有效數(shù)字和誤差分析PPT學習教案

1、會計學1 有效數(shù)字和誤差分析有效數(shù)字和誤差分析 數(shù)值分析又稱計算方法或數(shù)值計算方法，數(shù)值分析又稱計算方法或數(shù)值計算方法， 是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的 數(shù)學課程，它數(shù)學課程，它研究的是各種數(shù)學問題的一類近研究的是各種數(shù)學問題的一類近 似解法似解法數(shù)值方法數(shù)值方法，即從一組，即從一組原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)（如（如 模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的模型中的某些參數(shù)）出發(fā)，按照確定的運算規(guī)運算規(guī) 則則進行進行有限步運算有限步運算，最終獲得數(shù)學問題數(shù)值形，最終獲得數(shù)學問題數(shù)值形 式的式的滿足精度要求滿足精度要求的的近似解近似解。 1.1 研究對象研究對象

2、 第1頁/共53頁 數(shù)值分析方法課程主要數(shù)值分析方法課程主要討論討論如何構造如何構造 求數(shù)學模型近似解的算法求數(shù)學模型近似解的算法，討論討論算法的數(shù)算法的數(shù) 學原理、誤差和復雜性學原理、誤差和復雜性，配合程序設計配合程序設計進進 行行計算試驗并分析試驗結果計算試驗并分析試驗結果。 與純數(shù)學的理論方法不同，用數(shù)值與純數(shù)學的理論方法不同，用數(shù)值 分析所求出的結果一般不是解的精確值分析所求出的結果一般不是解的精確值 或者準確的解析表達式，而是所求真解或者準確的解析表達式，而是所求真解 的的某些近似值或近似曲線。某些近似值或近似曲線。 第2頁/共53頁 實際問題數(shù)學模型數(shù)值計算方法 程序設計上機計算

3、數(shù)值結果 根據(jù)數(shù)學模型提出求解的數(shù)值計算方法 直到編出程序上機算出結果，這一過程便是 數(shù)值分析研究的對象 數(shù)值計算方法的任務數(shù)值計算方法的任務 第3頁/共53頁 數(shù)值計算方法的主要特點數(shù)值計算方法的主要特點 借助計算機提供切實可行的數(shù)學算法借助計算機提供切實可行的數(shù)學算法. 想想的精確度的精確度; ;收斂且穩(wěn)定收斂且穩(wěn)定; ;誤差可以分析或估計誤差可以分析或估計. . 所提出的算法必須具有：可靠的理論分析所提出的算法必須具有：可靠的理論分析; ; 理理 時間復雜性好時間復雜性好_指節(jié)省時間；指節(jié)省時間； 空間復雜性好空間復雜性好_指節(jié)省存儲量指節(jié)省存儲量 。 計算復雜性好計算復雜性好 通過數(shù)值

4、實驗證明算法行之有效通過數(shù)值實驗證明算法行之有效. . 第4頁/共53頁 F采用采用“近似替代近似替代”方法方法逼近逼近 F采用采用“構造性構造性”方法方法 F采用采用“離散化離散化”方法方法 把求連續(xù)變量的問題轉化為求離散變量的問題把求連續(xù)變量的問題轉化為求離散變量的問題 F采用采用“遞推化遞推化”方法方法 復雜的計算歸結為簡單過程的多次重復，易復雜的計算歸結為簡單過程的多次重復，易 于用循環(huán)結構來實現(xiàn)（迭代法）。于用循環(huán)結構來實現(xiàn)（迭代法）。 F采用各種采用各種搜索搜索方法方法 構造數(shù)值算法主要手段構造數(shù)值算法主要手段 第5頁/共53頁 1、數(shù)值逼近、數(shù)值逼近 插值與擬合、數(shù)值積分與微分插

