新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)

1、 掌握平面向量在解析幾何、三角函掌握平面向量在解析幾何、三角函 數(shù)及數(shù)列等方面的綜合應(yīng)用數(shù)及數(shù)列等方面的綜合應(yīng)用.平面向量平面向量 是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為 多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，本講主要梳理平面多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，本講主要梳理平面 向量與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列的向量與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列的 交匯，突出培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量工具綜交匯，突出培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量工具綜 合解決問題的能力合解決問題的能力. 1.設(shè)設(shè)a、b是非零向量是非零向量,若函數(shù)若函數(shù)f(x)=(xa+b)(a-xb) 的圖象是一條直線，則必有的圖象是一條直線，則必有( )A A.ab B.ab C.|

2、a|=|b| D.|a|b| 因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)=(xa+b)(a-xb) =xa2-x2ab+ab-xb2 =-x2ab+(a2-b2)x+ab， 且且f(x)的圖象是一條直線的圖象是一條直線,所以所以ab=0ab. 2.設(shè)向量設(shè)向量a、b、c滿足滿足a+b+c=0,且且 ab,|a|=|b|=2，則，則|c|2=( )C A.1 B.2 C.8 D.5 因?yàn)橐驗(yàn)閍b ab=0, 則由則由a+b+c=0 c=-(a+b), 所以所以|c|2=cc=|a|2+2ab+|b|2=8. 3 . 已 知已 知 | a | = 2 | b | 0 ， 且 關(guān) 于， 且 關(guān) 于 x 的 方 程的 方 程

3、x2+|a|x+ab=0有實(shí)根，則有實(shí)根，則a與與b的夾角的取的夾角的取 值范圍是值范圍是( )B A.0， B. ， C. ， D. ， 6 6 3 2 3 3 依題意得依題意得,=|a|2-4ab0 ab |a|2, 所以所以cosa，b= = , 所以所以a,b ,. 1 4 | | a b ab 2 2 1 | 4 1 | 2 a a 1 2 3 4.(2009廣東卷）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)廣東卷）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè) 力力F1,F2,F3(單位：牛頓單位：牛頓)的作用而處于平衡的作用而處于平衡 狀態(tài)狀態(tài).已知已知F1,F2成成60角，且角，且F1,F2的大小的大小 分別為分別為2和

4、和4，則，則F3的大小為的大小為( ) D A. 6 B. 2 C. 2 D. 2 57 F32=F12+F22-2|F1|F2|cos(180-60)=28, 所以所以|F3|=27，選，選D. 5.三棱錐三棱錐P-ABC中，已知中，已知PA、PB、PC 與底面與底面ABC所成的角都等于所成的角都等于(0 )， O為為P在底面在底面ABC上的射影，且上的射影，且3 +4 +5 =0，則，則ABC的內(nèi)角的內(nèi)角C=（ ） 2 B OA OB OC A. B. C. D. 6 4 3 2 由由PA、PB、PC與底面與底面ABC所成的所成的 角都相等，則射影角都相等，則射影O為為ABC的外心，的外心

5、， 即即| |=| |=| |,C= AOB(圓周角圓周角 等于對應(yīng)圓心角的一半）等于對應(yīng)圓心角的一半）. 又又3 +4 =-5 ， 平方得平方得9 2+16 2+24 =25 2, 即即 =0，AOB= ，則，則C= . OA OB OC 1 2 OA OB OC OA OB OA OB OC OA OB 2 4 1.向量中向量中“數(shù)與形數(shù)與形”轉(zhuǎn)化化歸思想轉(zhuǎn)化化歸思想 向 量 既 有 大 小 ， 又 有 方 向 ， 兼 備向 量 既 有 大 小 ， 又 有 方 向 ， 兼 備 “數(shù)數(shù)”“”“形形”雙重特點(diǎn)雙重特點(diǎn).向量運(yùn)算均有相應(yīng)的向量運(yùn)算均有相應(yīng)的 幾何性質(zhì)，因此有關(guān)幾何性質(zhì)的問題可通過

6、幾何性質(zhì)，因此有關(guān)幾何性質(zhì)的問題可通過 向量或其運(yùn)算轉(zhuǎn)化化歸為代數(shù)問題分析、探向量或其運(yùn)算轉(zhuǎn)化化歸為代數(shù)問題分析、探 究究. 2.向量的工具性作用向量的工具性作用 線段的長線段的長,直線的夾角直線的夾角,有向線段的分點(diǎn)位有向線段的分點(diǎn)位 置，圖形的平移變換均可用向量形式表示置，圖形的平移變換均可用向量形式表示,從從 而向量具有工具性作用而向量具有工具性作用.可以用向量來研究幾可以用向量來研究幾 何問題何問題,利用其運(yùn)算可以研究代數(shù)問題利用其運(yùn)算可以研究代數(shù)問題. 3.向量載體的意義向量載體的意義 函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何 問題常常由向量形式給出，即以向量為問

