單自由度體系地震作用

1、 1動力計算概況 2單自由度體系的自由振動 3阻尼對振動的影響 4單自由度體系的受迫振動 5單自由度體系的地震作用 目 錄 Contents 6地震反應譜 7地震作用與作用效應 3 2-1 2-1 動力計算概述動力計算概述 一、動力計算的目的、內(nèi)容和特點一、動力計算的目的、內(nèi)容和特點 1 1、靜力荷載與動力荷載、靜力荷載與動力荷載 “靜力荷載靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這是指其大小、方向和作用位置不隨時間而變化的荷載。這 類荷載類荷載對結構產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計對結構產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確 定的。定的

2、。 “動力荷載動力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類是指其大小、方向和作用位置隨時間而變化的荷載。這類 荷載荷載對結構產(chǎn)生的慣性力不能忽略對結構產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動力荷載將使結構產(chǎn)生相當大的加速度，因動力荷載將使結構產(chǎn)生相當大的加速度， 由它所引起的內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。由它所引起的內(nèi)力和變形都是時間的函數(shù)。 4 動力計算的特點、目的和內(nèi)容動力計算的特點、目的和內(nèi)容 2 2、動力計算的目的、動力計算的目的 計算結構的動力反應（動內(nèi)力，動位移、速度與加速度）。計算結構的動力反應（動內(nèi)力，動位移、速度與加速度）。 3 3、動力計算的內(nèi)容、動力計算的內(nèi)容 研究結構在動

3、荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。研究結構在動荷載作用下的動力反應的計算原理和方法。 涉及到內(nèi)外兩方面的因素：涉及到內(nèi)外兩方面的因素： 1 1）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）；）確定動力荷載（外部因素，即干擾力）； 2 2）確定結構的動力特性（內(nèi)部因素，如結構的自振頻率、周期、）確定結構的動力特性（內(nèi)部因素，如結構的自振頻率、周期、 振型和阻尼等等），類似靜力學中的振型和阻尼等等），類似靜力學中的I等；等； 計算計算動位移動位移及其幅值；計算及其幅值；計算動內(nèi)力動內(nèi)力及其幅值。及其幅值。 5 動力計算的特點、目的和內(nèi)容動力計算的特點、目的和內(nèi)容 4 4、動力計算的特點、動力計算的特點

4、(1)(1)必須考慮慣性力。必須考慮慣性力。 (2)(2)內(nèi)力與荷載不能構成靜平衡。必須考據(jù)慣性力，依達朗伯原理，內(nèi)力與荷載不能構成靜平衡。必須考據(jù)慣性力，依達朗伯原理， 加慣性力后，將動力問題轉化為靜力問題。加慣性力后，將動力問題轉化為靜力問題。 (3)(3)分析自由振動即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強迫振動分析自由振動即求自振頻率、振型、阻尼參數(shù)等是求強迫振動 動力反應的前提和準備。動力反應的前提和準備。 6 P(t ) t P t 簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化）簡諧荷載（按正余弦規(guī)律變化） 一般周期荷載一般周期荷載 二、動力荷載分類二、動力荷載分類 按起變化規(guī)律及其作用特點可分為：按起

5、變化規(guī)律及其作用特點可分為： 3 3）隨機荷載：）隨機荷載：( (非確定性荷載非確定性荷載) ) 荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。荷載在將來任一時刻的數(shù)值無法事先確定。 （如地震荷載、風荷載）（如地震荷載、風荷載） 2 2）沖擊荷載：）沖擊荷載：短時內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載）短時內(nèi)劇增或劇減。（如爆炸荷載） P t P(t ) t tr P tr P 1 1）周期荷載：隨時間作周期性變化）周期荷載：隨時間作周期性變化。（轉動電機的偏心力）。（轉動電機的偏心力） 7 三、動力計算中體系的自由度三、動力計算中體系的自由度 確定體系上全部質量位置所需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為確定體系上全部質量位置所

6、需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度體系的振動自由度。 1 1、集中質量法、集中質量法 (1)(1)把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成把連續(xù)分布的質量集中為幾個質點，將一個無限自由度的問題簡化成 有限自由度問題。有限自由度問題。 m mm梁 m+m梁 I I2I m+m柱 廠房排架水平振廠房排架水平振 時的計算簡圖時的計算簡圖 單自由度體系單自由度體系 8 （2 2）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。）并非一個質量集中點一個自由度（分析下例）。 （3 3）結構的自由度與是否超靜定無關。）結構的自由度與是否超靜定無關。 2個自由度個自由度2個自由度個自由度4個自

