妙用幾何直觀4

1、 妙用幾何直觀 解疑破難 潁泉區(qū)三里小學(xué) 劉傳玲摘 要：幾何直觀，主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀確實是破解學(xué)生理解難點，幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方法在解決小學(xué)數(shù)學(xué)計算題、圖形題、應(yīng)用題等方面有著獨特的作用。關(guān)鍵詞： 幾何直觀 解疑破難 提高效率正 文： “幾何直觀”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中新增的核心概念。顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西(直接看到的是一個層次)，更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來，幾何

2、直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯坦(Einstein，18791955)曾說過一句名言：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且它是知識進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素?！?根據(jù)著名發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰的理論，小學(xué)階段的兒童（6、7歲-11、12歲）屬于具體運算階段：這階段的基本特點是開始進(jìn)行心理運算，能在頭腦中依靠動作的格式對事物的關(guān)系系統(tǒng)進(jìn)行逆反、互反、傳遞等可逆運算。具體運算階段的兒童，雖然在推理上、問題解決和邏輯方面已經(jīng)超過了前運算階段的兒童，但其思維還具有局限性，抽象

3、的語言推理還不能進(jìn)行，離不開具體事物的支持。而數(shù)學(xué)的一個重要特點就是其具有抽象性，數(shù)學(xué)內(nèi)容不可避免地具有抽象性，學(xué)生理解起來就有很大的難度。為較好地解決這一難題，幾何直觀就變得尤為重要。20多年的教育教學(xué)實踐，也讓我深深覺得幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，幾何直觀確實是破解學(xué)生理解難點，幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方法。一、利用幾何直觀解決計算題迎刃而解 第一學(xué)段的學(xué)生由于年齡小，理解抽象的算式中每個數(shù)與運算符號的意義，非常困難。比如有余數(shù)的除法134=31，孩子很難理解每個數(shù)所表示的意義，借助于幾何直觀，畫幾個盤子，每個盤子里放四個蘋果，需要三個盤子，最后還剩一個蘋果，這樣理解算式中每個數(shù)與運算

4、符號的意義，化“數(shù)”為“形”抓住了數(shù)與形之間的聯(lián)系，以“形”直觀地表示數(shù)，建立起“形”與有余數(shù)除法算式之間的聯(lián)系，便于學(xué)生形象地理解數(shù)量間的關(guān)系，達(dá)到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。比如在教學(xué)小數(shù)除以整數(shù)一課，如何讓學(xué)生理解小數(shù)除以整數(shù)的算理，我們就采用了數(shù)形結(jié)合的策略。結(jié)合圖示說算理。用11個小正方形表示11個1，用涂色部分表示0.5.把11.5平均分給5袋牛奶，每袋2元，還剩1.5元。1元不能直接分，把1.5元轉(zhuǎn)化成15角，也就是15個0.1，平均分給5袋牛奶，每袋3角，也就是3個0.1元，2元和0.3元就是2.3元。當(dāng)圖形直觀的呈現(xiàn)分不完有剩余的情況下，我們就把

5、余下的數(shù)轉(zhuǎn)化成計數(shù)單位更小的數(shù)進(jìn)行計算。小學(xué)生正處在形象思維向抽象思維過渡的階段。圖示，把抽象的算理變得直觀可見，學(xué)生一下子就明白小數(shù)除以整數(shù)的計算方法，理解了商的小數(shù)點為什么要和被除數(shù)的小數(shù)點對整齊。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，讓學(xué)生由形象思維慢慢過渡到抽象思維，幫助學(xué)生靈活的思維，開啟智慧的大門。 再比如這樣一道題，1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=？這道題如果用通分的方法計算十分麻煩，并且結(jié)果容易出錯，為了讓學(xué)生理解算理，我畫一個正方形，然后平均分成兩份，四份、八份等等，用分?jǐn)?shù)表示，比較直觀地發(fā)現(xiàn)這道題的計算結(jié)果就是從1里面減去1/32等于31

6、/32.一個復(fù)雜的問題就這樣順利解決了。二、利用幾何直觀解決圖形問題水到渠成一年級學(xué)生就開始認(rèn)識長方形、正方形和圓，是為了讓學(xué)生體會“面在體上”，從而體會面和體之間的關(guān)系，也體會到數(shù)學(xué)離我們的生活很近，生活中處處有數(shù)學(xué)。想要達(dá)到這個目標(biāo)，單純地出示幾個平面圖形或者用多媒體課件展示，學(xué)生得到的體會就很膚淺，為了解決這個問題，我讓學(xué)生從家中找來牙膏盒、魔方、茶葉盒等物體，先讓學(xué)生動手摸一摸，感受到面與體的關(guān)系，然后再讓學(xué)生比著手中的物體畫一畫，畫出長方形、正方形和圓形，這樣處理學(xué)生就會認(rèn)識深刻，記憶久遠(yuǎn)。比如幾何初步知識中如一個三角形底邊長5厘米，如果底邊增加3厘米，面積就增加6平方厘米，求這個三

