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1、1.2.3 空間幾何體的直觀圖整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 “空間幾何體的直觀圖”只介紹了最常用的、直觀性好的斜二測(cè)畫法.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖,關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法,這是畫空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ).因此,教科書安排了兩個(gè)例題,用以說明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟.在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置.因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定,依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來,因此平面多邊形水平放置時(shí),直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法.而在平面上確定點(diǎn)的位置,可以借助于平面直角坐標(biāo)系,確定了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定點(diǎn)的位置.因此,畫水平放置的平面直

2、角坐標(biāo)系應(yīng)當(dāng)是學(xué)生首先要掌握的方法. 值得注意的是直觀圖的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生正確把握?qǐng)D形尺寸大小之間的關(guān)系;另外,教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片,讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形.三維目標(biāo) 通過用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖,提高學(xué)生識(shí)圖和畫圖的能力,培養(yǎng)探究精神和意識(shí),以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖.教學(xué)難點(diǎn):直觀圖和三視圖的互化.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.畫幾何體時(shí),畫得既富有立體感,又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系,怎樣畫呢?教師指出課題:直觀圖.思路2.正

3、投影主要用于繪制三視圖,在工程制圖中被廣泛采用,但三視圖的直觀性較差,因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象,但作圖方法比較復(fù)雜,又不易度量,因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上,是用一個(gè)平面圖形來表示空間圖形,這樣表達(dá)的不是空間圖形的真實(shí)形狀,而是它的直觀圖.推進(jìn)新課新知探究提出問題 如何用斜二測(cè)畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖? 上述畫直觀圖的方法稱為斜二測(cè)畫法,請(qǐng)總結(jié)其步驟. 探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長(zhǎng)方體ABCDABCD的直觀圖. 用斜

4、二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同?并總結(jié)畫幾何體的直觀圖的步驟.活動(dòng):和教師首先示范畫法,并讓學(xué)生思考斜二測(cè)畫法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見解,教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng).根據(jù)上述畫法來歸納.讓學(xué)生比較兩種畫法的步驟.討論結(jié)果:畫法:1如圖1(1),在正六邊形ABCDEF中,取AD所在直線為x軸,對(duì)稱軸MN所在直線為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.在圖1(2)中,畫相應(yīng)的x軸與y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,使xOy=45. 2在圖1(2)中,以O(shè)為中點(diǎn),在x軸上取AD=AD,在y軸上取MN=MN.以點(diǎn)N為中點(diǎn)畫BC平行于x軸,并且等于BC;再以M為中點(diǎn)畫EF平行于x軸,并且等于EF. 3連接AB,

5、CD,DE,F(xiàn)A,并擦去輔助線x軸和y軸,便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖ABCDEF圖1(3).圖1步驟是:1在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸與y軸,兩軸交于點(diǎn)O,且使xOy=45(或135),它們確定的平面表示水平面.2已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段.3已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,長(zhǎng)度為原來的一半.畫法:1畫軸.如圖2,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使xOy=45,xOz=90.圖22畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn),在x軸上取線段MN,使MN=4

6、 cm;在y軸上取線段PQ,使PQ=cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D,四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.3畫側(cè)棱.過A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取2 cm長(zhǎng)的線段AA、BB、CC、DD.4成圖.順次連接A、B、C、D,并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到長(zhǎng)方體的直觀圖.點(diǎn)評(píng):畫幾何體的直觀圖時(shí),如果不作嚴(yán)格要求,圖形尺寸可以適當(dāng)選取,用斜二測(cè)畫法畫圖的角度也可以自定,但是要求圖形具有一定的立體感. 畫幾何體的直觀圖時(shí)還要建立三條軸,實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系,而畫水平放置平面

7、圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系.畫幾何體的直觀圖的步驟是: 1在已知圖形所在的空間中取水平平面,作互相垂直的軸Ox、Oy,再作Oz軸,使xOy=90,yOz=90. 2畫出與Ox、Oy、Oz對(duì)應(yīng)的軸Ox、Oy、Oz,使xOy=45,yOz=90,xOy所確定的平面表示水平平面. 3已知圖形中,平行于x軸、y軸和z軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸和z軸的線段,并使它們?cè)谒嬜鴺?biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. 4已知圖形中平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段,長(zhǎng)度為原來的一半. 5擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸,就得到了空間圖