7、由度個自由度 靜定結構靜定結構6次超靜定結構次超靜定結構 3次超靜定結構次超靜定結構 9 （4 4）可用加鏈桿的方法確定自由度。）可用加鏈桿的方法確定自由度。 10 1 y 2 y 1 y 1 y 2 y EI 11 1 y 1 y 2 y EI 12 )(xm y(x,t) x 無限自由度體系無限自由度體系 1010） 13 水平振動時的計算體系水平振動時的計算體系構架式基礎頂板簡化成剛性塊構架式基礎頂板簡化成剛性塊 (t) v(t) u(t) 14 四、動力計算的方法四、動力計算的方法 動力平衡法（達朗伯爾原理）動力平衡法（達朗伯爾原理） m .運動方程運動方程 m 設其中設其中 P(t)

8、 .平衡方程平衡方程 I(t)慣性力，與加速度成正比，方向相反慣性力，與加速度成正比，方向相反 改寫成改寫成 P tmy t & & my tI t& & my tI t & & P tmy t & & 0P tmy t & & 15 2-2 2-2 單自由度體系的自由振動單自由度體系的自由振動 自由振動自由振動：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。：體系在振動過程中沒有動荷載的作用。 靜平衡位置靜平衡位置 m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 自由振動產(chǎn)生原因自由振動產(chǎn)生原因：體系在初始時刻（：體系在初始時刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。）受到外界的干擾。 y t & 16 研究

9、單自由度體系振動的重要性研究單自由度體系振動的重要性 1 1、是工程上一些實際結構的簡化。、是工程上一些實際結構的簡化。 2 2、 它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基它是分析多自由度體系的基礎，包含了許多基 本概念。本概念。 建筑物基礎建筑物基礎 水塔的水平振動水塔的水平振動 要解決的問題包括：要解決的問題包括： 建立運動方程、計算自振頻率、周期和阻尼建立運動方程、計算自振頻率、周期和阻尼. . 17 一、運動微分方程的建立一、運動微分方程的建立 方法：達朗伯爾原理方法：達朗伯爾原理應用條件：微幅振動（線性微分方程）應用條件：微幅振動（線性微分方程） 1 1、 剛度法剛度法：研究作用于被

10、隔離的質量上的：研究作用于被隔離的質量上的 力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。 m . . yj .yd 靜平衡位置 質量m在任一時刻的位移 y(t)=yj+yd k 力學模型力學模型 . yd mm W S(t) I(t) + 重力重力 W 彈性力彈性力 )()()( dj yyktkytS恒與位移反向恒與位移反向 慣性力慣性力 (a) 其中 kyj=W 及 上式可以簡化為 或或 由平衡位置計量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。由平衡位置計量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。 jd I tmy tm yy & & & & jdjd m yyk y

11、yW& & & 0 j y & & 0 dd myky& & 0myky& & (b) 18 2 2、 柔度法柔度法：研究結構上質點的位移，建立位移協(xié)調方程。：研究結構上質點的位移，建立位移協(xié)調方程。 . . m靜平衡位置 I(t) k 1 可得與可得與 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程 剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。剛度法常用于剛架類結構，柔度法常用于梁式結構。 y tI tmy t & & (c) 0my ty t & & 19 二、自由振動微分方程的解二、自由振動微分方程的解 改寫為 其中 m k 2 它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程

12、，其一般解為： ).(.cossin)( 21 dtCtCty 積分常數(shù)積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定由初始條件確定 12 2 2 1212 1212 1,212 00 , cossin r xr x r x x rprqypyqy r ryC eC e rryCC x e riyeCxCx 0myky& &(b) 0 k yy m & &0 2 yy& & 20 m靜平衡位置靜平衡位置 I(t) ).(cossin)( 21 dtCtCty 設設 t=0 時時 v C yC 1 2 . . （d）式可以寫成式可以寫成 ).(.sincos)(et v tyty 由式可知，位移是由初位移由式