7、題常常由向量形式給出，即以向量為 載體，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化化歸為載體，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化化歸為 相應(yīng)的函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾相應(yīng)的函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾 何問題，這就是向量載體的意義何問題，這就是向量載體的意義.這類問這類問 題情境新穎，處在知識的交匯點(diǎn)，需要題情境新穎，處在知識的交匯點(diǎn)，需要 綜合應(yīng)用向量、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、綜合應(yīng)用向量、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、 解析幾何知識分析、解決問題解析幾何知識分析、解決問題. 例例1 在 直 角 坐 標(biāo) 平 面 中 ， 已 知 點(diǎn)在 直 角 坐 標(biāo) 平 面 中 ， 已 知 點(diǎn) P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),

8、Pn(n,2n)，其中，其中n 是正整數(shù)是正整數(shù).對平面上任一點(diǎn)對平面上任一點(diǎn)A0，記，記A1為為A0關(guān)關(guān) 于點(diǎn)于點(diǎn)P1的對稱點(diǎn)，的對稱點(diǎn)，A2為為A1關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P2的對稱的對稱 點(diǎn)，點(diǎn)，An為為An-1關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Pn的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn). (1)求向量求向量 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)A0在曲線在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A2的軌跡的軌跡 是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，其中的圖象，其中f(x)是以是以3為為 周期的周期函數(shù)，且當(dāng)周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x(0,3時(shí)，時(shí)， f(x)=lgx，求以曲線，求以曲線C為圖象的函數(shù)在為圖象的函數(shù)在 (1,4上的解析式；上的解析式； (3)對任意

9、正偶數(shù)對任意正偶數(shù)n,用用n表示向量表示向量 的坐標(biāo)的坐標(biāo). 02 A A 0n A A (1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A0(x,y)，A0關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) P1(1，2)的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 A1(2-x,4-y),A1關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P2(2，22)的的 對稱點(diǎn)對稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為A2(2+x,4+y). 所以所以 =(2,4). 02 A A (2)(方法一方法一) 因?yàn)橐驗(yàn)?=(2,4)，所以，所以f(x)的圖象由曲線的圖象由曲線C向向 右平移右平移2個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單個(gè)單 位長度得到位長度得到. 因此因此,曲線曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=g(x)的圖象的圖象,

10、其中其中g(shù)(x) 是以是以3為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù),且當(dāng)且當(dāng)x(-2,1 時(shí)，時(shí)，g(x)=lg(x+2)-4. 于是，當(dāng)于是，當(dāng)x(1,4時(shí)，時(shí)，g(x)=lg(x-1)-4. 02 A A (方法二方法二) 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A0(x,y),A2(x2,y2),于是于是 x2-x=2 y2-y=4. 若若3x26，則，則0 x2-33, 于是于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3), 當(dāng)當(dāng)1x4時(shí)，則時(shí)，則3x26,y+4=lg(x-1), 所以當(dāng)所以當(dāng)x(1,4時(shí)，時(shí)，g(x)=lg(x-1)-4. (3) = + + . 因?yàn)橐驗(yàn)?=2 ,得得 =2( + + ) =2(1,2

11、)+(1,23)+(1,2n-1) =2( , )=(n, ). 0n A A 02 A A 24 A A 2nn AA 222kk AA 212kk AA 0n A A 12 PP 34 PP 1nn P P 2 n 2(21) 3 n 4(21) 3 n 本題是向量與函數(shù)、數(shù)列的交匯，涉本題是向量與函數(shù)、數(shù)列的交匯，涉 及的知識點(diǎn)較多，比如：對稱、周期函數(shù)、及的知識點(diǎn)較多，比如：對稱、周期函數(shù)、 圖象平移、首尾相接的向量之和、等比數(shù)圖象平移、首尾相接的向量之和、等比數(shù) 列求和以及中位線等等，這是一道融函數(shù)列求和以及中位線等等，這是一道融函數(shù) 意識和數(shù)列意識于一起的好題意識和數(shù)列意識于一起的

12、好題. 例例2 設(shè)設(shè)a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin), c=(1,0)，其中，其中(0,),(,2),a與與c的夾角的夾角 為為1,b與與c的夾角為的夾角為2,且且1-2= ,求求sin 的值的值. 6 4 a=(2cos2 ,2sin cos ) =2cos (cos ,sin ), b=(2sin2 ,2sin cos ) =2sin (sin ,cos ), 因?yàn)橐驗(yàn)?0,),(,2), 所以所以 (0, ), ( ,), 故故|a|=2cos ,|b|=2sin , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos1= = =cos