5、值與擬合、數(shù)值積分與微分 2、數(shù)值代數(shù)、數(shù)值代數(shù) 線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方線性代數(shù)方程組的解法、非線性代數(shù)方 程（組）的解法程（組）的解法 3、微分方程數(shù)值解、微分方程數(shù)值解 ODE PDE 1.2 研究內(nèi)容研究內(nèi)容 第6頁/共53頁 1.3.1 誤差的來源與分類誤差的來源與分類 從實際問題中抽象出數(shù)學模型從實際問題中抽象出數(shù)學模型 模型誤差模型誤差 例例: :質量為質量為m的物體，在重力作用下的物體，在重力作用下, ,自由下落，自由下落， 其下落距離其下落距離s 與時間與時間t 的關系是：的關系是： mg dt sd m 2 2 其中其中 g 為重力加速度。為重力加速度。 1.3

6、誤差誤差 第7頁/共53頁 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 （截斷誤差）（截斷誤差） 例如，當函數(shù)例如，當函數(shù) f x 用 用 maclaurin 多項式多項式 ( ) 2 000 0 1!2! n n n fff Pxfxxx n 近似代替時，數(shù)值方法的截斷誤差是近似代替時，數(shù)值方法的截斷誤差是 (1) 1 (1)! n n nn f Rxf xPxx n 與與 0 0 之間。之間。 在 在x 第8頁/共53頁 機器字長有限機器字長有限 舍入誤差舍入誤差 用計算機、計算器和筆算，都只能用有限位用計算機、計算器和筆算，

7、都只能用有限位 = 3.1415926 小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來小數(shù)來代替無窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來 代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如： 1 0.3333 3 8.12355x 第9頁/共53頁 四舍五入后 0000074. 01416. 3 1 000033. 0333. 0 3 1 2 3 8.12350.00005x 在數(shù)值計算方法中，主要研究在數(shù)值計算方法中，主要研究和和 （包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對計算結果的影響?。òǔ跏紨?shù)據(jù)的誤差）對計算結果的影響！ 第10頁/共53頁 1.3.2 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字 1、絕對誤差與絕對誤差限、絕對誤差

8、與絕對誤差限 *)(xxxe 例例 : :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長，大約 為為1.451.45米，求米，求1.451.45米的絕對誤差。米的絕對誤差。 1.45米的米的 絕對誤差絕對誤差= =？ 不知道！不知道！ 定義定義：設設 是準確值，為是準確值，為 的一個近似值，稱的一個近似值，稱 x * xx 是近似值是近似值 的的, ,簡稱為簡稱為。 ( )e x*x 第11頁/共53頁 * xxx * xx e x * * xx * x * ,xx x * x 第12頁/共53頁 例例1 設設x = =3.1415926 近似值近似值x* =3

9、.14,它的絕它的絕 對誤差是對誤差是 0.0015926，有，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.2 10-2 例例2 又近似值又近似值x* =3.1416，它的絕對誤差是，它的絕對誤差是 0.0000074，有，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.8 10-5 例例3 而近似值而近似值x* =3.1415，它的絕對誤差是，它的絕對誤差是 0.0000926，有，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.1 10-3 可見，可見，絕對誤差限絕對誤差限 *不是唯一的，但不是唯一的，但 *越小越好越小越好 第13頁/共53頁 2、相對誤差與相對誤差限、

10、相對誤差與相對誤差限 定義定義：設設 是準確值，是準確值， 是近似值，是近似值的誤差，是近似值，是近似值的誤差，x * x 通常通常 取取 為近似值為近似值 的的，記作，記作 ， * r e * x * e * exx xx 稱稱 * * * r exx e xx 第14頁/共53頁 事實上，當事實上，當 較小時較小時 * * * r e e x 22 * * * * 1 exxee x ee xxx xxxee x 是是 的二次方項級的二次方項級, ,故可忽略不計故可忽略不計. . * r e 相應地，若正數(shù)相應地，若正數(shù) r 滿足滿足 * * r xx x 則稱則稱 為為 的的相對誤差限相

