“4-4 坐標系與參數(shù)方程”介紹

1、“4-4 坐標系與參數(shù)方程”介紹郭慧清數(shù)學選修44這一專題的內(nèi)容為“坐標系”與“參數(shù)方程”坐標系是坐標法思想得以實現(xiàn)的平臺，是解析幾何的基礎(chǔ)學生學習極坐標系、柱坐標系、球坐標系等不同的坐標系，可以豐富對坐標系的認識，體會不同坐標系在刻畫幾何圖形或描述自然現(xiàn)象上的特點，從而學會如何選擇適當坐標系使建立的方程更加簡單，研究更方便參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表示形式某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便學習參數(shù)方程有助于學生進一步體會解決問題中數(shù)學方法的靈活多變一、內(nèi)容和要求本專題分兩講第一講是“坐標系”，內(nèi)容包括：平面直角坐標系、極坐標系、

2、簡單曲線的極坐標方程和柱坐標系與球坐標系簡介；第二講是“參數(shù)方程”，內(nèi)容包括：曲線的參數(shù)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程和漸開線與擺線本專題是在學習直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)上，對解析幾何內(nèi)容的進一步深化本專題教學時間約18課時，具體分配如下：第一講 坐標系 8課時平面直角坐標系 約2課時 極坐標系 約2課時 簡單曲線的極坐標方程 約2課時柱坐標系與球坐標系簡介 約2課時第二講 參數(shù)方程 10課時曲線的參數(shù)方程 約3課時 圓錐曲線的參數(shù)方程 約3課時 直線的參數(shù)方程 約2課時漸開線與擺線 約2課時1. 內(nèi)容安排（1）在“平面直角坐標系”中，教科書在學生已有知識基礎(chǔ)上，

3、著重介紹了“坐標法”和“坐標伸縮變換”的內(nèi)容，引導學生學習如何根據(jù)問題的幾何特征選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼担⑶€方程，進而通過方程研究相關(guān)問題，以進一步體會坐標法思想平面圖形的伸縮變換在平面直角坐標系中可以用坐標伸縮變換表示教科書以學生熟悉的的圖象與的圖象之間的關(guān)系為載體，從坐標伸縮變換的角度進行重新認識，引導學生進一步體會坐標法思想極坐標系是本專題的重點內(nèi)容用距離與方位刻畫點的位置是生活中常用的方法，極坐標系就是這種方法的“數(shù)學化”教科書在介紹極坐標系概念的基礎(chǔ)上，從極坐標與直角坐標的互化、圓和直線的極坐標方程等角度引導學生認識極坐標系，并引導他們體會在不同的坐標系中，有序數(shù)組（坐標）所體現(xiàn)的

4、幾何含義不同，同一幾何圖形的方程也有不同的形式，從而認識根據(jù)問題的幾何特征選擇適當坐標系的必要性、重要性為了使學生對坐標系有一個相對完整的認識，教科書對柱坐標系、球坐標系作了簡單介紹，以使學生能從更多角度了解用有序數(shù)組（坐標）刻畫空間點的位置的方法（2）參數(shù)方程是本專題的另一個重要內(nèi)容在坐標系和參數(shù)方程中，數(shù)與形的結(jié)合、運動與變化、相對與絕對、分解與綜合等思想方法十分突出，是培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點的好素材參數(shù)方程是綜合性很強的內(nèi)容，教科書以學生熟悉的內(nèi)容（直線、圓、圓錐曲線等）為載體，引導學生從參數(shù)方程角度對它們進行重新認識，學習用參數(shù)方程思想研究曲線的基本思想方法。（3）在解析幾何的研究中

5、，信息技術(shù)的作用是比較容易發(fā)揮的教科書特別重視引導學生用信息技術(shù)進行探究活動，例如認識圓錐曲線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡（平擺線）、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡（漸開線），了解平擺線和漸開線的生成過程等2. 教學要求本專題是解析幾何初步、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進一步深化通過對本專題的學習，學生將掌握極坐標和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，錘煉坐標法思想，體會從實際問題中抽象出數(shù)學問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學問題的興趣和能力，體會數(shù)學在實際中的應(yīng)用價值，提高應(yīng)用意識和實踐能力在實施教學時，應(yīng)當注意以下要求：（1）極坐標系和參數(shù)方程是本專

