第一章--51二項(xiàng)式定理.doc

1、 5二項(xiàng)式定理5 . 1 二項(xiàng)式定理戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 全桃戰(zhàn)自我*點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2 掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.3 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.知識(shí)鏈接1. 二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別？答 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)完全是不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指C0,&, cn,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與 a, b的值無關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指 該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a, b的值有關(guān).2. 二項(xiàng)式(a+ b)與(b + a)展開式中第r + 1項(xiàng)是否相同？答 不同.(a+ b)展開式中第r + 1項(xiàng)為Cna

2、b ,而(b+ a)展開式中第r + 1 項(xiàng)為 cnbn-rar.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 二項(xiàng)式定理(a+ b) n= Can + dan4+ C,an_rbr+ C；bn這個(gè)公式就稱為二項(xiàng)式定理.2. 二項(xiàng)式定理的有關(guān)概念(1) 二項(xiàng)展開式在(a+ b)n = Cnan+ 6an_ 1b+ cnan_2b2+ + Can_rbr + + Cnbn 中，右邊的多項(xiàng)式 叫作(a+ b)n的二項(xiàng)展開式.(2) 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)在二項(xiàng)展開式中，Gan_rbr叫作二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用 Tr +1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r + 1項(xiàng).Tr +1= Cnan_rbr(其中 Ow r n, r N, n N). 此

3、公式也稱為二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.(3) 二項(xiàng)式系數(shù) 在展開式中，每一項(xiàng) Gan_rbr的系數(shù)G稱為二項(xiàng)式系數(shù).歹課堂講義_ 更點(diǎn)難點(diǎn)*個(gè)個(gè)擊破要點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的正用、逆用1例1(1)求(3心+寸x)4的展開式；化簡(jiǎn)(x 1)5+ 5(x- 1)4+ 10(x 1)3+ 10(x 1)2+ 5(x 1).81x2 + 108x + 54+12+ !x x1432=J2(81x + 108x + 54x + 12x+ 1)2 12 1=81x + 108x + 54+-2.x x 原式=C5(x 1) + G(x 1) + C5(x 1) + C5(x 1) + C5(x 1) + C5 1 =5

4、5(x 1) + 1 1= x 1.規(guī)律方法 運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開二項(xiàng)式，要記準(zhǔn)展開式的通項(xiàng)公式，對(duì)于較 復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開更簡(jiǎn)捷；要搞清楚二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)以及 該項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.逆用二項(xiàng)式定理可將多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，對(duì)于這類問題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)幕指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)的系數(shù).跟蹤演練L161(1)展開(2 X + 耳)；化簡(jiǎn)：1 + 2d + 4C+ + 2ncn.解(1)(2 & + 打二抄 + 1)61=-3C 0(2 x)6+ d(2 x)5 + 幺(2 x)4+ Cl(2 x)3 + CC(2 x)2 + G(2 x) + C6 X3 2 60 12 1

5、 =64x + 192x + 240x + 160+-2 + -3.x x x原式=1 + 2d + 22G + 2nC = (1 + 2)n= 3n.要點(diǎn)二二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用例2若(x + )n展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：2眾(1) 展開式中含x的一次項(xiàng)；(2) 展開式中的所有有理項(xiàng).1 1解(1)由已知可得 Cn + Cn 2C 2， 即卩 n 9n + 8 = 0,解得 n = 8,或 n=1(舍去).Tr + 1= C8( x)8r (1-)r = C8 2 r x4 4r, 2飯3令4丿=1,得r = 4.4所以x的一次項(xiàng)為T5= C82 x= 8 x.3 令4 4r Z,且

6、0W r 8,則r = 0, 4, 8,所以含x的有理項(xiàng)分別為T135T5= 8x,T9 =_1_256x2.規(guī)律方法利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中具有某種特征的項(xiàng)是關(guān)于 二項(xiàng)式定理的一類典型題型常見的有求二項(xiàng)展開式中的第r項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、含某字母的r次方的項(xiàng)等等其通常解法就是根據(jù)通項(xiàng)公式確定 Tr +1中r的 值或取值范圍以滿足題設(shè)的條件.跟蹤演練21已知二項(xiàng)式（X + 2廠所以 丁9=c (2) 8=256即第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),其值為45256（1）求展開式中的第5項(xiàng);（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng).1 1解 （1）（ x2 +刃X）10的展開式的第5項(xiàng)為Ts = C：。 （x2） 令 20-2r