11、對誤差限。 r x 第15頁/共53頁 例例4. 甲打字每甲打字每100個錯一個，乙打字每個錯一個，乙打字每1000個個 錯一個，求其相對誤差限錯一個，求其相對誤差限 解：解： 根椐定義根椐定義:甲打字時的相對誤差限甲打字時的相對誤差限 乙打字時的相對誤差限乙打字時的相對誤差限 0 0 * 1 100 1 r e 0 0 * 1.0 1000 1 r e 第16頁/共53頁 3 、有效數(shù)字有效數(shù)字 定義：定義：如果如果 n xx 10 2 1 * 則說則說 近似表示近似表示 準確到小數(shù)后第準確到小數(shù)后第 位，并從這位，并從這 由上述定義由上述定義 4 10 2 1 1416. 3 5 10 2

12、 1 14159. 3 * xxn 第第 位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都 稱為稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為 。 n 第17頁/共53頁 定義定義 : : *12 12 10101010 mn n xaaa * 若近似值若近似值 的誤差限是某一位的半個單位的誤差限是某一位的半個單位, , * x 也即，若也即，若 * 1 10 2 m n xx 有有 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。n * x 其中，其中， 是是1 1到到9 9中的一個數(shù)字；中的一個數(shù)字； 是是 0 0到到9 9中一個數(shù)字；中一個數(shù)字； 為整數(shù)，且為整數(shù)，且 1 a

13、2n aa m 該位該位到到 的的左邊第一位非零數(shù)字共有第一位非零數(shù)字共有 位位 , , * xn 就說就說 有有 位位有效數(shù)字有效數(shù)字。 * xn 第18頁/共53頁 取取 作作 的近似值，的近似值， 就有三位有效數(shù)字；就有三位有效數(shù)字； * 3.14x * x 取取 作作 的近似值，的近似值， 就有五位有效數(shù)字。就有五位有效數(shù)字。 * 3.1416x * x 例如：例如： x-x*=0.0015926 0.002=0.210-20.510-2 前面例前面例1 1 前面例前面例2 2 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5 0.510-4 第19頁/共53頁 關于有效

14、數(shù)字說明關于有效數(shù)字說明 用用四舍五入取準確值的前四舍五入取準確值的前n位位x*作為近似值作為近似值,則則 x*必有必有n位有效數(shù)字。如位有效數(shù)字。如3.142作為作為 的近似值的近似值 有有4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而3.141為為3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定 相同。例如，設相同。例如，設x1*=12345,設設x2*=12.345,兩者兩者 均有均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345 0.0005=

15、1/2 10-3 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以10p(p=0, 1,)不影響有效位數(shù)不影響有效位數(shù) 準確值具有無窮多位有效數(shù)字準確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積如三角形面積 S=1/2ah=0.5ah 因為因為0.5是真值是真值,沒有誤差沒有誤差 *=0,因此因此n,準確值具有無窮位有效數(shù)字準確值具有無窮位有效數(shù)字 第20頁/共53頁 4 、誤差限與、誤差限與有效數(shù)字的關系有效數(shù)字的關系 則則 至少具有至少具有 位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 Th1Th1： * xn 對于用對于用 式表示的近似數(shù)式表示的近似數(shù) ，若，若 具有具有 位有效位有效 數(shù)字，則其相對誤差限為數(shù)字，則其相對誤差限為 反之，

16、若反之，若 的相對誤差限為的相對誤差限為 * * x n * x 1* 1 1 10 2 n r a * x 1* 1 1 10 2(1) n r a *12 12 10101010 mn n xaaa * 第21頁/共53頁 例例5 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相有兩位有效數(shù)字，試求其相 對誤差限對誤差限 解：已知解：已知 n=2 代入公式代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得得 r*=1/2x1 10-1 x*的第一位有效數(shù)字 的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進行如下討沒有給出，可進行如下討 論：當論：當 x1=1 r*=1/2x1 10-1=1/2*1 10-1

17、=5% x1=9 r*=1/2x1 10-1=1/2*9 10-1=0.56% 取取 x1=1 時相對誤差為最大，即時相對誤差為最大，即 5% 第22頁/共53頁 例例6 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x*的相對誤差限為的相對誤差限為0.3%，問，問x* 有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？ 解：由解：由)1( 1 * 10 ) 1(2 1 n r x e ) 1( 1 10 ) 1( 2 1 1000 3 n x 得得 當當x1=1時時,3 10-3=1/4 10-(n-1) 12 10-3=10-(n-1) 上式兩邊取以上式兩邊取以10為底的對數(shù)得為底的對數(shù)得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg

