《理論力學(xué)》第五章 摩擦

1、第5章 摩 擦 摩擦 滑動摩擦 滾動摩擦 靜滑動摩擦 動滑動摩擦 靜滾動摩擦 動滾動摩擦 摩擦 干摩擦 濕摩擦 摩擦學(xué) 5-15-1滑動摩擦滑動摩擦 0 x F0 TS FF ST FF 靜滑動摩擦力的特點(diǎn) 方向：沿接觸處的公切線， 與相對滑動趨勢反向； 大?。?max 0FFs N FfF s max （靜滑動摩擦/庫侖摩擦定律） 靜滑動摩擦力的大小必須由平衡方程確定。靜滑動摩擦力的大小必須由平衡方程確定。 物體平衡范圍物體平衡范圍 大小： N FfF dd sd ff（對多數(shù)材料，通常情況下） 動滑動摩擦的特點(diǎn) 方向：沿接觸處的公切線，與相對滑動趨勢反向； 1 摩擦角 RA F -全約束力

2、 物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束 力和法線間的夾角-摩擦角 摩擦角和自鎖的概念摩擦角和自鎖的概念5-25-2 f tan s f N F Fmax N Ns F Ff 全約束力和法線間的夾角的正切等 于靜滑動摩擦因數(shù) 摩擦錐 f 0 f A FRA FR 2 自鎖現(xiàn)象 物塊平衡時(shí)，物塊平衡時(shí)， ，因此，因此 max 0FF 0 f 如果作用于物塊的全部主動力的合力如果作用于物塊的全部主動力的合力 的作用線在摩擦角之內(nèi)，則無論這個(gè)力的作用線在摩擦角之內(nèi)，則無論這個(gè)力 怎樣大，物塊必保持平衡。怎樣大，物塊必保持平衡。 f A FR FRA （2 2）非自鎖現(xiàn)象）非自鎖現(xiàn)象 如果作用于物塊的全部主動

3、力的合如果作用于物塊的全部主動力的合 力的作用線在摩擦角之外，則無論這個(gè)力的作用線在摩擦角之外，則無論這個(gè) 力怎樣小，物塊一定會滑動。力怎樣小，物塊一定會滑動。 P F 30 FNA FNB FSB FSA FRA FRB 問題問題1 已知摩擦角已知摩擦角 f = 20，F(xiàn)=P，問問 物塊動不動？為什么？物塊動不動？為什么？ 問題問題2 已知摩擦角均為已知摩擦角均為 f ，問欲使楔子打問欲使楔子打 入后不致滑出，在兩種情況下的入后不致滑出，在兩種情況下的 ，物角物角 應(yīng)為若干？應(yīng)為若干？ 3 測定摩擦系數(shù)的一種簡易方法，斜面與螺紋自鎖條件 sf ftantan 斜面自鎖條件 f 螺紋自鎖條件

4、f 仍為平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前仍為平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前 面基本相同面基本相同 幾個(gè)新特點(diǎn)幾個(gè)新特點(diǎn) 2 2 嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界狀態(tài)嚴(yán)格區(qū)分物體處于臨界、非臨界狀態(tài)； 3 3 因因 ，問題的解有時(shí)在一個(gè)范圍內(nèi)，問題的解有時(shí)在一個(gè)范圍內(nèi) max FFs0 1 1 畫受力圖時(shí)，必須考慮摩擦力；畫受力圖時(shí)，必須考慮摩擦力； 考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題5-35-3 考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮滑動摩擦?xí)r物體的平衡問題5-35-3 1.1.平衡方程式中除主動、約束力外還出現(xiàn)了摩擦力，平衡方程式中除主動、約束力外還出現(xiàn)了摩擦力， 因而

5、未知數(shù)增多。因而未知數(shù)增多。 2. 除平衡方程外還可補(bǔ)充關(guān)于摩擦力的物理方程除平衡方程外還可補(bǔ)充關(guān)于摩擦力的物理方程 ssN Ff F maxsN Ff F 3.3.除為避免解不等式，可以解臨界情況，即補(bǔ)充方程除為避免解不等式，可以解臨界情況，即補(bǔ)充方程 檢驗(yàn)物體是否平衡；檢驗(yàn)物體是否平衡； 臨界平衡問題；臨界平衡問題； 求平衡范圍問題。求平衡范圍問題。 P Q Fs FN 物塊不可能靜止，而是向下滑動。物塊不可能靜止，而是向下滑動。 此時(shí)的摩擦力應(yīng)為動滑動摩擦力，方向沿斜面向上，大小為此時(shí)的摩擦力應(yīng)為動滑動摩擦力，方向沿斜面向上，大小為 已知：已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2

