 , ar 線性無關，則必有規(guī)范正交向量組線性無關，則必有規(guī)范正交向量組 正交化正交化： ; 11 ab 取取 單位化單位化： ., r r r2 2 21 1 1 b b 1 eb b 1 eb b 1 e 取取 于是，于是，e1 , e2 , , er 是規(guī)范正交向量組，是規(guī)范正交向量組， . , , , , , , 1r 1r1r r1r 2 22 r2 1 11 r1 rr b bb ab b bb ab b bb ab ab 且與且與 a1 , a2 , , ar ; , , 1 11 21 22 b bb ab ab ; , , , , 2 22 3

44、2 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab 等價等價. e1 , e2 , , er 與與 a1 , a2 , , ar 等價等價. .,規(guī)范正交化規(guī)范正交化把向量組把向量組例例 1 1 1 a 1 1 1 a4 21 ; 11 ab 正交化：取正交化：取解解 1 1 1 3 1 . 1 1 2 3 2 .,: 1 1 2 6 1 b b 1 e 1 1 1 3 1 b b 1 e 2 2 21 1 1 取取再單位化再單位化 e1 , e2 即為所求即為所求. . aaaaa 1 1 1 a5 321321 為正交向量組為正交向量組使使求向量求向量已知已知例例, 1 1 1

45、 1 11 12 22 b bb ba ab , , , 正正交交都都與與向向量量因因為為向向量量解解 132 aa,a 0 xxx 321 取它的一個基礎解系取它的一個基礎解系 1 0 1 b 0 1 1 b 32 , 再把再把b2 , b3正交化即為所求正交化即為所求a2 , a3 . , 0 1 1 ba 22 2 22 32 33 a aa ba ba , , 1 0 1 也就是取也就是取 定義定義 3 設設 n 維向量維向量 e1 , e2 , , er 是向量空間是向量空間 V 的一個基的一個基, 如果向量組如果向量組 e1 , e2 , , er 為規(guī)范正交向量組，為規(guī)范正交向量

46、組，則稱則稱 e1 , e2 , . , 0 1 1 2 1 . 2 1 1 2 1 向量組向量組 a1 , a2 , a3 是是所求正交向量組所求正交向量組. er 是是 V 的一個規(guī)范正交基的一個規(guī)范正交基. 所以對齊次方程組所以對齊次方程組 定義定義 4 如果如果 n 階矩陣階矩陣 A 滿足滿足 那么稱那么稱 A 為正交矩陣為正交矩陣. n 階矩陣階矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向的列（行）向 設設n 階矩陣階矩陣 A = ( a1 , a2 , , an ) , 其中其中 a1 , a2 , , an 是是 或者說或者說, n 階矩陣階矩

47、陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列的列 A為正交矩陣，即是為正交矩陣，即是 ATA = E , , cossin sincos , 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 001 010 100 001 都是正交矩陣都是正交矩陣. 例例 6 （行）向量組構成向量空間（行）向量組構成向量空間 Rn 的的一個一個 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. A的列向量組的列向量組. 量組是規(guī)范正交向量組量組是規(guī)范正交向量組. 由此可見，由此可見， A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列（行）向量的列（行）向量 ., ., , n21ji ji0 ;ji

48、1 aa j T i 當當 當當 亦即亦即 n21 T n T 2 T 1 T aaa a a a AAE n T n2 T n1 T n n T 22 T 21 T 2 n T 12 T 11 T 1 aaaaaa aaaaaa aaaaaa 之之間間的的關關系系式式與與變變量量變變量量 n21n21 yyyxxx, nnn22n11nn nn22221212 nn12121111 ypypypx ypypypx ypypypx .,的線性變換的線性變換到變量到變量叫做從變量叫做從變量 n21n21 xxxyyy 組是規(guī)范正交向量組組是規(guī)范正交向量組. 定義定義 5 若若 P 為正交矩陣，則