18、2=0.3010 lg3=0.4771 2 0.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 當當x1=9時時,3 10-3=1/20 10-(n-1) 6 10-3=10-n 上式兩邊取以上式兩邊取以10為底的對數(shù)得為底的對數(shù)得 lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219 x*至少有至少有3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 第23頁/共53頁 例例7 為使為使 的近似數(shù)的相對誤差小于的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%， 問查開方表時，要取幾位有效數(shù)字？問查開方表時，要取幾位有效數(shù)字？ 解：解： 8 9 x1=8 -(n-1)lg2+2lg3+(-3) -n1.2552-4 -n2.7448 取取

19、 n =3即查平方表時即查平方表時 8.37取三位有效數(shù)字取三位有效數(shù)字 70 70 3)1()1( 1 1010 18 1 1000 1 10 ) 1(2 1 nn x 70 第24頁/共53頁 1.3.3 數(shù)值運算的誤差估計數(shù)值運算的誤差估計 1、四則運算的誤差估計、四則運算的誤差估計 * 1 x * 2 x * 1 x * 2 x * 1212 xxxx * 121221 x xxxxx * 1221 * 1222 * 2 /0 xxxx xxx x 第25頁/共53頁 )(xfxx * )()( * xfxf 從而有從而有 )(xf x 2 )( ! 2 )( )()()( xx f

20、xxxfxfxf x 2 )( ! 2 )( )()()( xx f xxxfxfxf )()()( xxxfxfxf )( xf)()()( xexfxfe )( xf)( )( )( )( xe xf xf xfe r 的相對誤差的相對誤差 對 于 近 似對 于 近 似 值值 ，函數(shù)，函數(shù)在在 舍去右邊第二項得到舍去右邊第二項得到 即即的絕對誤差的絕對誤差 可 以 得可 以 得 到到 附近按泰勒展式展開得到附近按泰勒展式展開得到 2、函數(shù)誤差估計、函數(shù)誤差估計 當自變量有誤差時，計算函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差，其當自變量有誤差時，計算函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差，其 誤差限可利用函數(shù)的誤差限可利用函數(shù)的Ta

21、ylorTaylor展開式進行估計。展開式進行估計。 第26頁/共53頁 對絕對誤差式兩邊取絕對值得對絕對誤差式兩邊取絕對值得 2 )( ! 2 )( )()()( xx f xxxfxfxf )( xxxf )()( xxf )( xf )()()( xxfxf )( xf )( )( )( )( x xf xf xf r 故故 的相對誤差限的相對誤差限 的誤差限的誤差限 而而 解釋：解釋： 第27頁/共53頁 當當 為多元函數(shù)時計算為多元函數(shù)時計算 , ,如果如果f 12 , n Af x xx 12 , n x xx 的近似值為的近似值為 , ,則則 的近似為的近似為 * 12 , n

22、x xxA * 12 , n Af xxx 于是函數(shù)值于是函數(shù)值 的誤差的誤差 由由TaylorTaylor展開展開, , * A * e A 多元函數(shù)的情況多元函數(shù)的情況 第28頁/共53頁 * A * * * * 1 . k k rr k k Ax f A xAA * 1212 , nn e AAAf x xxf x xx * * 12 * 11 , nn n kkk kk kk f x xx f xxe xx * * 1 ; n k k k f Ax x 第29頁/共53頁 ),( yxfxx * ),(),( * yxfyxfyy * )()()( yexeyxe )()()( yex

23、xeyyxe )( )( )( 1 )( 2 ye y x xe yy x e)0( y )()()( yxyx )()()( yxxyyx 2 )( )()( )( y yxxy y x )0( y 第30頁/共53頁 )()()( ye yx y xe yx x yxe rrr )()()( ye yx y xe yx x yxe rrr )()()( yexeyxe rrr )()()( yexe y x e rrr ) 0( y yx yx yx rr r )()( )( )()()( yxyx rrr )()()( yx y x rrr )0( y 第31頁/共53頁 l * 110

