二項(xiàng)式定理典型例題

1、二項(xiàng)式定理典型例題 篇一：二項(xiàng)式定理十大典型例題配套練習(xí) 中國(guó)領(lǐng)先的共性化訓(xùn)練品牌 精銳訓(xùn)練學(xué)科老師輔導(dǎo)講義 篇二：二項(xiàng)式定理學(xué)問(wèn)點(diǎn)及跟蹤典型例題 二項(xiàng)式定理學(xué)問(wèn)點(diǎn)及典例跟蹤練習(xí)（含答案） 重點(diǎn)，難點(diǎn)解析 1嫻熟把握二項(xiàng)式定理和通項(xiàng)公式，把握楊輝三角的結(jié)構(gòu)規(guī)律 二項(xiàng)式定理: 式系數(shù)（0rn）.通項(xiàng)用Tr+1表示，為綻開式的第r+1項(xiàng)，且 2把握二項(xiàng)式系數(shù)的兩條性質(zhì)和幾個(gè)常用的組合恒等式. 對(duì)稱性： 增減性和最大值: 先增后減.n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 . ；n為奇, 叫二項(xiàng) , 留意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)分. 數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為 例題分析: 一、與通項(xiàng)有

2、關(guān)的一些問(wèn)題 例1在的綻開式中，指出 1）第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 2）第4項(xiàng)的系數(shù) 3）求常數(shù)項(xiàng) 解: 綻開式的通項(xiàng) 1） ，二項(xiàng)式系數(shù)為 ； . ； 為綻開式中的第r+1項(xiàng). 2）由1）知項(xiàng)的系數(shù)為 3）令6-3r=0, r=2, 常數(shù)項(xiàng)為 例2若 的綻開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求綻開式中的有理項(xiàng). 分析: 通項(xiàng)為, 1 前三項(xiàng)的系數(shù)為，且成等差， 即 解得:n=8. 從而 ，要使Tr+1為有理項(xiàng)，則r能被4整除. 例31）求 解: 的常數(shù)項(xiàng)；2）求(x2+3x+2)5的綻開式中x的系數(shù). 1） 令6-2r=0, r=3, 常數(shù)項(xiàng)為 通項(xiàng) . ， 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x

3、+2)5 綻開式中含x項(xiàng)由(x+1)5中常數(shù)項(xiàng)乘(x+2)5的一次項(xiàng)與(x+1)5的一次項(xiàng)乘(x+2)5的常數(shù)項(xiàng)相加得到.即為 ，因而其系數(shù)為240. 例4(a+b+c)10的綻開式中，含a5b3c2的系數(shù)為_. 10 分析:依據(jù)多項(xiàng)式相乘的特點(diǎn)，從(a+b+c)的十個(gè)因式中選出5個(gè)因式中的a，三個(gè)因式中的b，兩個(gè)因式中的c得到，從而abc的系數(shù)為 例5(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100的綻開式中x3的系數(shù)為_. 分析: （法一）綻開式中x項(xiàng)是由各二項(xiàng)綻開式中含x項(xiàng)合并而形成.因而系數(shù)為 3 3 532 . 2 （法二）不妨先化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，由等比數(shù)列求和公式:原式 = 要

4、求x3項(xiàng)只要求分子的x4項(xiàng)，因而它的系數(shù)為 二、有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù) 的問(wèn)題. . , 例6(2x+xlgx)8的綻開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為1120，則x=_. 分析:二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第5項(xiàng)， 解得:x=1或. 例7的綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng). 分析:綻開式中項(xiàng)的系數(shù)不同于二項(xiàng)式系數(shù)，只能用數(shù)列的分析方法. 設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大， 則 三、賦值法: 例8已知 解得:， r=7, 因而第8項(xiàng)系數(shù)最大. 1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析: 1）可以把(1-2x)

5、5用二項(xiàng)式定理綻開求解.從另一個(gè)角度看，a0為x=0時(shí)右式的結(jié)果，因而令x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令x=1, 則(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令x=1，得a0+a1+a2+a5=-1 (*) 令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 3 4）聯(lián)立(*),(*)兩方程，解得a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即為(1+2x)5的綻開式的全部系數(shù)和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)

6、5=35=243. 小結(jié):求綻開式的系數(shù)和只需令x=1可解； 賦值法也需合情合理的轉(zhuǎn)化. 例9已知?jiǎng)tn=_. 分析:令x=1，則 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5. 例10求 分析: 討論其通項(xiàng) . n , 其中b0+b1+b2+bn=62, , 的綻開式中有理項(xiàng)系數(shù)的和. 明顯當(dāng)r=2k(kZ)時(shí)為有理項(xiàng).因而它的有理項(xiàng)系數(shù)和即為(2+t)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和. 設(shè) (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn 令t=1，即3n=a0+a1+a2+an令t=-1， 即1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上兩式相加，解得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 四、逆用公式 . 432 例11求

