數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分-專題十一探索性問題的解法PPT優(yōu)秀課件

1、1 專題十一專題十一 探索性問題的解法探索性問題的解法 數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 2 應(yīng)試策略應(yīng)試策略 考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 03 05 07 探索性問題的解法探索性問題的解法 3 探索性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論， 或由問題的題干去追溯相應(yīng)的條件，要求在解題之前必須透過 問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西.問題增加了許多可變 的因素，思維指向不明顯，解題時往往難于下手. 近年來，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下 幾類： (1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成 立的充分條件； 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 探索性問題的

2、解法探索性問題的解法 4 (2)探索結(jié)論型問題：從給定的題設(shè)條件出發(fā)，探求相關(guān)的 結(jié)論； (3)探索存在型問題：從假設(shè)相關(guān)結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定 或否定這種結(jié)論是否存在； (4)探索綜合型問題：從變更題設(shè)條件或問題的結(jié)論的某個 部分出發(fā)，探究問題的相應(yīng)變化. 2007年數(shù)學(xué)試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等 題型，形式上也有突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中 出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設(shè)計(jì)，題型的創(chuàng)新，帶來了新的 理念，也必將促進(jìn)教學(xué)的創(chuàng)新. 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 探索性問題的解法探索性問題的解法 5 應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 6 問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征， 從探

3、索性問題的解題過程來看，沒有確定的模式，可變性多，對 觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括，特別是對發(fā)現(xiàn)問 題、分析問題的能力要求較高.探索性問題的常見解法有： (1)從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，有時也可借助直覺觀察或 判斷，推測出命題的結(jié)論，必要時給出嚴(yán)格證明； (2)假設(shè)結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在，若推出 矛盾，則結(jié)論不存在； (3)使用等價轉(zhuǎn)化思想，找出命題成立的充要條件. 應(yīng)試策略應(yīng)試策略 探索性問題的解法探索性問題的解法 7 考考 題題 剖剖 析析 8 . .（2007上海市新中第一考試） （1）證明：當(dāng)a1時，不等式a3+ a2+ 成立; （2）要使上述不等式a3+

4、 a2+ 成立，能否將條件“a1” 適當(dāng)放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理 由; （3）請你根據(jù)（1）、（2）的證明，試寫出一個類似的更為 一般的結(jié)論，且給予證明. 考題剖析考題剖析 探索性問題的解法探索性問題的解法 解 析（1）證明：a3+ a2 = (a1)(a51), a1， (a1)(a51)0，原不等式成立 （2）a1與a51同號對任何a0且a1恒成立， 上述不等式的條件可放寬為a0且a1 3 1 a 2 1 a 3 1 a 3 1 a 3 1 a 2 1 a 3 1 a 2 1 a 9 考題剖析考題剖析 （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知： 若a0且a1，mn0

5、，則有am+ an+ 證：左式右式=aman+ =an(amn1) (amn1) = (amn1)(am+n1) 若a1，則由mn0 amn1, am+n1 不等式成立； 若0a1，則由mn0 0amn1, 0am+n1 不等式成立 探索性問題的解法探索性問題的解法 m a 1 n a 1 m a 1 n a 1 m a 1 m a 1 10 考題剖析考題剖析 點(diǎn)評這是一道類比研究探索結(jié)論的問題. 閱讀理 解原有結(jié)論、觀察規(guī)律，然后將命題增加元素、增添次 數(shù)等方式進(jìn)行拓展，這是從特殊到一般的研究問題的方 式，也是探索型學(xué)習(xí)的一種常見方式. 探索性問題的解法探索性問題的解法 11 考題剖析考題剖

6、析 2.2.（2007上海市十一所實(shí)驗(yàn)示范校聯(lián)考）我們把數(shù)列 akn叫做數(shù)列an的k方數(shù)列（其中an0，k，n是正整數(shù)）， S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)的和. （1）比較S（1，2）S（3，2）與S（2，2）2的大??； （2）若an的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a1=a， 求an的k方數(shù)列通項(xiàng)公式； （3）對于常數(shù)數(shù)列an=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如： S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請你對數(shù) 列an的k方數(shù)列進(jìn)行研究，寫出一個不是常數(shù)數(shù)列an的k方 數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過程. 探索性問題的解法探索性問題的解法 12 考題剖析考題

7、剖析 解析（1）S（1，2）=a1+a2, S (3 ，2) = , S (2 ，2) = S（1，2）S（3，2）S（2，2）2 = (a1+a2)( )( )2 = = a1a2(a1a2)2 an0,S(1,2)S(3,2)S(2,2)2 探索性問題的解法探索性問題的解法 3 2 3 1 aa 2 2 2 1 aa 3 2 3 1 aa 2 2 2 1 aa 2 2 2 1 3 12 3 21 2aaaaaa 13 考題剖析考題剖析 （2）設(shè)anan1=d, 則： d(an+an1)=p d(an+1+an)=p 得 2d2=0，d=p=0 an=an1 =0 探索性問題的解法探索性問題