24、lmd * 80dm * 0.2llm * 0.1ddm Sld * * , SS Sld ld * * 80 ,110 , SS dmlm ld , SS Slddl ld 第32頁/共53頁 * 0.2 ,0.1 ,lmdm *22 80 0.2 110 0.127;Smm * * * * 27 0.31. 8800 r SS S l dS 第33頁/共53頁 3、 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 數(shù)值計算在設計算法時首先關心的是由它數(shù)值計算在設計算法時首先關心的是由它 產(chǎn)生的計算結果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與產(chǎn)生的計算結果的穩(wěn)定性，而算法的穩(wěn)定性與 舍入誤差是否增長密切相關。一個算法如

25、果輸舍入誤差是否增長密切相關。一個算法如果輸 入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），而在計算過程入數(shù)據(jù)有微小擾動（即誤差），而在計算過程 中舍入誤差不增長，則稱此算法是中舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的數(shù)值穩(wěn)定的 ，否則稱其為，否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定。數(shù)值不穩(wěn)定。 第34頁/共53頁 例例9：求定積分：求定積分 1 0 (0,1,2,8) 5 n n x Idx n x 解：解：直接積分可產(chǎn)生遞推公式直接積分可產(chǎn)生遞推公式 若取初值若取初值 )2 . 1ln(5ln6lndx 5 1 1 0 0 x I 1 1 1 0 551 5(1) 5 n nn x IxdxI xn 第35頁/共53頁 可得遞

26、推公可得遞推公 式式 )8, 2, 1(,5 1 )2 . 1ln( 1 0 nI n I I nn 按公式就可以逐步算出按公式就可以逐步算出 10 1 50.09II 05. 05 2 1 12 II 083. 05 3 1 23 II 165. 05 4 1 34 II 025. 15 5 1 45 II 952. 45 6 1 56 II What happened ?! 不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 ！ 這就是誤差傳播所引起的危害這就是誤差傳播所引起的危害 ! 注意此公式注意此公式精確精確成成 立，且立，且0 n I 第36頁/共53頁 由題設中的遞推公式（由題設中的遞推公式（1 1）可看

27、出，）可看出， 的誤差擴大了的誤差擴大了 1n I 5 5倍后傳給倍后傳給 ，因而初值，因而初值 的誤差對以后各步的誤差對以后各步 n I 0 I 這就造成這就造成 的計算結果的計算結果嚴重失真。嚴重失真。 4 I 計算結果的影計算結果的影響，隨著響，隨著 的增大愈來愈嚴重。的增大愈來愈嚴重。n 1 1 1 0 551 5(1) 5 n nn x IxdxI xn * 1111 11 |555| nnnnnn IIIIII nn 第37頁/共53頁 可求得可求得I9 0.017，按改寫后的公式可逐次求得按改寫后的公式可逐次求得 不妨設不妨設I9 I10，于是由于是由 109 5 1 50 1

28、II ) 1 , 1,( 5 1 5 1 1 nnkI k I kk 1 1 5 nn II n 將公式將公式 變?yōu)樽優(yōu)?(2) 第38頁/共53頁 I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I5 0.028 I4 0.034 I3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182 穩(wěn)定的算法穩(wěn)定的算法 ！ 在我們今后的討論中，在我們今后的討論中，誤差誤差將不可回避，將不可回避， 算法的算法的穩(wěn)定性穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。會是一個非常重要的話題。 第39頁/共53頁 注：注：遞推公式遞推公式(1)的舍入誤差以的舍入誤差以5的冪次增長進的冪次增長進 行傳播，因此