6、題的重點內(nèi)容教學時要求學生能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化；能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程；通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義；能根據(jù)直線、圓和圓錐曲線、平擺線和漸開線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)推導出它們的參數(shù)方程；能進行參數(shù)方程與普通方程的互化；通過實例明確某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便，由此感受參數(shù)方程的優(yōu)越性（2）平面直角坐標系中的伸縮變換、柱坐標系、球坐標系等均為了解內(nèi)容，目的是讓學

7、生體會坐標系的作用，了解刻畫空間中點的位置的不同方法，加深對坐標法思想的認識，教學時不必作擴充（3）借助教具或計算機軟件，認識常見曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，了解平擺線和漸開線的生成過程（4）在本專題學習結(jié)束時，讓學生寫出學習報告，對所學知識進行總結(jié)，思考本專題與高中其他內(nèi)容之間的聯(lián)系，探討擺線的應(yīng)用，交流學習本專題的感受與體會二、編寫意圖1強調(diào)背景，展現(xiàn)過程例如，在回顧平面直角坐標系時，教科書先給出了下面的思考（以下簡稱“聲響定位”）： 給出這一問題背景，目的是讓學生通過思考和比較后，能選擇建立坐標系，通過坐標法解決問題，進一步體會坐標法思想，為繼續(xù)學習極坐標系、柱坐標系與球坐標系作準備

8、 在介紹極坐標概念前，教科書先給出下面的問題（以下簡稱“校內(nèi)方位”）讓學生思考： 這一思考，能讓學生結(jié)合自己熟悉的背景，體會在某些情況下用距離與角度來刻畫點的位置的方便性，為引入極坐標提供思維基礎(chǔ)在引入?yún)?shù)方程的概念時，教科書提供下面的“探究”：這一探究的目的是讓學生先感受事實：“在建立了坐標系的情況下，離開飛機的救援物資（動點）的坐標（或曲線上的點的坐標）可以用某個變量的函數(shù)來表示”，從而使參數(shù)方程的引入自然，參數(shù)的意義明確在介紹平擺線時，下面的背景不僅讓學生對平擺線先有一個認識，還為參數(shù)的選擇與參數(shù)方程的建立提供了準備： 從以上例子可以看出，教科書在介紹新知識、新方法時，十分重視知識背景，

9、以恰當?shù)膯栴}引導學生經(jīng)歷觀察、歸納、概括、推理、交流、反思的思維過程和知識發(fā)生發(fā)展的過程，并通過思考、探究、旁白等方式鼓勵學生積極參與這個過程，培養(yǎng)學生主動思考、自主探索的學習習慣2突出聯(lián)系性知識間的聯(lián)系是數(shù)學學科的重要特征，學生掌握數(shù)學知識的水平與靈活運用數(shù)學知識的能力，在很大程度上決定于他的知識的聯(lián)系狀態(tài)（1）重視與已有知識的聯(lián)系本講內(nèi)容與三角、圓錐曲線等知識的聯(lián)系是密切和自然的，教科書在關(guān)注這些聯(lián)系的同時，特別重視與向量知識及向量方法的聯(lián)系，并以此加強學生對解析方法的全面認識 例如，在推導雙曲線、直線、漸開線的參數(shù)方程時，充分利用向量方法，使數(shù)量關(guān)系清楚明了，推導過程簡潔方便以下是漸開線

10、的推導過程： 又如，在學習了拋物線的參數(shù)方程后，教科書安排了以下例題： 教科書在處理上述問題的過程中，不僅利用了拋物線的參數(shù)方程，同時利用向量的數(shù)量積來處理“垂直”關(guān)系，這樣既避免了針對斜率進行分類討論，也簡化了推理過程在介紹平面直角坐標系中的伸縮變換時，教科書與三角函數(shù)圖象的伸縮變換聯(lián)系起來，不僅增加了學生回顧已學知識的機會，解決了認識伸縮變換的平臺問題，而且使學生把更多的注意力放在了觀察圖象上的坐標的伸縮變換上，突出了利用坐標伸縮變換表示圖形伸縮變換的坐標法思想，提升了學生對函數(shù)圖象的伸縮變換的認識（2）重視教科書內(nèi)部的聯(lián)系在回顧“平面直角坐標系”時，教科書安排“聲響定位”問題不僅考慮滲透