8、的解法 paa nn 2 1 2 k n k n aa 1 kk n aa 14 考題剖析考題剖析 （3）當(dāng)an=n時，恒等式為S（1，n）2=S（3，n） 證明：S(1, n)2=S(3, n) S(1, n1)2=S(3, n1)(n2, nN*) 相減得：anS(1, n)+S(1, n1)= S(1, n) +S(1, n1)= ，S(1, n1) +S(1, n2)= 相減得：an +an1 = , an0， anan1=1, a1=1 an=n 探索性問題的解法探索性問題的解法 3 n a 2 n a 2 1n a 2 1 2 nn aa 點(diǎn)評本題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和等數(shù)列基

9、本 知識，是一道結(jié)論型的探索問題. 15 考題剖析考題剖析 3.3.（2007湖南省師大附中三月模擬）已知數(shù)列an 為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn. （）若a4+a5=0, 試驗(yàn)證:S7=S1, S6=S2, S5=S3成立， 并將其整合為一個等式； （）一般地，若存在正整數(shù)k，使ak+ak+1=0，我們可 將（）中的結(jié)論作相應(yīng)推廣，試寫出推廣后的結(jié)論，并 推斷它是否正確. 探索性問題的解法探索性問題的解法 16 考題剖析考題剖析 解析（）an為等差數(shù)列, 且a4+a5=0. S7=S1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1 S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+

10、2(a4+a5)=S2 S5=S3+a4+a5=S3; 又S4=S4. 對任意nN*, n8, 等式S8n=Sn恒成立. 探索性問題的解法探索性問題的解法 17 考題剖析考題剖析 （）推廣：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若存在正整 數(shù)k，使ak+ak+1=0,則對任意nN*, 且n2k, 等式S2kn=Sn恒成立. 設(shè)an的公差為d, ak+ak+1=0, 2a1+(2k1)d=0. S2kn=a1+ (2kn) =( d+ )(2kn) = (2kn)= (2kdnd) = (d2a1nd) =na1+ d=Sn. 故推廣后的結(jié)論正確. 探索性問題的解法探索性問題的解法 2 )12(dnk

11、 2 12 k d nk 2 12 d n 22 n 2 n 2 ) 1( nn 點(diǎn)評這是一個規(guī)律探索性問題.前面相當(dāng)是一個特例，然后 猜想、證明一般結(jié)論. 18 考題剖析考題剖析 4.（2007廣東江門一中）函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+2(xR) （）若f(x)在x(，+)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范 圍. （）a=0時，曲線f(x)=x3+x+2的切線斜率的取值范圍記為 集合A，曲線f(x)=x3+x+2上不同兩點(diǎn)P(x1, y1)，Q(x2, y2)連線斜率 取值范圍記為集合B，你認(rèn)為集合A、B之間有怎樣的關(guān)系（真 子集、相等），并證明你的結(jié)論. （）a=3時，f(x)=x3+3x2

12、+x+2的導(dǎo)函數(shù)f(x)是二次函數(shù)， f(x)的圖象關(guān)于軸對稱. 你認(rèn)為三次函數(shù)f(x)=x3+3x2+x+2的圖象 是否具有某種對稱性，并證明你的結(jié)論. 探索性問題的解法探索性問題的解法 19 考題剖析考題剖析 解析（）f(x)=x3+ax2+x+2得 f(x)=3x2+2ax+1 若=4a2120 ,即 a 時,對于xR, 有f(x)0, f(x)在R上單調(diào)遞增 若=4a212=0, 即a= 時, 對于xR, 有f(x)0, 當(dāng)且僅當(dāng)f( )=0 故f(x)在R上單調(diào)遞增 若0，顯然不合 綜合所述，f(x)在R上是增函數(shù), a取值范圍為a , 探索性問題的解法探索性問題的解法 33 3 3

13、 a 33 20 考題剖析考題剖析 （）B A 證明：f(x)=x3+x+2有f(x)=3x2+11 故A=1,+). 設(shè)PQ斜率k， 則 k = = = = x1x2故若x2=0有x1+ =x10 若x1+ =0有x1= 0得x20 (x1+ )2+ 0 , 得k1, B=(1,+) 故B A 探索性問題的解法探索性問題的解法 21 21 )()( xx xfxf 21 21 3 2 3 1 )()( xx xxxx 21 2 221 2 121 ) 1)( xx xxxxxx 1 4 3 ) 2 (1 2 2 2 2 1 2 221 2 1 xx xxxxx 2 2 x 2 2 x 2 2

14、 x 4 3 2 2 x 2 2 x 21 考題剖析考題剖析 （）f(x)=x3+3x2+x+2的圖象具備中心對稱 證法1：由f(x)=3x2+6x+1對稱軸x=1 現(xiàn)證f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)中心對稱 設(shè)M(x, y)是y=f(x)圖象上任意一點(diǎn), 且M(x, y)關(guān)于C(1, 3)對稱 的點(diǎn)為N(x0, y0) , 則 得 f(x0)= =(2x)3+3(2x)2+(2x)+2 =(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x =(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0 , 即y0=f(x0) 故M關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)對稱的點(diǎn)N(x0, y0)也在函數(shù)y=f(x)圖象 函數(shù)

