西南交通大學(xué)數(shù)值分析上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、西南交通大學(xué)數(shù)值分析上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告數(shù)值分析上機(jī)實(shí)習(xí)報(bào)告學(xué)號(hào)：姓名：專(zhuān)業(yè)：聯(lián)系電話：任課教師： 序 (1) 一、必做題 (2)1、問(wèn)題一 (2)1.1 問(wèn)題重述 (2)1.2 實(shí)驗(yàn)方法介紹 (2)1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (3)2、問(wèn)題二 (5)2.1 問(wèn)題重述 (5)2.2 實(shí)驗(yàn)原理 (5)雅各比算法：將系數(shù)矩陣a分解為：a=l+u+d，則推到的最后迭代公式為： (6)2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (6)二、選做題 (8)3、問(wèn)題三 (8)3.1 問(wèn)題重述 (8)3.2 實(shí)驗(yàn)原理 (9)3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (9)總結(jié) (10) 序 伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，所有的學(xué)科都走向定量化和準(zhǔn)確化，從而產(chǎn)生了一系列的計(jì)算性的

2、學(xué)科分支，而數(shù)值計(jì)算方法就是解決計(jì)算問(wèn)題的橋梁和工具。數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。為了提高計(jì)算能力，需要結(jié)合計(jì)算能力與計(jì)算效率，因此，用來(lái)解決數(shù)值計(jì)算的軟件因?yàn)楦咝实挠?jì)算凸顯的十分重要。數(shù)值方法是用來(lái)解決數(shù)值問(wèn)題的計(jì)算公式，而數(shù)值方法的有效性需要根據(jù)其方法本身的好壞以及數(shù)值本身的好壞來(lái)綜合判斷。數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算的結(jié)果大多數(shù)都是近似值，但是理論的嚴(yán)密性又要求我們不僅要掌握將基本的算法，還要了解必要的誤差分析，以驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的可靠性。數(shù)值計(jì)算一般涉及的計(jì)算對(duì)象是微積分，線性代數(shù)，常微分方程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而對(duì)應(yīng)解決實(shí)際中的工程技術(shù)問(wèn)

3、題。在借助ma tlab、ja v a、c+ 和vb軟件解決數(shù)學(xué)模型求解過(guò)程中，可以極大的提高計(jì)算效率。本實(shí)驗(yàn)采用的是matlab軟件來(lái)解決數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。matlab是一種用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，其對(duì)解決矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)/數(shù)據(jù)圖像等有非常高的效率。本文采用matlab對(duì)多項(xiàng)式擬合、雅雅格比法與高斯賽德?tīng)柕ㄇ蠼夥匠探M迭代求解，對(duì)runge-kutta 4階算法進(jìn)行編程，并通過(guò)實(shí)例求解驗(yàn)證了其可行性，使用不同方法對(duì)計(jì)算進(jìn)行比較，得出不同方法的收斂性與迭代次數(shù)的多少，比較各種方法的精確度和解的收斂速度。 2014數(shù)值分析作業(yè) 一、必做題1、

4、問(wèn)題一1.1 問(wèn)題重述1.1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)某過(guò)程涉及兩變量x 和y, 擬分別用插值多項(xiàng)式和多項(xiàng)式擬合給出其對(duì)應(yīng)規(guī)律的近似多項(xiàng)式，已知xi與yi之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下，xi=1,2,10yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392下列數(shù)據(jù)為另外的對(duì)照記錄，它們可以作為近似函數(shù)的評(píng)價(jià)參考數(shù)據(jù)。xi =columns 1 through 71.5000 1.90002.3000 2.70003.1000 3.5000 3.9000columns 8 through 144.3

5、000 4.70005.1000 5.5000 5.90006.3000 6.7000columns 15 through 177.1000 7.5000 7.9000yi =columns 1 through 742.1498 41.4620 35.1182 24.3852 11.2732 -1.7813 -12.3006columns 8 through 14-18.1566 -17.9069 -11.0226 2.0284 19.8549 40.3626 61.0840columns 15 through 1779.5688 93.7700 102.36771.1.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1）用次

6、數(shù)分別為3，4，5，6的多項(xiàng)式擬合并給出最好近似結(jié)果f(x)。（2）用插值多項(xiàng)式給出最好近似結(jié)果1.2 實(shí)驗(yàn)方法介紹1.2.1 多項(xiàng)式擬合在ma tlab中，提供了polyfit函數(shù)來(lái)計(jì)算多項(xiàng)式擬合系數(shù)，其設(shè)定曲線擬合的目標(biāo)是最小二乘法（或被稱(chēng)為最小方差），polyfit的函數(shù)調(diào)用格式是：p,s,mu=ployfit(x,y,n) 其中，x 和y 表示的是已知的數(shù)據(jù)，n 是多項(xiàng)式擬合階數(shù)。通過(guò)最小二乘法原理得到的 擬合曲線多項(xiàng)式是：1121-+=n n n n p x p x p x p y1.2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是利用拉格朗日基函數(shù)來(lái)進(jìn)行擬合： 拉格朗日基函數(shù) 利用拉格朗日基