11、坐標法思想，還考慮了為后面極坐標的學習建立聯(lián)系：在引入?yún)?shù)方程的概念后，教科書安排了下列習題： 上述問題不僅加深學生對參數(shù)方程的意義與作用的理解，還與引入?yún)?shù)方程時“投放救災(zāi)物資”的問題聯(lián)系起來，使學生學會從不同角度觀察處理問題（3）重視數(shù)學知識與實際問題的聯(lián)系將所學數(shù)學知識與實際問題聯(lián)系起來，不僅可以讓學生看到數(shù)學是有用的，而且可以激勵學生學習數(shù)學的熱情，加強數(shù)學應(yīng)用意識教科書不僅在正文方面注意給出實際問題，在例題、習題、探究與閱讀材料等方面均作了安排 在得出直線的參數(shù)方程后，為讓學生進一步理解坐標法思想，了解直線參數(shù)方程的應(yīng)用，教科書聯(lián)系“臺風”這個實際現(xiàn)象安排了如下的例： 下面的探究不僅

12、可以使學生將橢圓規(guī)的構(gòu)造原理與橢圓的參數(shù)方程聯(lián)系起來，同時可以激發(fā)學生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識： 3重視思想性數(shù)學知識的積累是數(shù)學學習的重要任務(wù)，但是提煉數(shù)學思想方法，學會數(shù)學地思維是數(shù)學學習的重中之重坐標系、曲線的極坐標方程及參數(shù)方程是本專題的主要數(shù)學知識，而坐標法思想?yún)s是本專題的重要內(nèi)容因此，重視思想性就成了本專題的重要特征（1）坐標系是數(shù)形結(jié)合的橋梁，曲線的極坐標方程、參數(shù)方程是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，坐標法思想是數(shù)形結(jié)合思想的重要表現(xiàn)形式因此，教科書在落實坐標法思想的同時，自然滲透著數(shù)形結(jié)合思想教科書在回顧“平面直角坐標系”時給出了兩個具體問題，一個是來自實際生活的“聲響定位”（P2思考），另一個是數(shù)

13、學本身的問題（P4例1）：這兩個問題本身都沒有建立坐標系，這樣安排的目的就是為學生體會坐標法思想創(chuàng)造條件（2）從具體到抽象，從特殊到一般是人們常常采取的認識事物的思維方式，也是一種重要的數(shù)學思想方法，教科書在安排學習內(nèi)容時特別重視這種思想方法的滲透例如，在處理“平面直角坐標系中的伸縮變換”這一內(nèi)容時，先回顧如何由的圖象通過變換得出的圖象，再抽象歸納出用坐標的伸縮變換來表示圖象的伸縮變換，就是基于這種考慮又如，從“聲響定位”、“校內(nèi)方位”到極坐標系的建立，從“圓形體育館座位確定”到建立柱坐標系而得出柱坐標，從“航天器位置的確定”到建立球坐標系而得出球坐標，等等都是基于這種考慮（3）注重類比思想在

14、很多內(nèi)容的處理上，教科書不是把結(jié)論直接陳述給學生，而是啟發(fā)學生用類比的方法進行思考，自行探究并獲取結(jié)論例如，在學習圓的參數(shù)方程后，學生已經(jīng)知道圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義在學習橢圓的參數(shù)方程時，教科書安排了以下思考： 學生在進行上述類比時，首先想到的是橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是一致的，但隨著進一步的探究與學習卻發(fā)現(xiàn)兩個參數(shù)的幾何意義不同教科書安排這樣的“思考”，是為學生正確理解類比思想提供反面例子在介紹完橢圓的參數(shù)方程后，教科書安排了下面的例子： 在利用橢圓的參數(shù)方程解決了上述問題后，教科書給出了下列思考： 教科書這樣安排的用意，是希望學生通過例1與線性規(guī)