6、，f = 0.18。 問：問：物塊是否靜止，并求此時(shí)摩擦力的大小物塊是否靜止，并求此時(shí)摩擦力的大小 和方向。和方向。 解：解：取物塊為研究對象，并假定其平衡。取物塊為研究對象，并假定其平衡。 0,cos30sin300 0,cos30sin300 xs yN FQPF FFPQ 解得解得403.6N,1499N sN FF 269.8 dN FfFN PPPP FF 1 243Fs Fs P F 1 Fs F12 FN1 P 2 FN1 F12 FN2 F23 已知：已知： P=10N， fs1 =0.1， fs2 = 0.25。 問：問：要提起這四本書需加的最小壓力。要提起這四本書需加的最小

7、壓力。 解：解：（1 1）取整體為研究對象取整體為研究對象 0,240 ys FFP 20 s FN 2, 80N ss FFfF （2 2）取書）取書1 1為研究對象為研究對象 12 12 0,0 10N ys FFPF F 121, 100N s FFfF min 100NF （3 3）取書）取書2 2為研究對象為研究對象 1223 23 0,0 0N y FFFP F P Q Fmax FN P Q Fmax FN 已知：已知：P，fs 求：求：平衡時(shí)水平力平衡時(shí)水平力 Q Q 的大小。的大小。 解：解：取物塊為研究對象，先求其最大值。取物塊為研究對象，先求其最大值。 maxmax ma

8、x max 0,cossin0 0,cossin0 x yN sN FQPF FFPQ Ff F 解得：解得： max sincos cossin s s f QP f （2 2）求其最小值。）求其最小值。 minmax min max 0,cossin0 0,cossin0 x yN sN FQPF FFPQ Ff F 解得：解得： min sincos cossin s s f QP f P Qmax FR f P Qmin FR f FR P Qmax f+ P Qmin FR f - 用幾何法求解用幾何法求解 M e a A B d b A B O FNA FA D FNB FB F

9、已知：已知：fs，b 。 求：求：a為多大，推桿才不致被卡。為多大，推桿才不致被卡。 解：解：取推桿為研究對象取推桿為研究對象 0,0 0,0 ( )0,0 22 xNANB yAB DNBBA FFF FFFF dd MFFaF bFF 考慮平衡的臨界情況，可得補(bǔ)充方程考慮平衡的臨界情況，可得補(bǔ)充方程 AsNA BsNB Ff F Ff F 極限 a C F A B O b a d f f 用幾何法求解用幾何法求解 ()tan()tan 22 ff dd aab 極限極限 解解: : 由圖示幾何關(guān)系得由圖示幾何關(guān)系得 A BC Q 5cm 10cm 30 B FBC Q FBA FBA FN

10、 Fmax A O P 已知：已知： P=1000N， fs =0.52 求：求：不致破壞系統(tǒng)平衡時(shí)的不致破壞系統(tǒng)平衡時(shí)的Qmax 解解: (1) 取銷釘取銷釘B為研究對象為研究對象 0,sin300 yBA FFQ FBA=2Q (2) 取物塊取物塊A為研究對象為研究對象 處于滑動的臨界平衡狀態(tài)時(shí)處于滑動的臨界平衡狀態(tài)時(shí) max max 0,cos300 0,sin300 xBA yNBA sN FFF FFPF Ff F FBA FN Fmax A O P 處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時(shí)處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時(shí) ( )0 2.5sin302.5cos30 50 O BABA MF PFF 如圖（

11、如圖（a），有），有 2n 塊相同的均質(zhì)磚塊相同的均質(zhì)磚 塊在作用于物塊塊在作用于物塊H上的水平力上的水平力F 的的 作用下保持平衡。作用下保持平衡。 已知：已知：d=5cm, h=20cm, fs =0.5， 水平接觸面均光滑。水平接觸面均光滑。 求：當(dāng)求：當(dāng)F=2nP 時(shí)，能保持平衡時(shí)，能保持平衡n的最大值。的最大值。 解解: 取右半部分的取右半部分的 n 塊磚為為研究對塊磚為為研究對 象，臨界平衡時(shí)，受力如圖（象，臨界平衡時(shí)，受力如圖（b）。）。 0,0 2 yss sNss FFnPFnP FFff nPnP 臨界平衡時(shí)有 0, 2 N nd MnPFh A C B FB P F o