8、形的直觀圖. 斜二測(cè)畫法的作圖技巧: 1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系,理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行,但實(shí)際作圖時(shí),一般建立特殊的直角坐標(biāo)系,盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸或圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等. 2在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x軸或y軸平行,原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線,畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連接而畫出. 3在畫一個(gè)水平放置的平面時(shí),由于平面是無限延展的,通常我們只畫出它的一部分表示平面,一般地,用平行四邊形表

9、示空間一個(gè)水平平面的直觀圖.應(yīng)用示例思路1例1 用斜二測(cè)畫法畫水平放置的圓的直觀圖.活動(dòng):學(xué)生回顧討論斜二測(cè)畫法的步驟,自己畫出來后再互相交流.教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng).解:(1)如圖3(1),在O上取互相垂直的直徑AB、CD,分別以它們所在的直線為x軸與y軸,將線段AB n等分.過各分點(diǎn)分別作y軸的平行線,交O于E,F(xiàn),G,H,畫對(duì)應(yīng)的x軸和y軸,使xOy=45.圖3(2)如圖3(2),以O(shè)為中點(diǎn),在x軸上取AB=AB,在y軸上取CD=CD,將AB n等分,分別以這些分點(diǎn)為中點(diǎn),畫與y軸平行的線段EF,GH,使EF=,GH=,.(3)用光滑曲線順次連接A,D,F(xiàn),H,B,G,E,C,A并擦去輔助線,得到

10、圓的水平放置的直觀圖圖3(3).點(diǎn)評(píng):本題主要考查用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.變式訓(xùn)練1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖.答案:略.2.關(guān)于“斜二測(cè)畫法”,下列說法不正確的是( )A.原圖形中平行于x軸的線段,其對(duì)應(yīng)線段平行于x軸,長(zhǎng)度不變B.原圖形中平行于y軸的線段,其對(duì)應(yīng)線段平行于y軸,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼腃.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的xOy時(shí),xOy必須是45D.在畫直觀圖時(shí),由于選軸的不同,所得的直觀圖可能不同分析:在畫與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的xOy時(shí),xOy也可以是135,所以C不正確.答案:C例2 如圖4,已知幾何體的三視圖,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.圖4活動(dòng):讓學(xué)生由

11、三視圖還原為實(shí)物圖,并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師分析: 由幾何體的三視圖知道,這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,它的下部是一個(gè)圓柱,上部是一個(gè)圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱,再畫出上部的圓錐.解:畫法:(1)畫軸.如圖5(1),畫x軸、y軸、z軸,使xOy=45,xOz=90. (1) (2)圖5(2)畫圓柱的兩底面,仿照例2畫法,畫出底面O.在z軸上截取O,使OO等于三視圖中相應(yīng)高度,過O作Ox的平行線Ox,Oy的平行線Oy,利用Ox與Oy畫出底面O(與畫O一樣).(3)畫圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P,使PO等于三視圖中相應(yīng)的高度.(4)成圖.連接PA,PB,A

12、A,BB,整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖圖5(2).點(diǎn)評(píng): 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系,我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時(shí),也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖.變式訓(xùn)練 圖6所示是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu),并畫出它的直觀圖嗎?圖6答案:獎(jiǎng)杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個(gè)球,中間是一個(gè)四棱柱,最下面是一個(gè)棱臺(tái)拼接成的簡(jiǎn)單組合體.其直觀圖略.思路2例1 如圖7所示,梯形ABCD中,ABCD,AB=4 cm,CD=2 cm,DAB=30,AD=3 cm,試畫出它的直觀圖.圖7活動(dòng):利用斜二測(cè)畫法作該梯形的直觀圖,要注意在斜二測(cè)畫法中,要有一些平行于原坐

13、標(biāo)軸的線段才好按部就班地作圖,所以先在原坐標(biāo)系中過作出該點(diǎn)在x軸的垂足,則對(duì)應(yīng)地可以作出線段的直觀圖,進(jìn)而作出整個(gè)梯形的直觀圖.解:步驟是:(1)如圖8所示,在梯形ABCD中,以邊AB所在的直線為x軸,點(diǎn)A為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖9所示,畫出對(duì)應(yīng)的x軸,y軸,使xAy=45.(2)如圖8所示,過D點(diǎn)作DEx軸,垂足為E.在x軸上取AB=AB=4 cm,AE=AE=cm 2.598 cm;過E作EDy軸,使ED=,再過點(diǎn)D作DCx軸,且使DC=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10(3)連接AD、BC、CD,并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線,如圖10所示,則四邊形ABCD就是所求作的