13、可知，位移是由初位移y 引起的余弦運動和由初速度引起的余弦運動和由初速度v 引起的正弦引起的正弦 運動的合成，為了便于研究合成運動運動的合成，為了便于研究合成運動, , 令令 cos,sinA v Ay (e)式改寫成式改寫成 ).(.).sin()(ftAty 它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中它表示合成運動仍是一個簡諧運動。其中A和和 可由下式確定可由下式確定 ).(. 1 2 2 g v y tg v yA 振幅振幅 相位角相位角 0 0 yy yv & 21 ).(.sincos)(et v tyty ).(.).sin()(ftAty y 0 t y -y T T T v v y

14、t0 y t 0 A -A tycos t v sin tAsin 22 三、結構的自振周期和頻率三、結構的自振周期和頻率 由式由式)sin()(tAty及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。及圖可見位移方程是一個周期函數(shù)。 T y t 0 A -A 周期周期 , 2 T 工程頻率工程頻率),( 2 1 Hz T f 圓頻率圓頻率 T f 2 2 23 計算頻率和周期的幾種形式計算頻率和周期的幾種形式 st g W g mm k 1 gk m T st 22 頻率和周期的討論頻率和周期的討論 （1 1）自振周期與且只與結構的質量和結構的剛度有關，與外界的干擾因素）自振周期與且只與結構的質量和結構的剛

15、度有關，與外界的干擾因素 無關。干擾力只影響振幅無關。干擾力只影響振幅A A。 （2 2）自振周期與質量的平方根成正比，質量越大，周期越大（頻率小）；）自振周期與質量的平方根成正比，質量越大，周期越大（頻率?。?自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，周期越?。l率越大）；要改 變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度著手。變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度著手。 （3 3）兩個外形相似的結構，如果周期相差懸殊，則動力性能相差很大。反）兩個外形相似的結構，如果周期相差懸殊，則動力性能相差很大。反 之，兩個外形看來

16、并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用之，兩個外形看來并不相同的結構，如果其自振周期相近，則在動荷載作用 下的動力性能基本一致。下的動力性能基本一致。 24 例例1 1、圖示三根單跨梁，、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量為常數(shù)，在梁中點有集中質量m， 不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 P=1 3l/16 5l/32 P=1 l/2 EI lllll EI l 768 7 ) 32 5 216 3 2 2( 6 1 3 2 1 3

17、1 1 481 ml EI m 據(jù)此可得據(jù)此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 結構約束越強結構約束越強, ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動頻率也越大。其自振動頻率也越大。 25 例例1 1、圖示三根單跨梁，、圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量為常數(shù)，在梁中點有集中質量m， 不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。 l/2l/2l/2l/2l/2l/2 mm m 解：解：1 1）求）求 EI l 48 3 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3

18、 2 2 7 7681 ml EI m 3 3 3 1921 ml EI m 據(jù)此可得據(jù)此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 結構約束越強結構約束越強, ,其剛度越大其剛度越大, ,剛度越大剛度越大, ,其自振動頻率也越大。其自振動頻率也越大。 由單位桿端位移所引起的桿端力（剛度系數(shù)）由單位桿端位移所引起的桿端力（剛度系數(shù)） 補充：補充：等截面直桿的形常數(shù)等截面直桿的形常數(shù) =1 A=1 EI 3i l i 3 =1 A=1 EI 4i 2i l i6 l i6 補充：補充：等截面直桿的形常數(shù)等截面直桿的形常數(shù) 補充：補充：等截面直桿的等截面直桿的載載常數(shù)常數(shù) 29 例例2.

19、2.計算圖示結構的水平和豎向振動頻率。計算圖示結構的水平和豎向振動頻率。 m l A,E,I H E,I 1 H H m 1 E,A 1 V V V m 1 II EI1= m h 1 k 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 2 6 h EI 例例3.3.計算圖示剛架的頻率和周期。計算圖示剛架的頻率和周期。 3 12 h EI 3 12 h EI 由截面平衡由截面平衡 3 24 h EI k 3 24 mh EI m k EI mh T 2 2 3 30 四、簡諧自由振動的特性四、簡諧自由振動的特性 由式由式 )sin()(tAty 可得，可得，加速度為：加速度為： 在無阻尼

20、自由振動中，在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)都按正弦規(guī) 律變化，且作律變化，且作相位相同的同步運動相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極，即它們在同一時刻均達極 值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。 它們的幅值產(chǎn)生于它們的幅值產(chǎn)生于1)sin(t 時，其值分別為：時，其值分別為： Ay 2 mAI 既然在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣，既然在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時間也一樣， 于是可于是可在幅值處建立運動方程在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間，此時方程中將不含

