浙江專用高考數(shù)學新增分大一輪復習第四章導數(shù)及其應(yīng)用4.2導數(shù)的應(yīng)用第1課時講義含解析

1、 4.2 導數(shù)的應(yīng)用取新考綱考情考向分析1. 了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，能用導數(shù) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2. 理解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大 (小)值.考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，利用函數(shù) 的性質(zhì)求參數(shù)氾圍；與方程、不等式等知識 相結(jié)合命題，強化函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與 化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用意識；題型 以解答題為主，一般難度較大 .基礎(chǔ)知識自主學習 回扣早礎(chǔ)知識 訓練皐砒題目 知識橋理1 函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)y= f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，右側(cè)f (x)0，那么

2、f (xo)是極大值； 如果在Xo附近的左側(cè)f (x)0，那么f (xo)是極小值.(2) 求可導函數(shù)極值的步驟 求f ( X)；求方程f( x) = 0的根; 考查f (x)在方程f (x) = 0的根附近的左右兩側(cè)導數(shù)值的符號.如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值.3 函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)f (x)在a, b上必有最大值與最小值. 若函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)遞增，則f(al為函數(shù)的最小值，fb)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a, b上單調(diào)遞減，則fal為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值. 設(shè)函數(shù)f

3、(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導，求f(x)在a, b上的最大值和最小值的 步驟如下： 求函數(shù)y= f (x)在(a, b)內(nèi)的極值; 將函數(shù)y= f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值 f (a), f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.【概念方法微思考丨1. “f(x)在區(qū)間(a, b)上是增函數(shù)，則f (x)0在(a, b)上恒成立”，這種說法是否正確？提示 不正確，正確的說法是：可導函數(shù)f (x)在(a , b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對任意x (a , b),都有 f(x) 0( f (x) w0)且f(x)在(a, b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.2

4、對于可導函數(shù)f (x) , “f (xo) = 0”是“函數(shù)f(x)在x = xo處有極值”的 條件.(填“充要” “充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1 判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“ X”)(1) 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x) = 0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.( V )(2) 函數(shù)的極大值一定大于其極小值.(X )(3) 函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.( V )(4) 開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.( V )題組二教材改編2. P32A組T4如圖是函數(shù)y= f(x)的導函數(shù)y= f(x)的圖象，則下

5、面判斷正確的是()v=f(-r)A. 在區(qū)間(一2,1)上f(x)是增函數(shù)B. 在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù)C. 在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù)D. 當x = 2時，f (x)取到極小值答案 C解析 在(4,5)上f (x)0恒成立，f(x)是增函數(shù).23. P29 練習 T2設(shè)函數(shù) f (x) = -+ Inx,則()XA. x=扌為f (x)的極大值點B. x=扌為f (x)的極小值點C. x= 2為f (x)的極大值點D. x= 2為f(x)的極小值點答案 D解析f (x)=-21 x 2X2 + X = P(X)，當 0x2 時，f (x)2時,f(x)0,. x= 2為f

6、(x)的極小值點.4. P26練習T1函數(shù)f (x) = x3 6x2的單調(diào)遞減區(qū)間為答案(0,4)2解析 f(x) = 3x 12x= 3x(x 4),由 f，(x)0，得 0x0;當 x j 6，2 時，y 0，得 x2 或 x 2;令 f (x)0，得2x0;當f (x)為減函數(shù)時，f(x) w0.2x8. (2011 浙江)設(shè)函數(shù) f (x) = ax + bx+ c ( a, b, c R)，若 x= 1 為函數(shù) f (x)e 的一個極值點，則下列圖象不可能為y = f(x)的圖象是()答案 D解析設(shè) h( x) = f (x)ex,x2x2x貝U h(x) = (2 ax+ b)e

7、 + (ax + bx+ c)e = ( ax + 2ax+ bx + b+ c)e .由x =- 1為函數(shù)h(x)的一個極值點，2得當 x=- 1 時，ax + 2ax+ bx+ b + c = c- a= 0, c = a./. f (x) = axK題典題尿度割析童點難點多雛揀究第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 題型一 不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性f 11 .函數(shù)y = 4x + -的單調(diào)增區(qū)間為()XA. (0,+)C. (a, 1)答案 B + bx+ a.若方程ax + bx + a= 0有兩根xi, X2,a則XiX2= = 1, D中圖象一定不滿足該條件.a題型分類深度剖析2 1 1解析