13、,所以所以1= ； cos2= = =sin =cos( - ), 因?yàn)橐驗(yàn)? - ,所以所以2= - ,又又1-2= , 所以所以 - + = ，故，故 =- , 所以所以sin =sin(- )=- . | | c ac 2 2cos 2 2cos 2 2 2 2 2 | | b c bc 2 2cos 2 2cos 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 6 2 3 4 6 1 2 本題是向量與三角函數(shù)結(jié)合的綜合題，本題是向量與三角函數(shù)結(jié)合的綜合題， 關(guān)鍵是利用數(shù)量積，將關(guān)鍵是利用數(shù)量積，將1、2轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成、， 求得結(jié)果求得結(jié)果. 例例3 (1)如圖，如圖，OMAB，點(diǎn)，點(diǎn)P在射線

14、在射線 OM、線段、線段OB及及AB的延長線圍成的陰影的延長線圍成的陰影 區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)(不含邊界不含邊界),且且 =x +y ,則實(shí)則實(shí) 數(shù)對數(shù)對(x,y)可以是可以是( ) OP OA OB A.( , ) B.(- , ) C.(- , ) D.(- , ) 1 4 3 4 2 3 2 3 1 4 3 4 1 5 1 5 C (2)已知非零向量已知非零向量 與與 滿足滿足 ( + ) =0,且且 = , 則則ABC為為( ) AB AC | AC AC | AB AB BC | AB AB | AC AC 1 2 A.三邊均不相等的三角形三邊均不相等的三角形 B.直角三角形直角三角形 C.

15、等腰非等邊三角形等腰非等邊三角形 D.等邊三角形等邊三角形 D (1)(方法一方法一) 特別地，設(shè)特別地，設(shè)ABO是是 正三角形正三角形.因?yàn)闈M足選項(xiàng)因?yàn)闈M足選項(xiàng)A 的點(diǎn)的點(diǎn)P在線段在線段AB上，故排上，故排 除除A；由于；由于OM是是BOC的平分線的平分線,所以滿足所以滿足 選項(xiàng)選項(xiàng)B的點(diǎn)的點(diǎn)P恰好在射線恰好在射線OM上上,也不合要求也不合要求; 對于選項(xiàng)對于選項(xiàng)D來說來說,作作 =- , = ，并，并 以以O(shè)C與與OD為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形OCPD(如圖如圖 所示所示)，則點(diǎn)，則點(diǎn)P滿足滿足 =- + . OC OB OA 1 5 OD 7 5 OP OA 1 5 OB 7

16、5 由于由于|BD|=2|OC|=2|PD|，取，取BD的中點(diǎn)的中點(diǎn)E, 連接連接PE,易知易知PEAB,從而點(diǎn)從而點(diǎn)P在陰影區(qū)域在陰影區(qū)域 外外,所以選項(xiàng)所以選項(xiàng)D也不符合題意也不符合題意,故選故選C. (方法二方法二)易知易知x0，如圖，如圖 所示延長所示延長AO至至C使使 =x ， 再過點(diǎn)再過點(diǎn)C作作OB的平行線與的平行線與 OM、AB的延長線分別交于的延長線分別交于 P1、P2， OC OA 則點(diǎn)則點(diǎn)P一定在線段一定在線段P1P2上上(不含兩端點(diǎn)不含兩端點(diǎn)). 過點(diǎn)過點(diǎn)P1、P、P2分別作分別作OA的平行線交的平行線交 OB及延長線于及延長線于E、F、D， 則則y= . 由由COP1O

17、AB 得得 = = =-x, 同理同理 =-x，所以，所以O(shè)D=(-x+1)OB, 即即 =1-x，故，故y(-x,1-x)，所以答，所以答 案選案選C. OF OB OF OB 1 CP OB OC AO BD OB OD OB (2)(方法一方法一)根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，本題可 采用驗(yàn)證法來處理，不妨先驗(yàn)證等邊三角采用驗(yàn)證法來處理，不妨先驗(yàn)證等邊三角 形，剛好適合題意，則可同時(shí)排除其他三形，剛好適合題意，則可同時(shí)排除其他三 個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選個(gè)選擇項(xiàng)，故答案必選D. (方法二方法二)由于由于 + 所在直線穿過所在直線穿過ABC 的內(nèi)心的內(nèi)心,則由則由( + )

