驚訝,思考到感嘆

1、驚訝，思考到感嘆 -集合論悖論，第三次數(shù)學危機及其它 集合論的著名悖論： 1、自然數(shù)與正偶數(shù)誰多 2、伽利略悖論 3、希爾伯特旅館 4、香迪悖論 5、康托爾悖論 6、羅素悖論 7、巴拿赫-塔爾斯分球悖論 8、湯姆森燈悖論 9、布萊克玻璃球悖論 10、圓周率機 11、忒修斯的船 12、谷堆悖論 13、禿頭悖論 無窮統(tǒng)帥：康托爾 羅素（英國哲學家、 數(shù)學家、社會學家 。1950 年諾貝爾文學獎獲得者 ） Part one:集合論產(chǎn)生前的主要悖論： 部分=整體？ 自然數(shù)和正偶數(shù)誰多？ 自然數(shù)：1、2、3n 正偶數(shù)：1、4、62n 有多少個自然數(shù)，就有 多少個正偶數(shù)，但正 偶數(shù)又是自然數(shù)的一 部分！

2、伽利略悖論 自然數(shù)：1、2、3n 平方數(shù)：1、4、 9n2 仍然是整體與部分的關 系，究竟一個更大， 或是-相等？ 這樣的悖論產(chǎn)生的根本原因： 無限與無限可否比較？ 無限是否可以容納無限？ 希爾伯特旅館 狀況描述： 1、希爾伯特旅館有無限個房間 2、所有房間都住滿了人 3、又有無限個人想投宿 QUESTION: How to do? One of the keys: 所有在宿的人搬到房號為原來房號 兩倍的房間里，便可空出無限房間， 給新來的無限的人。 香迪悖論 情景描述： 1、香迪認為：“我”用兩年的時 間只寫了“我”生活中頭兩天 的事情，按照這個速度，我永 遠也寫不完自已的傳記。 2、羅素認

3、為：如果確實有“永遠” 存在的話，那么按那個速度， 香迪的傳記不會遺漏任何部分。 原因：香迪的每一天，都有 未來指定的一年去記錄， 絕無例外！ 再舉兩個例子拖延時間： Part two:康托爾集合論及其主要觀點 面對部分=整體；無限能否比 較等看似無法解決的問題或 難以解釋的悖論，康托爾克 服重重困難千辛萬 苦荊棘滿途終于， 終于，創(chuàng)立了-集合論。 康托爾是德國數(shù)學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日 生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。 康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世 大學，翌年入柏林大學，主修數(shù)學，1866年曾去格丁根學習一學期。 1867年

4、以數(shù)論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資 格考試，后在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。 集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，康托爾在研究函數(shù)論時產(chǎn)生了探索無窮集和 超窮數(shù)的興趣。康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對無窮問題進行了哲學 的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展打下了堅實 的基礎。 集合論的主要觀點： 1、定義：如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應的關 系，那么，集合M與集合N等勢或具有相同的基數(shù)。 （在數(shù)學上，基數(shù)(cardinal number)也叫勢(cardinality)，指集合論中刻畫任意集 合所含元素數(shù)量多少的一個

5、概念。） 2、與自然數(shù)集具有相同基數(shù)的集合，叫可數(shù)集，正偶數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)的 平方數(shù)集等，都是可數(shù)集。（所以，為什么部分=整體，簡單來說表達的是 “勢”或“基數(shù)”相等。） 3、實數(shù)集比可數(shù)集有更高的等級，他稱之為不可數(shù)集，并證明N維空間上的點 集都是不可數(shù)集。 4、（1891年成功證明）康托爾定理：對任意一個集合來說，它的冪集（即一個 集合所有子集組成的集合）基數(shù)總是大于原集基數(shù)。 5、還有一些原則比較深，不明，忽略掉 ALL IN ALL：20世紀初，整個數(shù)學界陶醉在“一切數(shù)學成果都可建立在集合論 上?！?Part 3:兩個悖論及第三次數(shù)學危機 1899年康托爾的最大基數(shù)悖論： 取S是一

6、切集合的集合，根據(jù)康托 爾定理，S的冪集基數(shù)大于S的基數(shù)。 但S是一切集合的集合，它的基數(shù) 不可能小于其他集合的基數(shù)。 1902年羅素悖論： 把所有集合分為2類，第一類中 的集合以其自身為元素，第二 類中的集合不以自身為元素， 假令第一類集合所組成的集合 為P，第二類所組成的集合為Q， 于是有： P=A AA Q=A AA（：不屬于的 符號，因為實在找不到） 問，QP 還是 QQ 這就是著名的“羅素悖論” ， 其直接導致了第三次數(shù)學危機！ 他仍然是羅素，只是換了發(fā)型 （明確說法） 羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排 中律，一個 元素或者屬

7、于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對 這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根 據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。 三大數(shù)學危機 其實，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。 1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數(shù)學起了 一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所 以，羅素悖論一提出就在當時的數(shù)學

8、界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心 地說：“一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好 把 我置于這個境地。”戴德金也因此推遲了他的什么是數(shù)的本質和作用一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的 數(shù) 學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數(shù)學危機。 危機產(chǎn)生后，數(shù)學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定 義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充 分 廣闊，使康托爾集合論中一切有價