14、直觀圖.點(diǎn)評(píng):本題考查利用斜二測(cè)畫法畫空間圖形的直觀圖.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí),選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,便于畫點(diǎn);原圖中的共線點(diǎn),在直觀圖中仍是共線點(diǎn);原圖中的共點(diǎn)線,在直觀圖中仍是共點(diǎn)線;原圖中的平行線,在直觀圖中仍是平行線.本題中,關(guān)鍵在于點(diǎn)D位置的確定,這里我們采用作垂線的方法,先找到垂足E,再去確定D的位置.變式訓(xùn)練1.如圖11所示,直角梯形ABCD中,ADBC,且ADBC,該梯形繞邊AD所在直線EF旋轉(zhuǎn)一周得一幾何體,畫出該幾何體的直觀圖和三視圖.圖11答案:該幾何體是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接而成的簡(jiǎn)單組合體,其直觀圖如圖1

15、2所示,三視圖如圖13所示. 圖12 圖132.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形,其中有一邊長(zhǎng)為4,則此正方形的面積是( )A.16 B.64 C.16或64 D.都不對(duì)分析:根據(jù)直觀圖的畫法,平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话耄谑情L(zhǎng)為4的邊如果平行于x軸,則正方形邊長(zhǎng)為4,面積為16,邊長(zhǎng)為4的邊如果平行于y軸,則正方形邊長(zhǎng)為8,面積是64.答案:C知能訓(xùn)練1.利用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí):三角形的直觀圖是三角形;平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;正方形的直觀圖是正方形;菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論中,正確的是_.分析:斜二測(cè)畫法保持平行性和相交性不變,即平行直線的直

16、觀圖還是平行直線,相交直線的直觀圖還是相交直線,故正確;但是斜二測(cè)畫法中平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半,則正方形的直觀圖不是正方形,菱形的直觀圖不是菱形,所以錯(cuò).答案:2.一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫法畫出來的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則原三角形的面積是( )A. B. C. D.都不對(duì)分析:根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則,正三角形的邊長(zhǎng)是原三角形的底邊長(zhǎng),原三角形的高是正三角形高的倍,而正三角形的高是,所以原三角形的高為,于是其面積為2=.答案:A3.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45,腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形,則該平面圖形的面積等于( )A. B. C. D.分析:平面圖形是上

17、底長(zhǎng)為1,下底長(zhǎng)為,高為2的直角梯形.計(jì)算得面積為.答案:D4.斜二測(cè)畫法中,位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M,則點(diǎn)M的找法是_.分析:在x軸的正方向上取點(diǎn)M1,使OM1=4,在y軸上取點(diǎn)M2,使OM2=2,過M1和M2分別作平行于y軸和x軸的直線的交點(diǎn)就是M.答案:在xOy中,過點(diǎn)(4,0)和y軸平行的直線與過(0,2)和x軸平行的直線的交點(diǎn)即是.5.根據(jù)圖14所示物體的三視圖(陰影部分為空洞)描繪出物體的大致形狀.圖14分析:根據(jù)該物體的三視圖可以判斷該物體的外輪廓是一個(gè)正方體,從正面和左面看是一個(gè)正方形中間有一個(gè)圓形的孔.從而知這兩個(gè)面應(yīng)該都有一個(gè)圓柱形的孔.解:

18、由此可以推測(cè)該物體大致形狀如圖15所示.圖15拓展提升問題:如圖16所示,已知幾何體的三視圖,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.圖16探究:由這個(gè)三視圖可以看出,該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)以直四棱柱的上底面為底面的四棱錐拼接而成.圖17解:步驟是:(1)作出長(zhǎng)方體的直觀圖ABCDA1B1C1D1,如圖17(1)所示.(2)再以上底面A1B1C1D1的對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖17(2)所示,在z上取點(diǎn)V,使得VO的長(zhǎng)度為棱錐的高,連接VA1、VB1、VC1、VD1得到四棱錐的直觀圖,如圖17(2).(3)擦去輔助線和坐標(biāo)軸,遮住部分用虛線表示,得到幾何體的直觀圖,如圖17(3).課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了:1.直觀

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