7、值S=(x-1)+4(x-1)+6(x-1)+4(x-1)+1 解 : 例12求值: 原式= 4 五、應(yīng)用問(wèn)題 2n+2 例13求證:3-8n-9能被64整除. 證明: 能被64整除. 92 例1491除以100的余數(shù)為_. 分析:9192=(90+1)92 被91100除的余數(shù)為81. 小結(jié):若將91整理成(100-9) 92 92 92 隨之而來(lái)又引出一新問(wèn)題，即992被100除的余數(shù)是多少，所以運(yùn)算量較大. 例15求0.9983的近似值（精確到0.001) 解 : 選擇題 1(a+b+i)10的綻開式中含ab的項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A、 B、 C、 D、 2在（1-x）(1+x)的綻開式中，

8、x的系數(shù)是（ ） A、-297 B、-252 C、297 D、207 3假如綻開式(1+x)2(1-x+x2)k中，x3的系數(shù)是0，那么自然數(shù)k的值是（ ） A、2B、3 C、4 D、5 5 篇三：二項(xiàng)式定理經(jīng)典習(xí)題及答案 二項(xiàng)式定理 1. 求(x? 2 19 )綻開式的： 2x （1）第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)； （2）第3項(xiàng)的系數(shù)； （3）x的系數(shù)。 5 分析：（1）由二項(xiàng)式定理及綻開式的通項(xiàng)公式易得：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C9?126； 9 （2）T3?C9?(x)?(?（3）Tr?1?C9?(x)系數(shù)是(?)C9? 51 227 12 )?9x12，故第3項(xiàng)的系數(shù)為9； 2x 1r1r)?(?)

9、rC9?x18?3r，令18?3r?9，故r3，所求2x2 r29?r ?(? 1 2 33 21 2 2. 求證：51?1能被7整除。 01515151 分析：5151?1?(49?2)51?1?C514951?C514950?2?C5149?250?C512?1，5151除C512?1以外各項(xiàng)都能被7整除。 510171161617 又C51?251?1?(23)17?1?(7?1)17?1?C177?C177?C177?C17?1 明顯能被7整除，所以51?1能被7整除。 3. 求91除以100的余數(shù)。 019192分析：9192?(90?1)92?C92 9092?C929091?C9

10、290?C92 9192由此可見，除后兩項(xiàng)外均能被100整除，而C9290?C92?8281?82?100?81 92 51 故91除以100的余數(shù)為81。 4.（2021 北京卷文）若(14?a?a,b為有理數(shù)），則a?b?A33 B 29C23 D19 【答案】B 【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其綻開式. 屬于基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本運(yùn)算的考查. .w 92 1? 4 ?C 04 ?C 14 ?C 1 24 2 ?C 34 ?C 3 44 4 ?1?12?4?17? 由已知，得17?a?a?b?17?12?29.故選B. 5.（2021北京卷理） 若(15?a?a,b為有理數(shù)），則a?b?（ ）

11、A45 B55C70D80 【答案】C 【解析】本題主要考查二項(xiàng)式定理及其綻開式. 屬于基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本運(yùn)算的考查. ? 15 ?C 05 ?C 15 ?C 1 25 2 ?C 35 ?C 3 45 4 ?C 55 5 ?1?20?20?41? 由已知，得41?a?a?b?41?29?70.故選C. 6. 已知(x? 12x )n的綻開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的肯定值依次成等差數(shù)列。 （1）證明綻開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；（2）求綻開式中全部的有理項(xiàng)。 分析：依條件可得關(guān)于n的方程求出n，然后寫出通項(xiàng)Tr?1，商量常數(shù)項(xiàng)和有理項(xiàng)對(duì)r的限制。 解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的肯定值分別為1，Cn()，Cn() 1 12

12、2 12 2 且 1112 2Cn?()?1?Cn?()2 22 即n?9n?8?0 解得n8或n1（舍去） 2 ?Tr?1?C(x) r 8 8?r 3r C8r16? (?)?(?1)rx4 22x 1 rr （1）若Tr?1為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)綻開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。 （2）若Tr?1為有理數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) 16?3r ?0，即3r?16，而r?Z，這不行能，故416?3r 為整數(shù)。 4 ?0?r?8，r?Z ?r?0,4,8，即綻開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，T1?x4，T5? 12 7. （1）假如1?2Cn?22Cn? 351?2 x，T9?x 8256 n012n ?2nCn?2187，則Cn?