8、 由 y= 4x + x，得 y= 8x x2,令 y 0,即 8x X20，解得 x2,x22函數(shù)y= 4X1 2+ -的單調(diào)增區(qū)間為x,+m .故選B.2.已知函數(shù) f(x) = xln x,貝U f(x)()A. 在（0,+s）上單調(diào)遞增B. 在(0 ,C.在 0,-上單調(diào)遞增D.在 0,e上單調(diào)遞減答案 D解析 因為函數(shù)f （x） = xln x的定義域為（0,+）,所以 f (x) = In x + 1(x0),1當f (x)0時，解得x,e即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-,+ ;逞J3.已知定義在區(qū)間（一 n , n）上的函數(shù)f (x) = xsin x + cosx,f （x）的單調(diào)遞增

9、區(qū)間是答案解析 f(x) = sin x+ xcosx sinx = xcosx.令 f (x) = xcosx0,則其在區(qū)間(一n , n )上的解集為i n , -2 U 0, y ,即f ( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為j n,和0, 2 思維升華確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1) 確定函數(shù)f (x)的定義域.(2) 求 f (x).(3) 解不等式f (x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間. 解不等式f (x)0,2 2所以令 g( x) = ax + 2x= 0，解得 x= 0 或 x=.a2(2、(x)0 時，函數(shù) g(x) = ax + 2x 在(一g, 0)和 ，+ 上有 g(x)0,

10、-a即f (x) 0,函數(shù)y = f (x)單調(diào)遞增.當ao,即卩 f (x)o，函數(shù)y = f (x)單調(diào)遞增;2乙函數(shù)g(x) = ax + 2x在匚,0 上有 g(x)wo,即f (x) w0,函數(shù)y = f (x)單調(diào)遞減.綜上所述，當a = 0時，函數(shù)y = f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 ,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)；當a0時，函數(shù)y = f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 0),魯，+8 ,單調(diào)遞增區(qū)間為-|0, 11 當a0)，試討論f (x)的單調(diào)性.解 由題意得 f( x) = ex ax2 + (2 a 2) x( a0),令 f(x) = 0，解得 xi= 0,

11、X2= -2a當 0a0 ,貝U x0 或 x2二2, a2 2a 令 f (x)0，則 0x1 時，令 f (x)0，則 x0 或 x2=, a令 f (x)0，則 2一空x0.a綜上所述，當0a1時，f (x)在+ 3)上單調(diào)遞增，在題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用維探究命題點1比較大小或解不等式例2(1)已知定義域為 R的偶函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，當x0時，xf(x) f(x)0.若 a=丄,b=f晉 ,c=牛，貝U a, b, c的大小關(guān)系是()eIn23A. bacB. acbD. cabC. abc答案 D解析 設(shè) g(x) = ，貝y g，(x) = xfX?- f x ,xx又當

12、 x0 時，xf (X) f (x)0 ,所以g(x)0,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(a, 0)內(nèi)單調(diào)遞減.因為f(x)為R上的偶函數(shù)，所以 g(x)為(一a, 0) U (0，+a)上的奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，+a)內(nèi)單調(diào)遞減.由0ln2e3，可得 g(3) g(e) g(ln2)，即 ca1 , f(0) = 4，則不等式exf(x)ex+ 3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()A. (0，+a)B. ( a, 0) U (3 ,+a)C. ( a, 0) U (0，+a)D. (3 ,+a)答案 A解析令 g(x) = exf (x) ex, g(x) = exf (x) + e

13、xf (x) ex=exf(x) + f(x) 1, f(x) + f (x)1 , g(x)0, y = g(x)在定義域上單調(diào)遞增，xxTe f (x)e + 3, g(x)3 , g(0) = 3,. g(x)g(0) , x0,故選 A.命題點2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)1 2例 3 已知函數(shù) f (x) = In x, g( x) = qax + 2x( a* 0).(1)若函數(shù)h(x) = f (x) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 若函數(shù)h(x) = f (x) g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解 h(x) = lnx 2ax2 2x, x (0,+),1所以

14、h(x) = 一一ax 2,所以當x (0，+)時,所以只要aQX)min即可.G( x) min = 1.所以a 1.由于h(x)在(0,+)上存在單調(diào)遞減區(qū)間, - ax2占2恒成立.x2 x所以a G(x) max, 而G(x) = - 1 2 1, x J因為11x 1,4，所以 忖所以G x) max= 16(此時 x = 4),所以7a 16，又因為 a0,-7、所以的取值范圍是|16，o u(0,+).引申探究1. 本例 中，若函數(shù)h(x) = f (x) g(x)在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍. 解 因為h(x)在1,4上單調(diào)遞增，所以當x 1,4時，h(x)0恒成立，1