7、函數(shù)，構(gòu)造多項(xiàng)式 為拉格朗日差值多項(xiàng)式。1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果1.3.1 最小二乘多項(xiàng)式擬合結(jié)果 （1）各次擬合結(jié)果系數(shù)3次多項(xiàng)式系數(shù)：-1.0326 19.3339 -94.4787 131.79444次多項(xiàng)式系數(shù)：-0.3818 7.3680 -42.1433 73.5334 0.74505次多項(xiàng)式系數(shù)： 0.0981 -3.0789 34.5020 -163.5107 304.7282 -139.50196次多項(xiàng)式系數(shù)：0.0194 -0.5408 5.1137 -16.8973 -0.8670 66.3750 -18.6991 （2）繪制擬合曲線利用matlab 調(diào)用函數(shù)ployfit 來(lái)進(jìn)

8、行繪圖，程序代碼（見(jiàn)附錄1），繪制的 3、4、5、6階擬合圖像如下圖1所示： 1 2345678910-20020406080100120 原始折線曲線三次擬合曲線4次擬合曲線5次擬合曲線6次擬合曲線 1.3.2 拉格朗日插值擬合結(jié)果 （1）擬合的系數(shù)根據(jù)拉格朗日的計(jì)算原理，編寫(xiě)程序見(jiàn)附錄。運(yùn)行得到的結(jié)果如下表1所示： 表1 拉格朗日插值運(yùn)算結(jié)果 （2）擬合的圖像運(yùn)行程序可以得到：拉格朗日插值擬合的圖像如下圖2所示：x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y 34.659 42.384 40.372 30.148 14.645 -1.768 -14.272

9、-18.858 -13.3570 x 5.5. 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 y2.033324.82350.84975.28093.779103.57104.16797.48487.3462 12345678910 -20 20406080100120 圖2 拉格朗日插值擬合圖像2、問(wèn)題二2.1 問(wèn)題重述2.1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(1)a 行分別為a 1=6,2,-1,a 2=1,4,-2,a 3=-3,1,4； b 1=-3,2,4t ；b 2=100,-200,345t 。(2) a 行分別為a 1=1,0,8,0.8,a 2=0.8,1,0.8,a 3=0.

10、8,0.8,1；b 1=3,2,1 t ； b 2=5,0,-10t 。 (3)a 行分別為a 1=1,3,a 2=-7,1；b1=4,6t 。2.1.2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用雅格比法與高斯賽德?tīng)柕ń庀铝蟹匠探Max =b1或ax =b2，研究其收斂性。上機(jī)驗(yàn)證理論分析是否正確，比較它們的收斂速度，觀察右端項(xiàng)對(duì)迭代收斂有無(wú)影響。2.2 實(shí)驗(yàn)原理根據(jù)題目要求，分別用雅克比迭代和高斯賽德?tīng)柕姆椒ń夥匠探Max =b1和ax =b2，迭代法是將方程組ax=b 轉(zhuǎn)化為x=bx+f ，構(gòu)成了迭代格式：x (k +1) = bx k + f k = 0,1,2.n反復(fù)適用該式子，產(chǎn)生了x k 的向量序列，如果這

11、個(gè)向量序列收斂于x *，則有x *是方程組的解。因此，根據(jù)精度的要求選擇一個(gè)合適的x k 作為近似解。這就 是線性方程組的迭代法。 雅各比算法：將系數(shù)矩陣a 分解為：a=l+u+d ，則推到的最后迭代公式為：x= -d -1( l+ u)x (k)+d -1 b其中，迭代矩陣為b j = -d -1 (l+ u )高斯-塞德?tīng)柗椒ǎ菏菑难鸥鞅妊葑兌鴣?lái)的，其矩陣形式為x (k+1)=-d -1( lx (k+1)+ ux (k)+d -1b其中，高斯-塞德?tīng)柕仃嘼 g =-(d+l)-1u2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果（1）在問(wèn)題1中，有：126213100142,2,2003144345a b b -?