13、Cn?Cn?Cn? n?1n （答：(n?2)?2） ?(n?1)Cn 9 ?a9x，則a0?a1?|a2|? 128）； 012 （2）化簡(jiǎn)Cn?2Cn?3Cn?92已知(1?3x)?a0?a1x?a2x? ?|a9|等于_ （答：4）； （2）(1?2x)2021?a0?a1x?a2x2? )?a2021x2021，則(a0?a1)?(a0?a2 （答：2021）；（3）設(shè)(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2?a2nx2n,?(a0?a2021)_則a0?a2?a2n 9 3n?1 ）。 ?_（答：2 8（湖南理15）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)

14、表從上 往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，?，第n次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行1 1 第2行101 第3行 1111 第4行 10001 第5行110011 ? 圖1 【答案】2?1，32 9（04. 上海春季高考）如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第 _34 _行中從左至右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2:3. 第0行 1 n 第1行11 第2行 121 3行1331 第 第4行 14641 第5行15 10 10 51 ? ? 10.（2021江西卷理）(1?ax?by)n綻開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)肯定值的和為243，不含y

15、的項(xiàng)的系數(shù)肯定值的和為32，則a,b,n的值可能為 Aa?2,b?1,n?5Ba?2,b?1,n?6 Ca?1,b?2,n?6Da?1,b?2,n?5. 答案：D 【解析】(1?b)n?243?35，(1?a)n?32?25，則可取a?1,b?2,n?5，選D 11.(2021_卷理) 設(shè)n? ?x)2n?a0?a1x?a2x2?.?a2n?1x2n?1?a2nx2n，則2 lim(a0?a2?a4?.?a2n)2?(a1?a3?a5?.?a2n?1)2? A.?1 B.0 C.1 D 【答案】B 【解析】令x? 0得a0?令x? 1時(shí)2n1?n 2 ?1)2n?a0?a1?a2?a2n 1)

16、2n?a0?a1?a2?a2n 令x? 1時(shí)?1)2n?1)2n 兩式相加得：a0?a2?a2n? 21)2n?1)2n 兩式相減得：a1?a3?a2n?1? 2 代入極限式可得，故選B 12.（2021_卷文）已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+a3x3,則. 【答案】40 r 【解析】由于Tr?1?C5?(ax)r.解得a?2,b?40 13.（2021四川卷文）(2x? m 16 )的綻開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）2x 【答案】20 1r )?(?1)rC6r26?2rx6?2r，令6?2r?0，得r?3 2x3 故綻開式的常數(shù)項(xiàng)為(?1)3C6?20 【解析】Tr?1?(?1)

17、C6(2x) r r 6?r ( 14.(2021湖南卷理) 在(1?x)3?(12?(1的綻開式中，x的系數(shù)為用數(shù)字作答) 【答案】：7 . 23【解析】 由條件易知(1?x)3,(13,(13綻開式中x項(xiàng)的系數(shù)分別是C1即3,C3,C3， 所求系數(shù)是3?3?1?7 15.（2021浙江卷理）觀看下列等式： 15 C5?C5?23?2， 159 C9?C9?C9?27?23， 15913C13?C13?C13?C13?211?25， 1593 C1C1?7?C1?7C?171C7 17 ?27?125， 1 由以上等式猜測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論： 159 對(duì)于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n

18、?1? * 4n?1 ?C4n?1?. 答案：2 4n?1 ?1?22n?1 n n 【解析】這是一種需類比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，其次項(xiàng)前有?1?，二項(xiàng)指 數(shù) 分 別 為 24n?1,22n?1 ， n 因此對(duì)于 n?N* ， 159 C4n?1?C4n?1?C4n?1? 4n?1 24n?1?1?22n?1 ?C4n?1? 16.在(x23x2)5的綻開式中，x的系數(shù)為 A.160 B.240 C.360 D.800 223310103 17.已知SC110(x?1)?C10(x?1)?C10(x?1)?C10(x?1)在S的綻開式中，x項(xiàng)的系數(shù)為 34A.C10?C10?C1

19、010 3452107B.C10?C10C14?C10C5?C10C10 C.0 D.1 18.(2021年全國(guó)高考題)(x2+1)(x-2)7的綻開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是_. 答案: 1008 19.(x?1)4?(x?1)5綻開式中x4的系數(shù)為 A.40 B.10 C.40 D.45 20.已知(x23x2)n綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992. (1)求綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng). 答案：(1)270x ? 223 (2)405x 263 1232nn?1 21.設(shè)n?N，則Cn?Cn6?Cn6?Cn6?。 12233nn 解：由二項(xiàng)式定理得1?C

20、n6?Cn6?Cn6?Cn6?(1?6)n，即1232nn?1 1?6(Cn?Cn6?Cn6?Cn6)?7n，故原式? 1n (7?1)。 6 22. 在(x?2)2021的二項(xiàng)綻開式中，含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)x?（ ） A.2 3008 3008 2時(shí)，S等于 B.?2 C.2 3009 D.?2 3009 解：令(x?2)2021?a0?a1x?a2x2?a3x3?a2021x2021?x2021， 取x? 2,x?2，分別得 a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3?x2021?0 a0?2a1?(2)2a2?(2)3a3?x2021?23009 兩式相減得2a1?(2)3a3?(2)2021a2021?23008 故選B項(xiàng)。 23. 農(nóng)民收入由工資性收入和其