7、= 0,得 r = 8, （鬲）4 =41 41214105 10C40-(2) X ( x)= 8x .(2)設(shè)第r + 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，_151則 T+戶Co(x2)10-r ()r二C1ox20-2r (2)(r= 0, 1,2,，10),2px22要點(diǎn)三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例3 (1)用二項(xiàng)式定理證明：34n+2+ 52n+1能被14整除；求9192除以100的余數(shù).(1) 證明34n+ 2+ 52n +1 = 92n+1+ 52n+1= (9 + 5) 52n+1+ 5勿+1=(14 5)2n+1 + 52n+1=142n+1 dn+ 1X 142nX 5+ dn+ 1X 142n1X 5

8、2 + C+1 X 14X 52n CJx 52n+1 +2n+ 15=14(142n dn+1X 142n1X 5+ C2n+1 X 142n2X 52-+ C+1X 52n).上式是14的倍數(shù)，能被14整除，所以34n+2+ 52n+1能被14整除.解 法一 9192 = (100 9)92 = 10092 C X 10091 X 9+ C92X 10090 X 92 d9；X 100X 991 + 992,前面各項(xiàng)均能被100整除，只有末項(xiàng)992不能被100整除， 于是求992除以100的余數(shù). 992= (10 - 1) 92=1092- C92X 1091 + &2X 1O90-.+

9、 C90X 102-cSx 10+ ( 1)92=1092- CLx 1091 + CLx 1O90-.+ C2x 102-920+ 1=(1092-C92X 1091 + CLx 1O90-. + c92x 102- 1 000) + 81,被100除的余數(shù)為81，即9192除以100的余數(shù)為81.法二 由 9192= (90 + 1廣2=黑2x 9092 + 厲X 9091 + 沈902+ Cf2x 90+ 1, 可知前面各項(xiàng)均能被100整除，只有末尾兩項(xiàng)不能被100整除，由于C92X 90 + 1= 8 281 = 8 200 + 81,故 9192 除以 100 的余數(shù)為 81.規(guī)律方

10、法利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤演練3求證：5151- 1能被7整除.證明t 5151- 1 = (49 + 2)51 - 1=C14951 + CU950X 2+-+ CX 49 X 250 +X 251 - 1.易知除(C51x 251 - 1)以外各項(xiàng)都能被7整除.又 251 - 1 = (2 3)17 1 = (7 + 1)17- 1=C?7X 717+ C7X 716+ + C6X 7+ C7- 1=7(冼716+ C7715+ C)， 顯然能被7整除，所以(5151- 1)能被7整除.戸當(dāng)堂檢測(cè)

11、全當(dāng)堂訓(xùn)練體驗(yàn)成功1若(1 + 2)4 = a+ b . 2(a, b 為有理數(shù))，則 a+ b 等于()A. 33 B . 29 C . 23 D . 19答案 B解析 t (1 + 2)4 = 1+ 4 2+ 12+ 8 2+ 4= 17+ 12 2= a+ b 2,又a, b 為有理數(shù)， a= 17, b= 12. - a+ b = 29.2在(1 x)5 (1 x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A. 5 B . 5 C 10 D . 10答案 D解析(1 x)5中 x3的系數(shù)一C5= 10, (1 x)6中 x3的系數(shù)為一C3 ( 1)3 =20,故(1 x)5 (1 x)6的展

12、開式中x3的系數(shù)為10.33 .求(2x 2x2)5的展開式.解先化簡(jiǎn)再求展開式，得3(2x 衣)(4x3 3)1032x132x10C5(4x3)5 + C(4x3) 4( 3) + C5(4x3) 3( 3)1. 注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念. 要牢記Canb是展開式的第r + 1項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第r項(xiàng). 求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其 為特定值三分層訓(xùn)練 全解疑糾僞訓(xùn)練檢測(cè)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. (x + 2)6的展開式中x3的系數(shù)是()A. 20B. 40C. 80D. 160答案 D解析 法一 設(shè)含x3的項(xiàng)為第r + 1項(xiàng)，則Tr+ Cx6 r 2r