15、2所以當x 1,4時，aw -2 -恒成立，X2 又當 X 1,4時，iE min = 1(此時=1),所以a 1，即a的取值范圍是(一R, 1.2 .本例(2)中，若h( x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.解 h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h(x)x2 x有解， 又當 x 1,4時，x2x min = 1，所以a 1,又因為0,所以a的取值范圍是(一1,0) U(0,+).思維升華根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y= f(x)在(a, b)上單調(diào)，則區(qū)間(a, b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a, b)都有

16、f(x) 0且在(a, b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f (x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.(3)函數(shù)在某個區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.I o22跟蹤訓練 2 (1)(2018 寧波模擬)已知三次函數(shù) f (x) = -x (4 m 1)x + (15 m 2m 7) x+ 23在(8,+)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A. n4B. 4n 2C. 2m0 恒成立，其判別式 = 4(4m 1)2 4(15吊一2m-7) 0,解得 20時，g( t) = 2t +辛在卜.：；,+m上單調(diào)遞增， 所以：;三，解得Ov已三1；當av 0時，需2t + 在-2, 8上

17、非負，12 a所以2X 0,解得K av 0.2農(nóng)2綜上，實數(shù)a的取值范圍為1,1.思想方法用分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題一般要分類討論，常見的分類討論標準有以下幾種可能: 方程f (x) = 0是否有根；若f (x) = 0有根，求出根后判斷其是否在定義域內(nèi)；若根在定義域內(nèi)且有兩個，比較根的大小是常見的分類方法.例已知函數(shù)g(x) = lnx+ ax2 (2a+ 1)x，若a0,試討論函數(shù) g(x)的單調(diào)性.解 g(x)=環(huán)2 羽+凹=NX 二 11xxt函數(shù)g(x)的定義域為(0,+),x 1當 a= 0 時，g(x)=x由 g(x)0，得 0x1，由 g(x)1.

18、當a0時，令g(x) = 0,得x = 1或x =右 若丄1,2a21由 g(x)o ,得 xi 或 ox石,1由 g(x)0 ,得2ax1，即分2，i由 g(x)0 ,得 x或 0x1,由 g,(x)o，得 ixo.綜上可得：當a= 0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1 ,+)上單調(diào)遞減;當0a2時，函數(shù)g(x)在0，2a上單調(diào)遞增,在2a，1上單調(diào)遞減，在(1，+m)上單調(diào)遞增.課時作業(yè)基礎(chǔ)保分練1函數(shù)f (x) = x2 - 2l nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. (0,1)B. (1 ,+s)c. (g, 1)D. ( 1,1)答案 A解析f，(x) = 2x 2 = 2X +

19、 1 x - 1(xo),XX當 x (0,1)時，f(x)0, f(x)為增函數(shù).2. 已知定義在 R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A. f (b) f (c) f( d)B. f(b)f(a)f(e)C. f (c) f (b) f( a)D. f(c)f(e)f(d)答案 C解析 由題意得，當x ( g, c)時，f(x)0,所以函數(shù)f(x)在(一g, c)上是增函數(shù)，因為 abf(b)f (a)，故選 C.3 .(2018 臺州調(diào)考)定義在R上的可導函數(shù)f(x)，已知y= 2f卞的圖象如圖所示，則y= f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()B. 1,

20、2D. ( g, 2A. 0,1C.(汽 1答案 D解析 據(jù)函數(shù)y = 2f，(x)的圖象可知，當 x 0,且使f(x) = 0的點為 有限個，所以函數(shù) y= f(x)在(g, 2上單調(diào)遞增，故選 D.1 3 1 24. (2018 浙江臺州中學質(zhì)檢 )已知函數(shù)f(x) = -ax + -ax + x(a R)，下列選項中不可能是3 2函數(shù)f(x)圖象的是()答案 D解析 由題意得f(x) = ax2 + ax + 1，若函數(shù)f (x)的圖象如 D選項中的圖象所示，貝U a0，f(x) W0在R上恒成立，所以此時不等式組無解，所以D錯誤，故選D.(x)0，若 X13,a24aw 0，5 .定義