49、線性變換為正交矩陣，則線性變換 x = Py 稱為正交變換稱為正交變換. 線性變換的系數(shù)構成矩陣線性變換的系數(shù)構成矩陣 , nn ij pP 于是線性變換（）于是線性變換（） 就可以記為就可以記為 x = Py ., n 2 1 n 2 1 y y y y x x x x 其中其中 cossin sincos yyx yyx 12 211 323 322 11 y 2 1 y 2 1 x y 2 1 y 2 1 x yx 都為正交變換都為正交變換. 例例 7 若若 線性變換線性變換 x = Py 為正交變換，為正交變換，a , b 為任意兩個向量 為任意兩個向量.那么那么 .b,aPb,Pa

50、這是因為這是因為 ,b,abaPbPaPbPaPb,Pa TTT T 特別的，特別的， .aPa 2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 定義定義6 設設 A 是是 n 階矩陣，階矩陣， 和和 n 維維非零非零列向量列向量 p 1pAp 0 ,的的特特征征值值稱稱為為方方陣陣那那么么數(shù)數(shù)A 0 非零向量非零向量 p 稱為稱為 A 的對于特征值的對于特征值 .的的特特征征向向量量 0 nn2n1n n22221 n11211 aaa aaa aaa EA 稱為稱為方陣方陣 A 的特征多項式的特征多項式.0EA 方程方程 稱為稱為n 階矩陣階矩陣 A 的特征方程的特征方程. (1)式也可

51、寫成式也可寫成 20pEA 0 使得使得 0 如果數(shù)如果數(shù) 行列式行列式 次多項式，次多項式，的的是是n .)的的非非零零解解是是齊齊次次線線性性方方程程組組（的的特特征征向向量量0 xEAp 00 求求 n 階方陣階方陣 A 的特征值與特征向量的方法：的特征值與特征向量的方法： 1 求出矩陣的求出矩陣的 A 特征多項式特征多項式,.EA 即計算行列式即計算行列式 特征值特征值. 的的就就是是根根的的解解特特征征方方程程方方程程A0EA2 n21 , ，解解齊齊次次線線性性方方程程組組0 xEA3 i )( 它的它的非零解非零解都是都是 .的的特特征征向向量量特特征征值值 i 例例1 求矩陣求

52、矩陣 201 034 011 A 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項式為的特征多項式為 于是，于是，,的的根根是是它它的的特特征征方方程程的的特特征征值值矩矩陣陣0EAA 0 212 201 034 011 EA 所以，所以，A 的特征值為的特征值為 .,12 321 由由時時，解解方方程程組組當當. 0 xE2A2 1 001 014 013 E2A 得基礎解系得基礎解系 , 1 0 0 p1 ,時時當當1 32 解方程組解方程組(A - E)x = 0.由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù). , 000 010 001 , 11 kp2的的全全部部特特征征向向

53、量量為為所所以以特特征征值值 101 024 012 EA 得基礎解系得基礎解系, 1 2 1 p2 , 232 kp1的全部特征向量為的全部特征向量為所以特征值所以特征值 例例 2 求矩陣求矩陣 142 252 001 A 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解 A 的特征多項式為的特征多項式為 其中其中k是任意非零數(shù)是任意非零數(shù). , 000 210 101 213 142 252 001 EA 所以，所以，A 的特征值為的特征值為 .,13 321 時，時，當當3 1 解方程組解方程組(A - 3E)x = 0.由由 442 222 002 E3A 得基礎解系得基礎解系, 1 1

54、0 p1 3 1 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 kp1 , ,時時當當1 32 解方程組解方程組(A - E)x = 0. 由由 其中其中k為任意非零數(shù)為任意非零數(shù). , 000 110 001 242 242 000 EA 得基礎解系得基礎解系 , 1 0 1 p 0 1 2 p 32 1 32 所以特征值所以特征值的全部特征向量為的全部特征向量為 k p2 + l p3 , 其中數(shù)其中數(shù) 的特征值，的特征值，是方陣是方陣，設設定理定理A2 m21 各各不不相相等等，如如果果 m21 證證 對特征值的個數(shù)對特征值的個數(shù) m 用數(shù)學歸納法用數(shù)學歸納法.由于特征向量是非零