13、，令6 r = 3,得 r = 3,故展開式中x3的系數(shù)為Clx 23= 160.法二根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)：二項(xiàng)展開式每一項(xiàng)中所含的x與2 +C5(4x3) 2( 3)3+ C5(4x3)( 3)4 + C 3)5=32x5 120x2+ 型哮+x x4052438x7 32x10.諜堂小結(jié)分得的次數(shù)和為6,則根據(jù)條件滿足條件x3的項(xiàng)按3與3分配即可，則展開 式中x3的系數(shù)為C6x23= 160.2. （2013江西理）（x2 3）5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為xA. 80答案 CB. 80C. 40D. 402解析 展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1 = G(x?)5 ( x3) = Cx1 5 (

14、 2).由10 5r =0,得r = 2,所以常數(shù)項(xiàng)為T2+1 = C5( 2) = 40.3. (x 2y)10的展開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是()A. 840B. 840C. 210D. 210答案 A解析 在通項(xiàng)公式Tr+1 = C( ,2y)rx10中，令r = 4,即得(x 2y)10的展 開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C1q ( 2)4= 840.4.（2013遼寧理）使得（3x+n（n N）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的A. 4B. 5C. 6D. 7答案5rn 2 =15r解析展開式的通項(xiàng)公式為Tr + 1= Cn(3x) n r ()r = Cn3n.由xyjx25，所以當(dāng)r = 2時(shí)，

15、n有最小值5.5. 求（3b + 2a）6的展開式中的第3項(xiàng)的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為.答案 4 860156. （2013四川理）二項(xiàng)式（x + y）5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.答案 10解析 設(shè)二項(xiàng)式（X+ y）5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1,則Tr +戶C5x5 ryr, 令r = 3,則含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是C5= 10.27已知在（x + X2）n的展開式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比為56 : 3, 求展開式中的常數(shù)項(xiàng).解 T5 = 1（ x）n_424x_8= 16Cnxn 220,T3= Cn( x)n _222x_ 44C；xn 102由題意知,16U

16、_564Cn 二 3解得n= 10.Tr + 1= C1q(:x)10-r2rx2r 2rC0X102 5r,令一2 = 0,解得 r = 2,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 *。22= 180.二、能力提升8. 設(shè) S= (x 1)3+ 3(x 1)2+ 3(x 1) + 1,則 S等于( )3333A. (x 1)B. (x 2)C. xD. (x + 1)答案 C解析S= C(x 1)3+ d(x 1)2x 1 + C3(x 1) x 12 + dx 13= ( x 1) + 13=x3，故選C.9. (2013新課標(biāo)U )已知(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,貝U a等于(

17、 )A. 4B. 3C. 2 D. 1答案 D解析(1 + ax)(1 + x)5的展開式中x2的系數(shù)為C2+ a 0= 5,解得a= 1.110. 對(duì)于二項(xiàng)式(-+ x3) n( n N*)，有以下四種判斷：存在n N，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；對(duì)任意n N，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；對(duì)任意n N，展開式中沒有x的一次項(xiàng)；存在n N，展開式中有x的 一次項(xiàng).其中正確的是.答案與1解析 二項(xiàng)式(x + x3)n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr +戶cnx4，由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)n= 4r(r N)和n = 4r - 1(r N)時(shí)，展開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng).11. ( x+-105所以x5的系數(shù)為(1)6()4

18、說=Q . 8)n展開式第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求x的一次項(xiàng)系數(shù).眾17一 rr解 Cn = Cn，. n= 17， Tr +1= C17x 2 2 x _，2317 r r/. _ = 1 /. r = 923，9，T10= C x4 29 - x3 = C/7 29 x，其一次項(xiàng)系數(shù)為臨29.1 112. 已知在(蘆2衣)的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求：(1) n的值；(2) 展開式中x5的系數(shù)；(3) 含x的整數(shù)次幕的項(xiàng)的個(gè)數(shù).1115解 已知二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) Tr+1 = Cn( x2)n (寸 = ( 1)(2)n Cx2 n2r.5(1)因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即當(dāng)r = 8時(shí)，2n ?r = 0，解得n= 10.52令 2n 2r = 5,得 r = 5(2n 5) = 6，540 5r(3)要使2n 2r，即廠為整數(shù)，只需r為偶數(shù)，由于r二0, 1, 2, 3,9, 10,故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開式的第1, 3, 5, 7, 9, 11項(xiàng).三、探究與創(chuàng)新13已知f(x) = (1 + 2x)m+ (1 + 4x) n( m n N n = 5時(shí)，t即x2項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272.)的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36, 求展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)最小值.解(1