21、時間t，結果把，結果把微分微分 方程轉化為代數(shù)方程方程轉化為代數(shù)方程了，使計算得以簡化。了，使計算得以簡化。 慣性力為：慣性力為： sin 2 y tAt & & sin 2 I tmy tmAt & & 2 yA & & 31 例例4. 4. 計算體系自振頻率計算體系自振頻率( (練習題）。練習題）。 A BC D EI= l /2 l /2l mm 1mm 3 1 2 k BC k 1 m 2 m . .A1. .A2 lk 1 I 2 I 解：單自由度體系，解：單自由度體系， 以以 表示位移參數(shù)的幅值表示位移參數(shù)的幅值, , 各質點上所受的力為：各質點上所受的力為： 2 2 1 2 11

22、 l mAmI lm lmAmI 2 2 2 2 22 2 1 2 3 3 1 建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0 B M 0 2 3 2 21 llklI l I 0 2 3 2 1 22 1 22 llkllm l lm 化簡后得化簡后得km 2 m k 32 1 提高：例提高：例5.5.求圖示結構的自振圓頻率（練習題）。求圖示結構的自振圓頻率（練習題）。 解法解法1 1：求：求 k=1/h MBA=kh = MBC k l h m I EI B A C lh EI l EI3 3 lmh EI m k 2 3 2 3 lh EI k 1 h 解法解法2 2：求：求 EI lhhlh EI

23、33 2 2 1 2 2 11 31 mlh EI m 33 例例6.6.求圖示結構的自振頻率求圖示結構的自振頻率( (練習題）。練習題）。 l EI m k 1 k11 k11 k 3 3 l EI解：求解：求 k 3 11 3 l EI kk m k m k l EI 3 3 11 對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。對于靜定結構一般計算柔度系數(shù)方便。 如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點如果讓振動體系沿振動方向發(fā)生單位位移時，所有剛節(jié)點 都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為都不能發(fā)生轉動（如橫梁剛度為剛架剛架) )計算剛度系數(shù)方便。計算剛度系數(shù)方便。 3 12 l EI 一端鉸結的桿

24、的側移剛度為：一端鉸結的桿的側移剛度為： 3 3 l EI 兩端剛結的桿的側移剛度為：兩端剛結的桿的側移剛度為： 34 實驗證明，振動中的結構，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生實驗證明，振動中的結構，不僅產(chǎn)生與變形成比例的彈性內(nèi)力，還產(chǎn)生 非彈性的內(nèi)力，非彈性的內(nèi)力，非彈性力起阻尼作用非彈性力起阻尼作用。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些。在不考慮阻尼的情況下所得出的某些 結論也反應了結構的振動規(guī)律，如：結論也反應了結構的振動規(guī)律，如： 1 1、阻尼的存在、阻尼的存在 忽略阻尼的振動規(guī)律忽略阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律考慮阻尼的振動規(guī)律 結構的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。結構

25、的自振頻率是結構的固有特性，與外因無關。 簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。簡諧荷載作用下有可能出現(xiàn)共振。 自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅永不衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。自由振動的振幅逐漸衰減。 共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅趨于無窮大。共振時的振幅較大但為有限值。共振時的振幅較大但為有限值。 2-3 2-3 阻尼對振動的影響阻尼對振動的影響 關于阻尼，有兩種定義或理解：關于阻尼，有兩種定義或理解： 1 1）使振動衰減的作用；）使振動衰減的作用； 2 2）使能量耗散。）使能量耗散。 35 2 2、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中產(chǎn)生阻尼、耗散能量的因素 1 1）結構在

26、變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱）結構在變形過程中材料內(nèi)部有摩擦，稱“內(nèi)摩擦內(nèi)摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基礎的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散，）建筑物基礎的振動引起土壤發(fā)生振動，此振動以波的形式向周圍擴散， 振動波在土壤中傳播而耗散能量；振動波在土壤中傳播而耗散能量； 3 3）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結點上的摩擦和空氣阻尼等等。）土體內(nèi)摩擦、支座上的摩擦、結點上的摩擦和空氣阻尼等等。 振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述振動的衰減和能量的耗散都通過非彈性力來考慮，由于對非彈性力的描述 不同，目前主要有兩種阻尼理論：不同，目前主要有