21、在R上的函數(shù)y= f (x)，滿足f(3 x) = f (x)，則有()A. f(xf(X2)D. 不確定答案 B解析 據(jù)已知由f (x) = f (3 x)，可得函數(shù)圖象關(guān)于直線x= 3對稱，又由ix f (x)x1 -22得當 x3時,f (x)0 ； 當 x0.又若 X13,則有因此據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(xf(X2)，故選B.6. (2018 浙江名校協(xié)作體模擬)已知函數(shù)f(x) = (2x 1) e x+ ax2 3a(x0)為增函數(shù)，則a的取值范圍是()A. 2 e ,+)C. ( a, 2 .e答案 AB. I 32e，+mD.解析 / f (x) = (2x 1)ex+ ax2

22、3a在(0，+a)上是增函數(shù),X1x11x1卜X + 2 e ,由 g(x) = X2 + X+ 2 e = 0 和 X0 得 x=?, 當1 1,則 g(x)= X2+ f(x) = (2x + 1)ex + 2ax0 在區(qū)間(0，+a)上恒成立，即2aJ；時，g(x)0，當 0x;時，g(x)0 , g(x)在處取得最小值，g = 4 e, 2 2221 2a 2 e，故選 A.7 .若函數(shù)f (x) = x3+ bx2 + cx+ d的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,3)，貝U b+ c =,答案 -12 解析 f(x) = 3x2 + 2bx+ c,由題意知，1x3是不等式3x2 + 2bx+

23、c0的解, 1,3是f (x) = 0的兩個根,- b= 3, c= 9,. b+ c = 12.1X2 18.已知函數(shù)f(x)(x R)滿足f(1) = 1, f(x)的導數(shù)f(x)?,則不等式f(x2)2 + 的解集 為.答案x| x11 1解析 設(shè) F(x) = f (x) 2X, F(x) = f (x) , f (x)2，二 F，(x) = f (x) 2o,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減.2 x2 12 x21 f(x2)2 + 2，二 f(x) 2f(i) 2， F(x2)1，即不等式的解集為x|x1.1 29 .已知函數(shù)f (x) = qx + 4x 31 nx在區(qū)間t ,t +

24、 1上不單調(diào)，則t的取值范圍是 答案 (0,1) U (2,3)解析由題意知 f (X)= x + 4_1x_3 ,xx由f(x) = 0，得函數(shù)f (x)的兩個極值點為1和3,則只要這兩個極值點有一個在區(qū)間(t, t + 1)內(nèi),函數(shù)f(x)在區(qū)間t , t + 1上就不單調(diào),由 t 1t + 1 或 t 3t + 1,得 0t 1 或 2t 0在2，2 上有解，所以b0,則當xf (x)0.函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若k0，函數(shù)f (x)單調(diào)遞增;k1k，十f(x)0,則當且僅當一k 1,即kwi時，函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增; k若k 1時，函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增.綜

25、上可知，當函數(shù) f(x)在區(qū)間(一1,1)上單調(diào)遞增時,k的取值范圍是1,0) U (0,1.12 .已知函數(shù) f (x) = aln x ax3( a R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若函數(shù)y= f(x)的圖象在點(2 , f(2)處的切線的傾斜角為 45,對于任意的t 1,2,函數(shù)g(x) = x3+ x2f(X戶m在區(qū)間(t, 3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求解 函數(shù)f (x)的定義域為(0 ,+),af1 x 且 f(x)=x當a0時，f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1 ,+);當a0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1 ,+)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1);m的取值范圍.當a=

26、0時，f (x)為常函數(shù).a-f (x) = 2ln x+ 2x 3, f(x)=2x 2x(2)由(1)及題意得 f (2)=1，即卩 a= 2, g(x) = x3 + 2+ 2 x2 2x,2 g(x) = 3x + (m+ 4) x 2. g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),即g(x)在區(qū)間(t ,3)上有變號零點.由于 g (0) = 2,g (t .當 g()0 時，2即3t + (4) t 20對任意t 1,2恒成立，由于 g (0)0，故只要 g (1)0 且 g (2)0 ,即 nr 5 且 m 9，即 n0 ,即卩 n 37.373nr r 37即實數(shù)m的取值范圍是 一y, - 9 .N技能提升練13. (2018 杭州高級中學模擬)已知函數(shù)f(x) = x3+ ax10a-.綜上，可得 0 a-,故選 C. ee+ bx+ c, g(x)為f(x)的導函數(shù).若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是()A. a2-3b有最小值 3B. a2- 3b有最大值2 3C. f(0)