12、A C B FB D FAx FAy FNC FC o D F P FD FND FC FNC 已知：已知： P=100N，F(xiàn)B=50N ，fc =0.4， =60，AC = CB = l /2， r。 求：求：(1) 若若fD =0.3， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin (2) 若若fD =0.15， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin 解解: (1) 取取AB桿為研究對象桿為研究對象 ( )0,0 2 ANCB l MFFF l 設(shè)設(shè) C 處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有： maxCCCNC FFf F 解得：解得：FNC=100N， FC=40N (2) 取輪為研究

13、對象取輪為研究對象 ()0,0 0,sin60cos600 0cos60sin600 OCD xNCCD yNCCND MF rF r FFFFF FFFPF F A C B FB FAx FAy FNC FC o D F P FD FND FC FNC 設(shè)設(shè) C 處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有：處達(dá)到臨界狀態(tài)，則有： maxCCCNC FFf F 解得：解得：FNC=100N， FC=40N (2) 取輪為研究對象取輪為研究對象 ()0,0 0,sin60cos600 0cos60sin600 OCD xNCCD yNCCND MF rF r FFFFF FFFPF F 解得：解得：FD=40N ，F(xiàn)

14、 = 26.6N，F(xiàn)ND=184.6N max 0.3 184.655.39N DDND Ff F 由于由于 FDFDmax，D處無滑動，上述假定正確處無滑動，上述假定正確 o D F P FD FND FC FNC ? 如何求得系統(tǒng)平衡時(shí)如何求得系統(tǒng)平衡時(shí)Fmax A C B FB FAx FAy FNC FC (3) 當(dāng)當(dāng) fD =0.15 時(shí)時(shí) max 0.15 184.627.7N DDND Ff F 因因 FDFdmax 故應(yīng)設(shè)故應(yīng)設(shè) D 處達(dá)到臨界狀態(tài)處達(dá)到臨界狀態(tài) ()0,0 0,sin60cos600 0,cos60sin600 OCD xNCCD yNCCND MF rF r

15、 FFFFF FFFPF F 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程： maxDDDND FFf F 解得：解得：FD= FC =25.86N ，F(xiàn) = 47.81N max 25.86N40N CCCNC FFf F 而此時(shí) 靜滾動摩阻（擦） 滾動摩阻（擦）的概念滾動摩阻（擦）的概念5-45-4 0 x F0 s FF 0 A M 0FRM max 0FFs max 0MM N FfF s max N FM max 最大滾動摩阻（擦）力偶 滾動摩阻（擦）系數(shù)，長度量綱 的物理意義 使圓輪滾動比滑動省力的原因 處于臨界滾動狀態(tài) 100 15. 3 3507 . 0 1 2 Rf F F s 處于臨界滑動狀態(tài) N

16、F R F 1 RFFM 1max N 2max FFfF s NN FfF s 2 一般情況下，s f R 或 s f R 混凝土路面 mm15.3 7.0 s f 例：某型號車輪半徑，mm450R 21 FF 或 21 FF 求： 物塊是否靜止，摩擦力的大小和方向 已知：,N1500P,2 . 0 s f,18. 0 d f400F N 例5-1 物塊處于非靜止?fàn)顟B(tài) ,N8 .269 Ndd FfF向上 Ns FfF max N8 .299而 N1499 N F N6 .403 s F(向上) 0sin30cos300 yN FFPF oo 0cos30sin300 xs FFPF oo

17、解： 取物塊，畫受力圖，設(shè)物塊平衡 已知：., s fP 水平推力 的大小求： 使物塊靜止，F(xiàn) 例5-2 ,0 y F0cossin 11 N FPF ,0 x F0sincos 11 s FPF 畫物塊受力圖 推力為 使物塊有上滑趨勢時(shí)， 1 F 解： 11NsS FfF P f f F s s sincos cossin 1 設(shè)物塊有下滑趨勢時(shí)，推力為 2 F 畫物塊受力圖 , 0 x F 0sincos 22 s FPF , 0 y F0cossin 22 N FPF 22Nss FfF P f f F s s sincos cossin 2 12 sincos cossin sinco