15、y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)C(1, 3)對稱 探索性問題的解法探索性問題的解法 3 2 1 2 0 0 yy xx yy xx 6 2 0 0 23 0 2 0 3 0 xxx 22 考題剖析考題剖析 證法2：設(shè)y=f(x)圖象的對稱中心(m, n) 則把y=f(x)圖象按向量b=(m,n)平移,得到 y=g(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱, 即y=g(x)是奇函數(shù) g(x)=f(x+m)n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n =(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n =x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2n g(x)是奇函數(shù)的

16、充要條件是 得 y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 3)中心對稱 探索性問題的解法探索性問題的解法 023 033 23 nmmm m 3 1 n m 23 考題剖析考題剖析 點(diǎn)評本題主要是考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、集合的 關(guān)系、函數(shù)的對稱性等問題，第一問實(shí)則是探索問 題成立的充分條件，第二問是結(jié)論探索、第三問是 是否存在性問題. 探索性問題的解法探索性問題的解法 24 考題剖析考題剖析 5.5.（2007山東省泰安市第一次考試）如圖， 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形， PA平面ABCD，PA=AD，AB= AD， E是線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)， 且 （）判斷EF與平面PBC的關(guān)系，并證

17、明； （）當(dāng)=1時，證明DF平面PAC； （）是否存在實(shí)數(shù)，使異面直線EF與CD所成角為60？ 若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由. 探索性問題的解法探索性問題的解法 2 ).0( FA BF ED PE 25 考題剖析考題剖析 解析（）EF平面PBC. 證明如下： 作FGBC交CD于G，連結(jié)EG，則 PCEG 又FGBC，BCPC=C，F(xiàn)GGE=G. 平面PBC平面EFG. 又EF 平面EFG EF平面PBC 探索性問題的解法探索性問題的解法 GD CG FA BF FA BF ED PE GD CG ED PE 26 （）=1，則F為AB的中點(diǎn). 又AB= AD, AF= AB 在R

18、tFAD與RtACD中 tanAFD= = = tanCAD= = AFD=CAD ACDF 又PA平面ABCD，DF 平面ABCD PADF. DF平面PAC 考題剖析考題剖析 探索性問題的解法探索性問題的解法 2 2 1 AF AD AD AD 2 22 AD AD AD CD2 2 27 考題剖析考題剖析 （）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AD=1， 則A（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，1，0）， C（ ，1，0），P（0，0，1）. 又 (0) F( ) 設(shè)E(0, y0, z0) 則 =(0, y0, z01), =(0, 1y0, z0) 又 (0)即 = (0,

19、y0, z01)=(0, 1y0, z0) 即E(0, , ) =( ), =( , 0, 0) 探索性問題的解法探索性問題的解法 FA BF ED PE 2 2 0 , 0 , 1 2 PE ED ED PE PEED 1 1 1 0 0 z y 11 1 1 1 , 1 , 1 2 EFCD2 28 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使異面直線EF與CD所成的角為60，則 cos60= 2=5 = 存在實(shí)數(shù)= 使異面直線EF與CD所成的角為60. 2 1 3 2 2 1 3 | 1 2 | | | 22 CDEF CDEF 5 點(diǎn)評本題主要考查立體幾何的空間想象能力、推理論證能力和 探索問題解決問題的能力.第

20、一問即改變常見提前方式即只要證明結(jié)論 成立，而改為一種探索結(jié)論的提問方式要求先判斷再證明，增大了難度. 第三問是是否存在型探索問題，一般是假設(shè)存在當(dāng)成條件進(jìn)行論證，存 在要求說明理由，不存在或者推出矛盾或者只要能舉出個反例即可. 考題剖析考題剖析 探索性問題的解法探索性問題的解法 5 29 6.6.（2007湖北地區(qū)適應(yīng)考試2）三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對 邊的長分別為a、b、c，有下列兩個條件：（1）a、b、c成等差數(shù)列； （2）a、b、c成等比數(shù)列.現(xiàn)給出三個結(jié)論： （1）0B ; （2）acos2 +ccos2 = ; （3）1 . 請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié) 論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認(rèn)為正確的命題，并證明之. 探索性問題的解法探索性問題的解法 考題剖析考題剖析 3 2 C 2 A 2 3b 2 sincos 2sin1 BB B 30 解析可以組建命題一：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列， 求證：（1）0B （2）acos2 +ccos2 = ； 命題二：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證： （1）0B （2）1 命題三：ABC中，若a、b、c成等差數(shù)列，求證： （1）acos2 +ccos2 = （2）1 命題四：ABC中，若a、b、c成等比數(shù)列，求證： （1