18、 =0知知,| |=| | (等腰三角形的三線合一定理等腰三角形的三線合一定理)； 又又 = ,所以所以A= ,即即ABC為等邊為等邊 三角形，故選三角形，故選D. AB AC | AC AC | AB AB BC | AB AB | AC AC | AB AB | AC AC 1 23 (1)方法一與方法二都運(yùn)用了特方法一與方法二都運(yùn)用了特 殊化的思想，不同的是前者側(cè)重于用殊化的思想，不同的是前者側(cè)重于用 排除法，而后者側(cè)重于運(yùn)算；方法二排除法，而后者側(cè)重于運(yùn)算；方法二 雖然在本題的處理中顯得有點(diǎn)繁鎖，雖然在本題的處理中顯得有點(diǎn)繁鎖， 但若背景換成填空題，則這種方法就但若背景換成填空題，則這

19、種方法就 顯得很重要了顯得很重要了. (2)方法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而方法一抓住了該題選擇項(xiàng)的特點(diǎn)而 采用了驗(yàn)證法，是處理本題的巧妙方法；采用了驗(yàn)證法，是處理本題的巧妙方法； 方法二要求學(xué)生能領(lǐng)會(huì)一些向量表達(dá)式與方法二要求學(xué)生能領(lǐng)會(huì)一些向量表達(dá)式與 三角形某個(gè)三角形某個(gè)“心心”的關(guān)系的關(guān)系,如如 + 所在所在 直線一定通過直線一定通過ABC的內(nèi)心；的內(nèi)心； + 所在直所在直 線過線過BC邊的中點(diǎn)，從而一定通過邊的中點(diǎn)，從而一定通過ABC的的 重心；重心； + 所在直線一定通過所在直線一定通過 ABC的垂心等的垂心等. AB AC | AB AB | AC AC | cos AB ABB |

20、 cos AC ACC 已知雙曲線已知雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為F， 過點(diǎn)過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交于的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（1，0），證），證 明：明： 為常數(shù)為常數(shù). CA CB 由條件，知由條件，知F(2,0).設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 當(dāng)當(dāng)AB與與x軸垂直時(shí)，可知點(diǎn)軸垂直時(shí)，可知點(diǎn)A、B 坐標(biāo)分坐標(biāo)分 別為別為(2, ）、）、(2,- ), 此時(shí)此時(shí) =(1, ）(1,- )=-1. 22 CA CB 22 當(dāng)當(dāng)AB不與不與x軸垂直時(shí)軸垂直時(shí),設(shè)直線設(shè)直線AB的方程是的方程是 y=k(x-2)(k1), 代入代入

21、x2-y2=2，有，有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0, 則則x1、x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根， 所以所以x1+x2= ，x1x2= . 于是于是 =(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 = - +4k2+1 =-4k2-2+4k2+1=-1.綜上所述綜上所述, 為常數(shù)為常數(shù)-1. 2 2 4 1 k k 2 2 42 1 k k CA CB 22 2 (1)(42) 1 kk k 22 2 4(21) 1 kk k CA CB 1.由于向

22、量具有由于向量具有“數(shù)數(shù)”“”“形形”雙重身雙重身 份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常 與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何知與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何知 識相結(jié)合，綜合解決相關(guān)問題識相結(jié)合，綜合解決相關(guān)問題. 2.利用化歸思想將共線、平行、垂直、利用化歸思想將共線、平行、垂直、 平移變換及定比分點(diǎn)向向量的坐標(biāo)運(yùn)算平移變換及定比分點(diǎn)向向量的坐標(biāo)運(yùn)算 方向轉(zhuǎn)化，線段的長、夾角向向量數(shù)量方向轉(zhuǎn)化，線段的長、夾角向向量數(shù)量 運(yùn)算轉(zhuǎn)化，建立幾何與代數(shù)之間互相轉(zhuǎn)運(yùn)算轉(zhuǎn)化，建立幾何與代數(shù)之間互相轉(zhuǎn) 化的橋梁化的橋梁. 學(xué)例1 (2009安徽卷安徽卷)給定兩個(gè)長度為給定兩

23、個(gè)長度為1的的 平面向量平面向量 和和 ,它們的夾角為它們的夾角為120.如如 圖所示，點(diǎn)圖所示，點(diǎn)C在以在以O(shè)為圓心的圓弧為圓心的圓弧AB上變上變 動(dòng)動(dòng).若若 =x +y ，其中，其中x,yR，則，則x+y 的最大值是的最大值是 . OA OB OC OA OB 2 （方法一）設(shè)（方法一）設(shè)AOC=. =x +y =x +y , cos=x- cos(120-)=- x+y, 所以所以x+y=2cos+cos(120-) =cos+3sin=2sin(+ )2， 當(dāng)當(dāng)= 時(shí)取等號時(shí)取等號. 因?yàn)橐驗(yàn)?OC OA OC OB OA OA OB OA OA OB OB OB 即即 2 y 1 2 6 3 (方法二方法二)建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系, 則則A(1,0),B(- , ), C(cos,sin). 由由