7、角形的面積。學(xué)生拿到這個題目往往很茫然，不知從何入手，這時幾何直觀的力量就會顯現(xiàn)了，畫出如下圖形，增加的面積是底是3厘米的三角形的面積，可以求出高為4厘米，二這個三角形的高和原來三角形的高相等，從而求出原來三角形的面積為15平方厘米。如果是六年級也可以用比例或者倍比的方法來求。還有如：一個梯形如果上底增加3厘米就變成一個正方形，且面積增加12平方厘米，求梯形的面積。這個題目如果光看題比較難以理解，如果先畫一個正方形，然后從上邊角上去掉一個底為3厘米的三角形，用陰影表示就一目了然了。求出三角形的高也就是這個梯形的下底和高為8厘米，梯形的上底為8-3=5厘米，從而很順利地得出結(jié)論。三、利用幾何直觀

8、解決應(yīng)用題事半功倍比如低年級學(xué)生對“比多比少”問題的理解，由于受思維定勢的影響和老師或家長不正確的引導(dǎo)，很多學(xué)生不深入審題，總是見多就加，見少就減。為解決這一問題，我這樣處理：如甲比乙多3.這句話怎樣理解能讓學(xué)生明白呢？我讓學(xué)生畫出線段圖來表示，然后對照線段圖說一說甲乙之間的關(guān)系，直觀地發(fā)現(xiàn)甲長乙短，說明甲數(shù)比乙數(shù)大，乙數(shù)比甲數(shù)小，如果知道甲數(shù)求乙數(shù)用減法；知道乙數(shù)求甲數(shù)用加法。舉個例子讓學(xué)生做一做，如果甲數(shù)是20，乙數(shù)是多少？然后讓學(xué)生再找?guī)讉€例子，按照上面的思路進(jìn)行訓(xùn)練，在小組中互相提問，互相交流，這樣訓(xùn)練幾次，學(xué)生解決這一類問題的正確率就大大提高了。北師大版三四年級的倍比問題，由于老是出

9、現(xiàn)不知該是用乘法還是除法計算的問題。如求36是9的幾倍？很多學(xué)生用乘法計算，究其原因是學(xué)生對兩者之間的關(guān)系理解不清，針對這個問題，我平時教學(xué)中，這樣安排：如甲是乙的3倍，讓學(xué)生針對這個數(shù)量關(guān)系用自己的辦法表示出來，學(xué)生會用畫線段圖或畫圖等方式表示。然后讓學(xué)生對著所畫的圖來說，明確乙是一份，甲是3份。如果知道一份求3份，用乘法計算；如果知道3份求一份，用除法計算。另外像和倍問題、差倍問題、和差問題，用畫線段圖的方法講解，學(xué)生和家長普遍反映好理解，學(xué)習(xí)起來非常省力。列車過橋問題，學(xué)生理解的難點是不知道什么叫列車過橋，由于平時學(xué)生做的題目不管是行人還是汽車，都是看成一個點，不考慮長度，所以在講列車過

10、橋問題時學(xué)生不能理解。這時老師可就地取材，可以把一本書或者文具盒當(dāng)成列車，黑板或講桌當(dāng)成橋進(jìn)行演示，如理解不透，可以多演示幾遍，學(xué)生就會明白列車過橋的實質(zhì)就是所走的路程是一個橋長加一個車長，再根據(jù)路程、速度、時間之間的關(guān)系求解就比較簡單了。五六年級學(xué)生理解的最大難點就是分?jǐn)?shù)的意義，特別是單位“1”的理解，如把2米長的繩子平均分成3份，每份是（ ）米，每份是2米的幾分之幾，是1米的幾分之幾。類似的題目幾乎每次大型考試，試卷里面都有，但每次考試學(xué)生在這里出錯的都很多。針對這個問題，我這樣處理，在黑板上畫一條2米長的線段平均分成3份，然后再畫出一條1米長的線段，平均分成3份，讓學(xué)生對照明白2/3米既

11、是2米的1/3，也是1米的2/3.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的難點和關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”，理解數(shù)量關(guān)系。那么怎么才能讓學(xué)生找準(zhǔn)單位“1”，順利解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題呢？我比較常用的方法是抓住關(guān)鍵句畫線段圖理解等量關(guān)系。比如甲是乙的2/3，這句話，除了讓學(xué)生畫線段圖，理解單位“1”和等量關(guān)系乙2/3=甲，知道甲求乙，用除法或者方程解決；知道乙求甲，用乘法計算。還進(jìn)一步讓學(xué)生明白，甲比乙少幾分之幾，乙比甲多幾分之幾，明確為什么兩個分?jǐn)?shù)不一樣，原因是比較量不同。這樣讓學(xué)生多訓(xùn)練幾次，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解決就非常容易了。還有像甲乙兩筐梨原來的質(zhì)量比是4:3，甲筐給乙筐13千克后，甲、乙兩筐梨質(zhì)量的比變?yōu)?:7，問，甲乙兩筐梨原來各重多少千克？這類題目如果僅僅進(jìn)行口頭講述，學(xué)生很難明白到底是怎么一回事，如果畫出線段圖，抓住總量不變，把總量看做單位“1”，問題就迎刃而解了。華羅庚先生說過：“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀”。這句話充分說明了幾何直觀的重要性，我們老師在平時的教學(xué)中，要多下功夫，多進(jìn)行直觀教學(xué)，把抽象的東西盡量直觀地表達(dá)出來，同時也要要求學(xué)生學(xué)會直觀地表達(dá)，“讓學(xué)生在解釋的時候，不斷用圖去支撐