12、 ? ?=-=- ? ? ? ? ? ?-? 對(duì)矩陣a 進(jìn)行操作可計(jì)算得01103602100060011002,100,040,b 04200031000431042l u d ?- ?-? ? ? ? ? ?=-=-=-? ? ? ? ? ? ?- ? ?- ?計(jì)算矩陣ob 的譜半徑可知()00.54211b =matlab 編程得到的計(jì)算結(jié)果如下表2所示：表 2 雅格比法的迭代結(jié)果方程 是否收斂 迭代解迭代次數(shù)1 是 1 -0.7273 0.8081 0.2525x =116k =2 是236.3636 -2.0707 114.0404x =223k = 表 3 高斯賽德?tīng)柕ǖ牡Y(jié)

13、果方程 是否收斂 迭代解迭代次數(shù)1 是 1 -0.7272 0.8081 0.2525x = 110k =2是236.3637 -2.0707 114.0404x =215k = 從表 和3可知，理論分析結(jié)果與程序結(jié)果一致，利用雅格比法，方程1在 迭代16次后收斂；方程2在迭代了23次收斂。利用高斯-賽德?tīng)柗?，方?在迭代10次后收斂；方程2在迭代了15次收斂。從中可以看出高斯賽德?tīng)柗ǖ牡俣缺妊鸥癖确ǖ牡螖?shù)快。 （2）對(duì)于問(wèn)題2有：1210.80.8350.810.8,2,00.80.81110a b b ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?-? 對(duì)矩陣a 進(jìn)行操作可計(jì)算得 000

14、.80.800010000.80.8000.8,0.800,010,b 00.640.160000.80.8000100.1280.768l u d -? ? ? ?=-=-=- ? ? ? ? ? ? ? ? 計(jì)算矩陣o b 的譜半徑可知()00.71551b =表4 問(wèn)題2雅格比法的迭代結(jié)果方程 是否收斂 迭代解迭代次數(shù)1 是 1 nan nan nanx =11513k = 2 是2 nan nan nanx =21513k = 表5 問(wèn)題2高斯賽德?tīng)柕牡Y(jié)果方程 是否收斂 迭代解迭代次數(shù)1 是 1 5.7691 0.7693 -4.2307x =131k =2 是232.6922 7

15、.6922 -42.3076x =238k = 從錯(cuò)誤！未找到引用源。和5可知，高斯賽德?tīng)柗ㄖ挥昧撕苌俚膮?shù)就得到了迭代結(jié)果，但是雅格比法卻得到不收斂的結(jié)果，從這兩個(gè)方程的迭代次數(shù)來(lái)說(shuō)，b 值不同，其迭代的次數(shù)不一樣，但是迭代是否收斂于b 值大小無(wú)關(guān)。 （3）在問(wèn)題3中，有：1134,716a b ?= ? ?-? 對(duì)矩陣a 進(jìn)行操作可計(jì)算得 003001003,b 007001021l u d -? =-=-= ? ? ? ?-? 計(jì)算矩陣o b 的譜半徑可知()0211b =，所以迭代不收斂。調(diào)用matlab 程序中函數(shù)對(duì)問(wèn)題3進(jìn)行求解，其中最大迭代次數(shù)設(shè)為2000，精度要求設(shè)為0.000

16、1，初始迭代值設(shè)為（0,0,0）可得下錯(cuò)誤！未找到引用源。表6 問(wèn)題3雅格比的迭代結(jié)果方程 是否收斂 迭代解 迭代次數(shù) 1否inf nanx =-467k = 表7 問(wèn)題3高斯賽德?tīng)柕牡Y(jié)果方程 是否收斂 迭代解迭代次數(shù)1 否nan nanx =235k = 從錯(cuò)誤！未找到引用源。可知，理論分析結(jié)果與程序結(jié)果一致，方程迭代到最大次數(shù)時(shí)均沒(méi)有收斂。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：從問(wèn)題1，2，3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我們可以總結(jié)出，雅格比法只在問(wèn)題1的求解過(guò)程中有作用，而高斯-賽德?tīng)柗ú粌H能解決問(wèn)題1，而且還能解決問(wèn)題2，所以高斯-賽德?tīng)柗ǖ氖褂梅秶妊鸥癖确ǜ鼜V泛。方程組的右端系數(shù)對(duì)兩種方法有一定得影響，在初始條件，精

17、度要求相同的條件下可以看出，右端系數(shù)越大，得到所需解的迭代次數(shù)越多；在同等條件下，高斯賽德迭代法較雅格比迭代法，其收斂速度更快；在某些情況下，雅格比法不能找到方程組的解，而高斯賽德迭代法能夠找到方程組的解。 二、選做題3、問(wèn)題三3.1 問(wèn)題重述給定函數(shù)21()5,15f x xx -+=，及節(jié)點(diǎn)50,1,10,i i x i =-+，求其三次樣條插值多項(xiàng)式（可取i 型或ii 型邊界條件），并畫(huà)圖及與()f x 的圖形進(jìn)行比較分析。 3.2 實(shí)驗(yàn)原理 利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱(chēng)為樣條插值。已知函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上的n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)a = x0（2）在每小區(qū)間xj,xj+1(j=0,1,n-1)上s (x)是三次多項(xiàng)式，記為sj (x)； （3）s (x)在a, b上二階連續(xù)可微。則s (x)