18、s cossin FP f f FP f f F s s s s 解:物塊有向上滑動趨勢時(shí) 用幾何法求解 1max tan()FP tan()tan()PFP 利用三角公式與 ,tan s f sincos cossin sincos cossin s s s s f f PF f f P 1min tan()FP 物塊有向下滑動趨勢時(shí) 求： 挺桿不被卡住之 值.a , s fdb已知：不計(jì)凸輪與挺桿處摩擦，不計(jì)挺桿質(zhì)量； 例5-3 0 A M ()0 2 NBBN d FaF dF b BNsBANsA FfFFfF 解： 取挺桿，設(shè)挺桿處于剛好卡住位置. 0 x F0 BNAN FF 0

19、y F 0FFF BA s f b a 2 挺桿不被卡住時(shí) s f b a 2 解：tan) 2 (tan) 2 ( d a d ab 極限極限 tan2 極限 a s fa極限2 s f b a 2 極限 s f b a 2 用幾何法求解 求：制動鼓輪所需鉛直力F. 已知：物塊重 P,鼓輪重心位于 處，閘桿重量不 計(jì)， ，各尺寸如圖所示. 1 O s f 例5-4 解： 分別取閘桿與鼓輪 設(shè)鼓輪被制動處于平衡狀態(tài) 對鼓輪，0 1 O M0 sT RFrF 對閘桿， 0 O M0cFbFFa sN 且 Nss FfF 而 ssT FFPF, 解得 () s s rP bf c F f Ra （

20、2）能保持木箱平衡的最大拉力. （1）當(dāng)D處拉力 時(shí)，木箱是否平衡?求：Nk1F 已知： 均質(zhì)木箱重,kN5P,4 . 0 s f,m22 ah； o 30 例5-5 解：（1）取木箱，設(shè)其處于平衡狀態(tài). 0 x F0cosFFs 0 y F0sinFPFN 0 A M0 2 cosdF a PhF N N866 s F N4500 N F m171. 0d 而N1800 max NsF fF 因, max FFs木箱不會滑動； 又,0d木箱無翻倒趨勢. 木箱平衡 （2）設(shè)木箱將要滑動時(shí)拉力為 1 F 0 x F0cos 1 FFs 0 y F0sin 1 FPFN 又 Nss FfFF ma

21、x 1 1876 cossin s s f P F f N 設(shè)木箱有翻動趨勢時(shí)拉力為 2 F 0 A M0 2 cos 2 a PhF N1443 cos2 2 h Pa F 最大拉力為N1443 求：作用于鼓輪上的制動力矩. 例5-6 已知：,N200F ,5 . 0 s f 2 20.5m ,KLO LR ,m75. 0 1 BO ,m1 1 DOAC,m25. 0ED各構(gòu)件自重不計(jì)； 121 OOKDDCO A 1 0 O M 0 11 BOFAOFAC N300 AC F 0 D M 0cosCDFDEF CAEK N600cos EK F 0 x Fcos0 DxEK FF 600N

22、 Dx F （a） (b) 解： 分析O1AB,畫受力圖 分析DCE,畫受力圖 1 0 O M 111 1 0 2 DxN FO DFO D 1 1200N N F 2 0 O M 222 1 cos0 2 KEN FKOFKO 2 1200N N F (c) (d) 分析O2K，畫受力圖 分析O1D,畫受力圖 mN300M 22Nss FfF 11Nss FfF RFRFM ssO12 分析鼓輪，畫受力圖 已知：抽屜尺寸a，b，fs （抽屜與兩壁間），不 計(jì)抽屜底部摩擦； 例5-7 求：抽拉抽屜不被卡住之e值。 解： 取抽屜，畫受力圖，設(shè)抽屜剛好被卡住 0 x F0 NCNA FF 0 y

23、F0FFF sCsA 0 A M 0) 2 (e b FaFbF NCsC NAssA FfF NCssC FfF s f a e 2 抽屜不被卡住， . s f a e 2 求：保持系統(tǒng)平衡的力偶矩 . . C M 已知：,mN40 A M,3 . 0 s f各構(gòu)件自重不計(jì)， 尺寸如圖； 例5-8 (a) (b) 設(shè) 時(shí)，系統(tǒng)即將逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動 1CC MM解： 畫兩桿受力圖. 0 A M 0 1 AN MABF 0 C M 060cos60sin o 1 o 11 lFlFM sNC 又 1111NsNsss FfFfFF 設(shè) 時(shí)，系統(tǒng)有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動趨勢 2CC MM 畫兩桿受力圖. 0