15、劃問題進行類比，由此體會更多的最優(yōu)化問題，并由此培養(yǎng)學生的問題意識與創(chuàng)新能力在學習了直線的參數(shù)方程后，為了體現(xiàn)參數(shù)方程在研究某些問題時的優(yōu)勢，教科書安排了下面的例：在解決上述問題后，教科書接著安排了下面的探究： 這樣安排，不僅能使學生體會到參數(shù)方程在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時的優(yōu)勢，還能促使學生重新審視證明過程，用類比的方法發(fā)現(xiàn)證明過程在橢圓改為雙曲線時亦成立，從而獲得更一般的結(jié)論4重視與信息技術(shù)的整合 信息技術(shù)作為認知工具在數(shù)學學習中的重要作用是不容忽視的因此，針對本專題的許多內(nèi)容便于運用信息技術(shù)進行教學的特點，教科書以邊框旁白的形式給出了許多運用信息技術(shù)的提示，并開辟“信息技術(shù)應(yīng)用”欄

16、目，討論了如何在信息技術(shù)環(huán)境下認識圓錐曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，以及利用參數(shù)刻畫圓錐曲線的形成過程三、教學建議1創(chuàng)設(shè)問題情景，啟發(fā)學生思維，體會數(shù)學過程，改進學習方式在進行具體內(nèi)容的教學時應(yīng)重視問題情景，其目的不僅是為了介入數(shù)學知識，更重要的是使學生體會數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，解決學生認知上的困難，啟發(fā)學生的思維，改進學生學習的方式例如，在進行坐標系的教學時，無論是極坐標系，還是柱坐標系、球坐標系，都應(yīng)該用好引入坐標系前設(shè)置的問題情景，使學生通過具體問題看到引入新坐標系的必要，體會新坐標系的不同作用，解決新坐標系引入時的難點，豐富對坐標系的整體認識又如，在進行雙曲線的參數(shù)方程的教學時

17、，可以利用信息技術(shù)工具（如幾何畫板）創(chuàng)設(shè)雙曲線的形成過程： 當學生在觀察雙曲線形成過程時，教師可以啟發(fā)學生思考哪一個變量能確定雙曲線上的動點的變化？在這樣的問題情景中，學生不僅能通過積極思維找到參數(shù)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)的幾何意義，更重要的是學生的學習方式發(fā)生了變化，同時經(jīng)歷了建立雙曲線的參數(shù)方程的整個過程2充分重視數(shù)學知識的聯(lián)系性，使教學過程既成為學生學習新知識的過程，同時也成為已學知識的提升過程本專題的知識與三角函數(shù)、圓錐曲線、向量等知識有著天然的聯(lián)系所以，教學時應(yīng)引導學生多體會和思考這種聯(lián)系例如，在進行極坐標與直角坐標間的互化時，可以結(jié)合互化公式，讓學生回顧三角函數(shù)的定義，思考這再者之間的聯(lián)系與同異

18、點同時，還可以讓學生思考在學習三角變形時，下述變形與極坐標的聯(lián)系：其中角的終邊經(jīng)過點又如，在學習圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）時，又可以與極坐標及三角函數(shù)的定義聯(lián)系起來，重新思考這三者之間的聯(lián)系3強調(diào)數(shù)學思想方法，關(guān)注數(shù)學思維活動，提高學生認知水平高水平的數(shù)學教學活動不會停留在知識的傳授與學習這個層次上教學時，應(yīng)充分關(guān)注學生的數(shù)學思維活動，幫助他們以數(shù)學知識為載體，提煉數(shù)學思想方法，提高認知水平例如，進行“聲響定位”問題的教學時，我們的關(guān)注點不應(yīng)是“聲響的位置在哪里”這個結(jié)果，而應(yīng)是如何確定這個位置的思想方法，是選擇建立坐標系解決問題時，該如何建立坐標系而使解決問題的過程最簡又如，進行“平面直角坐標系中的伸縮變換”的教學時，最終關(guān)注的不是圖形是如何變換的，而是借助于坐標系，怎樣通過坐標伸縮這一代數(shù)變換來表示圖形的伸縮變換也就是說，最終關(guān)注的是