9、值的內容得以保存下來?！?908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化 集 合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除 ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中 出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學而言有著更為深刻的影響。它使 得數(shù)學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學家面前，導致了數(shù)學家對數(shù)學基礎的研究。而這方面的進一步發(fā) 展又極其深刻地影響了整個數(shù)學。如圍繞著數(shù)學基礎之爭，形成了現(xiàn)代數(shù)學史上著名的三大數(shù)學

10、流派，而各派的工作又 都促進了數(shù)學的大發(fā)展等等。 常識補充：三大數(shù)學危機 NO.1：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)（希帕索斯悖論 ） 前人觀點：一切數(shù)均可表成整數(shù)或 整數(shù)之比 ！（源自畢達哥拉斯） 面臨問題：邊長為1的正方形其對 角線長度是多少呢？ 危機結束：開始重視演譯推理，并 由此建立了幾何公理體系 NO.2：無窮小是零嗎？ （貝克萊悖論 ） 疑點：無窮小dx既等于零又不等于 零，召之即來，揮之即去 ，微積分 的這種處理方式是否合理？ 危機解除：在阿貝爾、柯西、戴德 金和康托爾等數(shù)學家的努力下，微 積分有了嚴格的理論及定義基礎。 成果：偉大的數(shù)學分析的誕生！ NO.3：羅素悖論 通俗版：理發(fā)師悖論：理發(fā)師

11、宣布了這樣一條原則：他給所 有不給自己刮臉的人刮臉，并 且，只給村里這樣的人刮臉。 原因：當時人們認為：“一切 數(shù)學成果都可建立在集合論 上?！倍_素悖論簡潔到只涉 及集合概念本身外不涉及別的 概念。 危機（較為圓滿地）解除：公 理化集合論體系 ，如ZF系統(tǒng)， NBG系統(tǒng)等。 成果：現(xiàn)代三大數(shù)學流派- 邏輯主義、形式主義和直覺主 義 希帕索斯悖論與第一次數(shù)學危機 希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。 天文學家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用，同時也是人類最 早認識到的平

12、面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數(shù)學著作周髀算經(jīng)中就已有了關于這一定理的初步認識。不過， 在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。 在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達哥拉 斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。 畢達哥拉斯 畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數(shù)學家與哲學家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別： 畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學派的哲學

13、基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則 是這一學派的數(shù)學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數(shù)學信仰的“掘墓 人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā) 現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)2 的 誕生。小小2的出現(xiàn)，卻在當時的數(shù)學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數(shù)學信仰，使畢達哥拉斯學派 為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個

14、極大的 沖擊。這一結論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當時 是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的， 完全符合常識的論斷居然被小小的2的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根 本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數(shù)學史 上一場大的風波，史稱“第一次數(shù)學危機”。 歐多克索斯 二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作

15、已失傳，他的成果被保 存在歐幾里德幾何原本一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關 的一些結論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學危機。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無 理數(shù)而實現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù) 中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當作是附在幾何量上的單純符號，而不被當作真正的數(shù)。一直到18世紀，當數(shù) 學家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起 來后，無理數(shù)本質被徹

16、底搞清，無理數(shù)在數(shù)學園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的 認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學危機。 貝克萊悖論與第二次數(shù)學危機 第二次數(shù)學危機導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學工具為牛頓、萊 布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微 積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕

17、生時就遭到了一 些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。 1734年，貝克萊以“渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書分析學家；或一篇致一位不信 神數(shù)學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理。在這本書中，貝克萊對 牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說 x2 的導數(shù)，先將 x取一個不為0的增量 x ，由 (x + x)2 - x2 ，得到 2xx + (x2) ，后再被 x 除， 得到 2x + x ，最后突然令 x = 0 ，求得導數(shù)為 2x 。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。因

18、為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒 又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。 數(shù) 學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既 是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數(shù)學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。 牛頓與萊布尼茲 針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數(shù)學家們陷入了尷尬境地。一

19、方面微積分在應用中大 獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？ “幾代數(shù)學家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲 得了空前豐富。18世紀有時甚至被稱為“分析的世紀”。然而，與此同時十八世紀粗糙的，不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動 了數(shù)學家們的神經(jīng)。下面僅舉一無窮級數(shù)為例。 無窮級數(shù)S11111到底等于什么？ 當時人們認為一方面S（11）（11）0；另一方面，S1（11）（11）1，那么豈非01？這一矛盾竟使傅立葉那樣 的

20、數(shù)學家困惑不解，甚至連被后人稱之為數(shù)學家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯誤。他在得到 1 + x + x2 + x3 + . = 1/(1- x) 后，令 x = 1，得出 S1111112！ 由此一例，即不難看出當時數(shù)學中出現(xiàn)的混亂局面了。問題的嚴重性在于當時分析中任何一個比較細致的問題，如級數(shù)、積分的收斂性、微分積分的換序、 高階微分的使用以及微分方程解的存在性都幾乎無人過問。尤其到十九世紀初，傅立葉理論直接導致了數(shù)學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音， 把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數(shù)學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀，批判、系統(tǒng)化和嚴密論證的必要時期降臨了。 柯西 使分析基

21、礎嚴密化的工作由法國著名數(shù)學家柯西邁出了第一大步?？挛饔?821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本 概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的“算術化”。后來，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯 給出更為完善的我們目前所使用的“- ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在 當時情況下，由于實數(shù)的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。 柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系。 魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個數(shù) 學家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數(shù)學分析的無矛 盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數(shù)學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作 就這樣經(jīng)過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固