27、兩種阻尼理論： * *粘滯阻尼理論粘滯阻尼理論非彈性力與變形速度成正比：非彈性力與變形速度成正比： * *滯變阻尼理論滯變阻尼理論 3 3、阻尼力的確定：、阻尼力的確定：總與質點速度反向；大小與質點速度有如下關系：總與質點速度反向；大小與質點速度有如下關系： 1 1）與質點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。）與質點速度成正比（比較常用，稱為粘滯阻尼）。 2 2）與質點速度平方成正比（如質點在流體中運動受到的阻力）。）與質點速度平方成正比（如質點在流體中運動受到的阻力）。 3 3）與質點速度無關（如摩擦力）。）與質點速度無關（如摩擦力）。 其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。其他阻尼力也

28、可化為等效粘滯阻尼力來分析。 R tcy t & 36 m S(t) I(t) P(t) y . . k m P(t) P(t) )(tR C 平衡方程平衡方程 )()(tkytS 4 4、阻尼對自由振動的影響、阻尼對自由振動的影響 設解為： t Bey 特征方程特征方程 02 22 ),1( 2 2, 1 特征值特征值 一般解一般解 tt eBeBty 21 21 )( m c m k 2 , ( 阻尼比阻尼比） 令令 I tmy t & & R tcy t & mycykyP t & & 0mycyky& & 0 ck yyy mm & & 2 0y2yy& & 37 （1）低阻尼情形低阻

29、尼情形 ( 1 強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。強阻尼：不出現(xiàn)振動，實際問題不常見。 r C C 0 0 0 0 yy yv & 設設 m 受迫振動（強迫振動）：受迫振動（強迫振動）：結構在動力荷載作用下的振動。結構在動力荷載作用下的振動。 k y(t) y m ky P(t ) m P(t ) P(t ) 彈性力彈性力ky、慣性力慣性力 和荷載和荷載P(t)之間的平衡方程為之間的平衡方程為: ( )mykyP t& & 一、簡諧荷載：一、簡諧荷載： t m F tDtDsinsinsin 22 tDy*sin )( 22 m F D tyt m F y* st sin )1 ( 1 si

30、n )1 ( 22222 F m F y st 2 單自由度體系強迫單自由度體系強迫 振動的微分方程振動的微分方程 特解特解： 2-4 2-4 單自由度體系的受迫振動單自由度體系的受迫振動 sinP tFt my & & 2 sin F yyt m & & my & & 最大靜最大靜位移位移 yst（是把荷載幅值當作靜荷載作用時結構所（是把荷載幅值當作靜荷載作用時結構所產(chǎn)生的產(chǎn)生的位移）。位移）。 tyy st sin 1 1 22 * 特解可寫為：特解可寫為： 通解可寫為：通解可寫為：tytCtCy st sin 1 1 cossin 22 21 設設t=0時的初始位移和初始速度均為零，則：

31、時的初始位移和初始速度均為零，則： 0, 1 2 22 1 CyC st )sin(sin 1 1 22 ttyy st 過渡階段過渡階段：振動開始兩種振動同時存在的階段；：振動開始兩種振動同時存在的階段； 平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在）：后來只按荷載頻率振動的階段。（由于阻尼的存在） 按自振頻率振動 按荷載頻率振動 平穩(wěn)階段：平穩(wěn)階段：tyy st sin 1 1 22 最大動位移（振幅）為：最大動位移（振幅）為： 22 max 1 1 st yy st y y max 22 1 1 動力系數(shù)動力系數(shù)： 1 0 2 3 123 重要的特性：重要的特性： f當

32、當/0時時,1： 荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。荷載變化得很慢，可當作靜荷載處理。 f當當0 / 1，并且隨并且隨/的增大的增大 而增大。而增大。 f當當/ 1時時, ： 即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅即當荷載頻率接近于自振頻率時，振幅 會無限增大。稱為會無限增大。稱為“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1時時, 的絕對值隨的絕對值隨/的增大而減小。的增大而減小。 當當很大時，荷載變化很快，結構來不及反應很大時，荷載變化很快，結構來不及反應。 例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中點的位移幅值及最大動力

33、彎矩。求梁中點的位移幅值及最大動力彎矩。 2m EI m k Psint 2m 解：解：1)1)求求 kEI l 2 1 2 1 48 3 21 EI l EI l EI l 192 5 19248 333 1 3 16.134 5 1921 s ml EI m 2)2)求求 552. 1 1 1 22 m EI l PPy 3 5 333 max 1075. 5 1090192 451020552. 1 192 5 3)3)求求ymax， Mmax mkNlPM.04.31420552. 1 4 1 )( 4 1 max 當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，由于體系上各當動荷載作用在單自由