55、向量，由于特征向量是非零向量， 所以，所以，m = 1 時定理成立時定理成立. 量是線性無關的，量是線性無關的， 令令 p1 , p2 , pm 依次依次 為為m 個不等的特征值個不等的特征值 .對對應應的的特特征征向向量量， m21 下面證明下面證明 p1 , p2 , pm p1 , p2 , pm , 000 000 121 k, l不同時為零不同時為零. 依次是與之對應的特征向量依次是與之對應的特征向量, 那么那么 p1 , p2 , pm 線性無關線性無關. 假設假設 m 1 個不同的特征值的特征向個不同的特征值的特征向 線性無關線性無關.設有一組數(shù)設有一組數(shù) x1 , x2 , ,

56、 xm 使得使得 x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1) 成立成立. 兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(1 m 20pxpxpx mmm1mm1m1m1 . 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得 30pxpxpx mmm1m1m1m111 . （3）式減（）式減（2）式得）式得 .)()(0pxpx 1mm1m1m1m11 根據(jù)歸納法假設，根據(jù)歸納法假設， p1 , pm -1 線性無關，線性無關， .)()(0 xx m1m1mm11 ,00 m1mm1 但但所以所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0. 這時（這時（1）式變成，）式變成， x

57、m pm = 0 . 因為因為 pm 0，所以只有所以只有xm = 0 . 這就證明了這就證明了p1 , p2 , pm 線性無關線性無關. 歸納法完成，定理得證歸納法完成，定理得證. 于是于是 ,的的特特征征值值是是設設例例A3 21 p1 , p2 依次是與之對應的依次是與之對應的 , 21 若若 那么向量組那么向量組 p1 , p2 線性無關線性無關 證證 設有一組數(shù)設有一組數(shù) x1 , x2 使得使得 x1 p1 + x2 p2 = 0 (1) 成立成立. 兩兩端端，得得乘乘等等式式以以)(1 2 20pxpx 222121 . 以矩陣以矩陣 A 左乘式左乘式 (1) 兩端兩端,得得

58、30pxpx 222111 . （3）式減（）式減（2）式得）式得 .)(0px 1121 ，因為因為0p0 112 所以所以 x1 = 0 . 這樣（這樣（1）式變成，）式變成， x2 p2 = 0 . 因為因為 p2 0，所以只有所以只有x2 = 0 . 這就證明了這就證明了p1 , p2 線性無關線性無關. 特征向量，特征向量， AA4 是是為為任任意意常常數(shù)數(shù)，證證明明的的特特征征值值，是是方方陣陣設設例例 的特征值，的特征值，是是因為因為證證A 所以有向量所以有向量 p 0 使，使，. pAp 于是，于是， .)()(ppA .的的特特征征值值是是所所以以A 求上三角矩陣求上三角矩陣

59、 練練 習習 的特征值與特征向量的特征值與特征向量. 100 020 321 A 的特征值的特征值 3 相似矩陣相似矩陣 定義定義 7 設設 A , B 都是都是 n 階矩陣，階矩陣， P -1AP = B , 則稱則稱矩陣矩陣 A 與與 B 相似，相似， 可逆矩陣可逆矩陣 P 稱為把稱為把 A 變成變成 B 的相似變換的相似變換 則則 A 與與 B 的特征多項式相同的特征多項式相同, 從而從而 A 與與 B 的特征值也相同的特征值也相同. 證證 因為因為 A與與 B 相似，相似， 故故 PEPAPPEB 11 )( PEAP 1 )( PEAP 1 .EA 定理定理 3 若若 n 階階矩陣矩

60、陣 A與與 B 相似，相似， 所以有可逆矩陣所以有可逆矩陣 P，使使 P -1AP = B , 若有可逆矩陣若有可逆矩陣P ，使，使 證畢證畢. 矩陣矩陣. n 2 1 相似，相似， .個個特特征征值值的的即即為為，則則nA n21 ,個個特特征征值值的的即即是是對對角角矩矩陣陣，因因為為證證n n21 由定理由定理 3 知，知，.個個特特征征值值的的也也就就是是，nA n21 定理定理 4 n 階矩陣階矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是與對角矩陣相似的充分必要條件是: 定理定理4的證明的證明 如果可逆矩陣如果可逆矩陣 P, 使使 為為對對角角矩矩陣陣， APP 1 . PAP 若記矩陣