24、 2 AN MABF 0 A M 1 70.39N m C M 又 2222NsNsss FfFfFF mN61.49 2 C M 系統(tǒng)平衡時(shí) mN39.70mN61.49 C M 0 C M060cos60sin o 2 o 22 lFlFM sNC (d) 求： 使系統(tǒng)保持平衡的力 的值.F 已知：力 ，角 ，不計(jì)自重的 塊間的 其它接觸處光滑； P BA , 靜摩擦系數(shù)為 s f 例5-9 解：取整體分析，畫受力圖 0 y F0PFNA PFNA 楔塊 向右運(yùn)動A 設(shè)力 小于 時(shí)， 1 F F 1 tan() tan() NA FF P 取楔塊 分析 ，畫受力圖A 解：取整體分析，畫受力

25、圖 0 y F0PFNA PFNA 楔塊 向右運(yùn)動A 設(shè)力 小于 時(shí)， 1 F F 1 tan() tan() NA FF P 取楔塊 分析 ，畫受力圖A )tan()tan( 2 PFF NA )tan()tan(PFP 取楔塊取楔塊 分析，畫受力分析，畫受力圖圖A 設(shè)力設(shè)力F大于大于F2時(shí)，楔塊時(shí)，楔塊A向左運(yùn)動向左運(yùn)動 求：若要維持系統(tǒng)平衡 輪心 處水平推力 min F （1） (輪，地面間），O3 . 0 D f ,N50 B F4 . 0 C f（桿，輪間） 已知：均質(zhì)輪重,N100P ,lr o 60時(shí)， ; 2 l CBAC 例5-10 （2） （輪，地面間），輪心 處水平推力

26、.15. 0 D f min FO 桿無重 解：小于某值，輪將向右滾動.F DC ,兩處有一處摩擦力達(dá)最大值，系統(tǒng)即將運(yùn)動. 先設(shè) 處摩擦力達(dá)最大值，取桿與輪.(1)C 0 A M0 2 lF l F BNC N100 NC F max 40N CCCNC FFf F 0 x F min sin60cos600 NCCD FFFF oo 0 O M0 rFrF DC 0 y F060sin60cos oo CNCND FFPF N40 CD FF min 26.6FN N6 .184 ND F max max 0.355.39 0.1527.59 sDsND sDsND fFf F fFf F

27、 N N 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， max 0.340N, sDD fFF當(dāng)時(shí)， D 處無滑動 N6 .26 min F max 0.1540N , sDD fFF當(dāng)時(shí)， D 處有滑動 處摩擦力達(dá)最大值，取桿與輪.(2)D 0 A M0 2 lF l F BNC N100 NC F不變 NCCCC FfFF max 但 對輪0 O M0 rFrF DC 0 x Fmin sin 60cos 600 NCCD FFFF oo 0 y Fcos60sin600 NDNCC FPFF oo NDDD FfF 當(dāng) 時(shí)，15. 0 D f解得 N4 .172 ND F N86.25 NDDCD FfFF .N81

28、.47 min F處無滑動 C 求：（1）使系統(tǒng)平衡時(shí)，力偶矩 ； B M （2）圓柱 勻速純滾動時(shí)，靜滑動摩擦系數(shù)的 最小值. O 已知：；,RP 例5-11 0 A M 0sin max1min MRFRP T 0 y F 0cos 1 PFN 又 1max1N FM 聯(lián)立解得)cos(sin min R PF T 0 A M 0sin max2max MRFRP T 0 y F 0cos 2 PFN 又 2max2N FM 解： （1）設(shè)圓柱 有向下滾動趨勢，取圓柱 OO 設(shè)圓柱 有向上滾動趨勢，取圓柱 OO (b) 系統(tǒng)平衡時(shí)( sincos )( sincos ) B P RMP R

29、 （2）設(shè)圓柱 有向下滾動趨勢.圖bO 0 O M 1max 0 s FRM 0 y F 0cos 1 PFN 又 1max1N FM 解得cos s FP R 聯(lián)立解得)cos(sin max R PF T 同理，圓柱 有向上滾動趨勢時(shí)，圖cO R fs 只滾不滑時(shí)，cos 1 PfFfF sNss 則 應(yīng)有 得 R fs 圓柱勻速純滾時(shí)， . R fs (b) 拉動拖車最小牽引力 （ 平行于斜坡）.F F 求： 已知：其他尺寸如圖；拖車總重 P,車輪半徑 ，,R 例5-12 解： 取整體 0 x F0sin PFFF BsAs （1） 0 y F 0cos PFF BNAN （2） 0 B M ()cossin0 ANAB FabFhPbPHMM （3） ANA