34、度體系的質點上時，由于體系上各 截面的內(nèi)力、位移都與質點處的位移成正比，故各截面的最大動內(nèi)力和最大截面的內(nèi)力、位移都與質點處的位移成正比，故各截面的最大動內(nèi)力和最大 動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)按靜力方法只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)按靜力方法 來計算即可來計算即可。 練習練習 簡支梁（簡支梁（I28b），慣性矩），慣性矩I=7480cm4，截面系數(shù)，截面系數(shù)W=534cm3， E=2.1104kN/cm2。在跨度中點有電動機重量。在跨度中點有電動機重量Q=35kN，轉速轉速n=500r/min。由。由 于具有偏心，轉動時產(chǎn)生離心力于具有偏

35、心，轉動時產(chǎn)生離心力P=10kN，P的豎向分量為的豎向分量為Psint。忽略梁的質。忽略梁的質 量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。（梁長量，試求強迫振動的動力系數(shù)和最大撓度和最大正應力。（梁長l=4m） 解：解：1 1）求自振頻率和荷載頻率）求自振頻率和荷載頻率 S QlEIg 1 343 4 .57400359807480101 . 24848 S n 1 3 .526050014. 32602 2 2）求動力系數(shù)）求動力系數(shù) 88. 5 4 .573 .521 1 1 1 2222 EI Pl EI Ql yst st 4848 33 max W lPQ W Pl W Ql

36、 4 )( 44 max st g 175.6MPa 必須特別注意，這種處理方法只適用于單自由度體系在質 點上受干擾力作用的情況。對于干擾力不作用于質點的單自由 度體系，以及多自由度體系，均不能采用這一方法。 I22b3570cm4 357039.7 39.7 1.35 325 149.2 設體系在設體系在t=0時靜止，然后時靜止，然后 有瞬時沖量有瞬時沖量S作用作用。 二、一般荷載二、一般荷載一般荷載作用下的動力反應可利用瞬時沖量的一般荷載作用下的動力反應可利用瞬時沖量的 動力反應來推導動力反應來推導 1、瞬時沖量的動力反應、瞬時沖量的動力反應 P(t) t P m tP m S v 0 0

37、 0 y t t m S ty sin)( t t t t t m S ty sin)( )(sin t m S tPSmv0 0 0 0 cossin v y tytt 2、任意荷載、任意荷載P(t)的動力反應的動力反應 P(t) t dPdS)( 時刻的微分沖量對時刻的微分沖量對t瞬時瞬時(t ) 引起的動力反應引起的動力反應: : )(sin )( t m dP dy 初始靜止狀態(tài)的單自由度體初始靜止狀態(tài)的單自由度體 系在任意荷載作用下的位移系在任意荷載作用下的位移 公式公式: : dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 (Duhamel 積分積分) 初始位移初始位移y0和初

38、始速度和初始速度v0不為零在任意荷載作用下的位移公式不為零在任意荷載作用下的位移公式: : 0 0 0 1 ( )cossin( )sin() t v y tyttPtd m t 3、幾種典型荷載的動力反應（略）、幾種典型荷載的動力反應（略） 1 1）突加荷載）突加荷載 0, 0, 0 )( 0 tP t tP 當 當 P(t) t P dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 dtP m ty t )(sin 1 )( 0 0 )cos1 ( 2 0 t m P yst=P0=P0 /m2 yst y(t) t 0 23 質點圍繞靜力平衡位置質點圍繞靜力平衡位置 作簡諧振動作簡諧振

39、動 2 )( max st y ty )cos1 (tyst 2 2）短時荷載）短時荷載 ut utP t tP , 0 0, 0, 0 )( 0 P(t) t P u 階段階段(0tu)：無荷載，體系以無荷載，體系以t=u時刻的位移時刻的位移 和速度和速度為初始條件作自由振動。為初始條件作自由振動。 )cos1 ()(uyuy st uyuv st sin)( )(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuyty stst tutystcos)(cos 或者直接由或者直接由Duhamel積分作積分作 dtP m ty t )(sin)( 1 )( 0 dtP m ty u )(s

40、in 1 )( 0 0 )cos)(cos 2 0 tut m P ) 2 (sin 2 sin2 u t u yst 另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。另解：短時荷載可認為由兩個突加荷載疊加而成。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u )cos1 ()(tyty st )(cos1)(utyty st 當當0t u )cos1 ()(tyty st )(cos1 (utyst )cos)(costutyst) 2 (sin 2 sin2 u t u yst 3 3）線性漸增荷載）線性漸增荷載 r r r ttP tt t tP tP 當 當 , 0, )(

41、0 0 P(t) t P0 tr 這種荷載引起的動力反應同樣可由這種荷載引起的動力反應同樣可由DuhamelDuhamel積分來求積分來求解解: : rr r st r r st ttttt t y tt t t t y ty 當 當 ,)(sinsin 1 1 , sin )( 對于這種線性漸增荷載對于這種線性漸增荷載, ,其動力反應與升載時間的長短有很大關系。其動力反應與升載時間的長短有很大關系。 其動力系數(shù)的反應譜如下：其動力系數(shù)的反應譜如下： 01.02.03.04.0 T tr 1.4 1.2 1.0 1.6 1.8 2.0 tr P0 動力系數(shù)反應譜動力系數(shù)反應譜 動力系數(shù)動力系數(shù)

42、介于介于1 1與與2 2之間。之間。 如果升載很短，如果升載很短，tr4T, ,則則接近于接近于1,1,即相當于靜荷載情況。即相當于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設計的依據(jù)。常取外包虛線作為設計的依據(jù)。 三、有阻尼的強迫振動三、有阻尼的強迫振動 單獨由單獨由v0引起的自由振動：引起的自由振動： 瞬時沖量瞬時沖量ds=Pdt=mv0所引所引 起的振動，可視為以起的振動，可視為以v0=Pdt/m， y0=0為初始條件的自由振動：為初始條件的自由振動： t v ey r r t sin 0 t m Pdt ey r r t sin 將荷載將荷載P(t)的加載過程的加載過程 看看 作一系列瞬時沖量：作

43、一系列瞬時沖量： )(sin )( )( te m dP dy r t r 總反應總反應 dte m P ty r tt r )(sin )( )( )( 0 t yv tye r r r t sincos 00 0 P(t) t d dPdS)( t （1）突加荷載突加荷載P0)sin(cos1 )( 2 0 tte m P ty r r r t 低阻尼低阻尼y- t曲線曲線 無阻尼無阻尼y- t曲線曲線 yst y(t) t 0 23 45 y(t) t 0 23 45 靜 力 平 衡 位 置 具有阻尼的體系在具有阻尼的體系在 突加荷載作用下，突加荷載作用下， 最初所引起的最大最初所引起的

44、最大 位移接近于靜位移位移接近于靜位移 yst=P0/m2的兩倍，的兩倍， 然后逐漸衰減，最然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡后停留在靜力平衡 位置。位置。 （2）簡諧荷載簡諧荷載P(t)=Fsint 2 2sin F yyyt m & & 設特解為：設特解為：y=Asin t +Bcos t 代入得代入得： 222222222222 22 4)( 2 , 4)( m F B m F A 12 cossinsincos t rr yeCtCtAtBt 齊次解加特解得到通解：齊次解加特解得到通解： 自由振動，因阻尼作用，自由振動，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。逐漸衰減、消失。 純強迫振動，平穩(wěn)振

45、動，純強迫振動，平穩(wěn)振動， 振幅和周期不隨時間而變化。振幅和周期不隨時間而變化。 結論結論：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純：在簡諧荷載作用下，無論是否計入阻尼的作用，純 強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。強迫振動部分總是穩(wěn)定的周期運動，稱為平穩(wěn)振動。 y=Asin t +Bcos t =yPsin(t ) 2 1 2 2 2 2 2 2 22 )(1 )(2 ,41 2 1 tgyBAy stP 振幅振幅：yp， 最大靜力位移最大靜力位移：yst=F/k=F/m2 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2 41 st P y y 2 1 2 2 2 2 2 2

46、 41 動力系數(shù)動力系數(shù)與頻率比與頻率比/和阻尼比和阻尼比有關有關 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.02.03.0 / =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.5 =1.0 幾點注意：幾點注意： 隨隨增大增大曲線漸趨平緩，曲線漸趨平緩， 特別是在特別是在/=1附近附近的的 峰值下降的最為顯著峰值下降的最為顯著。 2 1 共振時共振時 當當接近接近 時，時， 增加很快，增加很快， 對對 的數(shù)值影響也很大的數(shù)值影響也很大。在在0.75 / 1.25( (共振區(qū)共振區(qū)) )內(nèi)，阻尼大大減小了內(nèi)，阻尼大大減小了 受迫振動的位移，受迫振動的位移，因此因此, , 為了研究共為了研究共 振時的動力

47、反映振時的動力反映, , 阻尼的影響是不容阻尼的影響是不容 忽略。忽略。在共振區(qū)之外阻尼對在共振區(qū)之外阻尼對的影響的影響 較小，可按無阻尼計算。較小，可按無阻尼計算。 max max并不發(fā)生在共振 并不發(fā)生在共振/= =1 1時，而發(fā)生在，時，而發(fā)生在， 由由y=yPsin(t ) 可見，阻尼體系的可見，阻尼體系的 位移比荷載位移比荷載P=Fsin t 滯后一個相位角滯后一個相位角 ， 2 1 ,1 1 max 峰 2 1 )(1 )(2 tg 但因但因很小，可近似地認為：很小，可近似地認為： 2 21 當當時時,180體系振動得很快，體系振動得很快，F(xiàn)I很大，很大，S、R相對說來較小，動荷相

48、對說來較小，動荷 主要由主要由FI 平衡，平衡， FI 與與y同向，同向，y與與P反向；反向； 彈性力彈性力S，慣性力慣性力FI， 阻尼力阻尼力R分別為：分別為： 2 sin,sin, sin,cos pp I pp yytSkykyt FmymytRcyc yt & & t sin 2 1 tFsinm2 2 當當=時時,90 由此可見：共振時（由此可見：共振時（=），），S與與FI剛好互相平衡，剛好互相平衡， yst 2 1 )(1 )(2 tg 有無阻尼均如此。動荷恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會出現(xiàn)內(nèi)有無阻尼均如此。動荷恰與阻尼力平衡，故運動呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會出現(xiàn)內(nèi) 力為無窮大的情況。

49、而在無阻尼受迫振動時，因不存在阻尼力與動荷載力為無窮大的情況。而在無阻尼受迫振動時，因不存在阻尼力與動荷載 平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。平衡，才出現(xiàn)位移為無限大的現(xiàn)象。 k=m2=m2 2 m F )90sin( 0 tkyS P )90sin( 02 tymF P I )90cos( 0 tycycR P tym P sin2 2 sin, sin, sin, cos p p I p p yyt Skykyt Fmymyt Rcyc yt & & & 2-5 2-5 單自由度體系的地震作用單自由度體系的地震作用 根據(jù)達倫貝爾原理，單自由度彈性體系運動方程為根據(jù)達倫貝爾原理，單自由度彈性體

50、系運動方程為 體系上無干擾力，僅有地震引起的水平地面運動時體系上無干擾力，僅有地震引起的水平地面運動時 即即 令令 2 /k m 22 cc mkm 有有 mx tcx tkx tP t & & 0 g m xtx tcx tkx t & & & - g mx tcx tkx tmxt& & & 2 2- g x tx tx txt& & & 常系數(shù)二階非齊次方程，其解包括兩部分：一部分是與方程相常系數(shù)二階非齊次方程，其解包括兩部分：一部分是與方程相 對應的齊次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表體對應的齊次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表體 系的自由振動，后者代表體系在地震作

51、用下的強迫振動。系的自由振動，后者代表體系在地震作用下的強迫振動。 （1 1）齊次方程的通解）齊次方程的通解 00 0 cossin t xx x textt & （2 2）地震作用下運動方程的特解（杜哈梅積分）地震作用下運動方程的特解（杜哈梅積分） () 0 1 ( )sin() t t g x txt etd & & 2 2- g x tx tx txt& & & 單自由度彈性體系在地震作用下相對于地面的速度反應為（初單自由度彈性體系在地震作用下相對于地面的速度反應為（初 速度和初位移均為速度和初位移均為0 0） 單自由度體系的絕對加速度單自由度體系的絕對加速度 () 0 () 0 ( )cos() sin() t t g t t g x txt etd xt etd & & & & () 0 22 () 0 2 () 0 ( )( )2cos() 2 sin() sin() t t gg t t g t