29、是行傳播，因此是數(shù)值不穩(wěn)定的，數(shù)值不穩(wěn)定的，而遞推公式而遞推公式 (2)的舍入誤差在一定范圍內(nèi)以的舍入誤差在一定范圍內(nèi)以0.2的冪次進行的冪次進行 傳播，隨著傳播，隨著n的增大，誤差逐步減少，因此該的增大，誤差逐步減少，因此該 算法是算法是數(shù)值穩(wěn)定的數(shù)值穩(wěn)定的。 因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使因此，可以看出數(shù)值不穩(wěn)定的算法是不能使 用的，實際計算中對任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn)用的，實際計算中對任何輸入數(shù)據(jù)都是數(shù)值穩(wěn) 定的算法，稱為定的算法，稱為無條件穩(wěn)定。無條件穩(wěn)定。而對某些數(shù)據(jù)數(shù)而對某些數(shù)據(jù)數(shù) 值穩(wěn)定，對其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為值穩(wěn)定，對其它數(shù)據(jù)數(shù)值不穩(wěn)定的算法，稱為 條件穩(wěn)定。條

30、件穩(wěn)定。 * 11 | 0.2| nnnn IIII * 11 | 5| nnnn IIII 第40頁/共53頁 病態(tài)問題和條件數(shù)病態(tài)問題和條件數(shù) 如果問題的輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，就會引起輸出結果數(shù)據(jù)如果問題的輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，就會引起輸出結果數(shù)據(jù) （即解）的很大擾動，稱這樣的問題為（即解）的很大擾動，稱這樣的問題為病態(tài)問題病態(tài)問題。相反的情形相反的情形 稱為稱為良態(tài)問題良態(tài)問題。對于病態(tài)的數(shù)學問題，用通常的算法求數(shù)值解。對于病態(tài)的數(shù)學問題，用通常的算法求數(shù)值解 都是都是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 病態(tài)和良態(tài)是病態(tài)和良態(tài)是相對的相對的，沒有嚴格的界限，通常用條件數(shù)大小沒有嚴格的界限，通常用條件數(shù)大小

31、 來衡量問題的病態(tài)程度，條件數(shù)越大病態(tài)可能越嚴重。來衡量問題的病態(tài)程度，條件數(shù)越大病態(tài)可能越嚴重。 條件數(shù)條件數(shù)c(x)越大，越大，f(x)的相對誤差越大，通常認為的相對誤差越大，通常認為 ( )1c x 時，問題是時，問題是病態(tài)的。病態(tài)的。 第41頁/共53頁 1.要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計算公式要選擇數(shù)值穩(wěn)定的計算公式 定義定義 一種數(shù)值方法，若原始數(shù)據(jù)有誤差，一種數(shù)值方法，若原始數(shù)據(jù)有誤差， 而在計算的過程中，由于舍入誤差的傳播，使而在計算的過程中，由于舍入誤差的傳播，使 得近似計算結果與準確值相差很大，則稱這種得近似計算結果與準確值相差很大，則稱這種 數(shù)值方法是不穩(wěn)定的。否則，在計算的過程中數(shù)

32、值方法是不穩(wěn)定的。否則，在計算的過程中 ，若舍入誤差得到控制，近似計算結果能逼近，若舍入誤差得到控制，近似計算結果能逼近 準確值，則稱這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的。準確值，則稱這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的。 第42頁/共53頁 ，試問用遞推公式，試問用遞推公式 例例1010 給定給定 采用正向遞推和逆向遞推求采用正向遞推和逆向遞推求 的值是否穩(wěn)定？的值是否穩(wěn)定？ dxexI xn n 1 1 0 ), 2 , 1(1 1 nnII nn n I 002211 !) 1(IInIInnIInII nnnnnn 解解 n I 1 1 nn nII), 2 , 1(1 1 nnII nn 的近似值為的近似值為 )(

33、 11 nnnn IInII 從而有從而有 對上式兩邊求絕對值得對上式兩邊求絕對值得 按給定的遞推公式采用正向遞推計按給定的遞推公式采用正向遞推計 算算 n I的值是不穩(wěn)定的。的值是不穩(wěn)定的。 第43頁/共53頁 2. .要避免兩個相近的數(shù)相減要避免兩個相近的數(shù)相減 在數(shù)值計算中，兩個相近的數(shù)作減法時在數(shù)值計算中，兩個相近的數(shù)作減法時 有效數(shù)字會損失。有效數(shù)字會損失。 例例1111: 求求 當當x = 1000，y 的準確值為的準確值為0.01580 xxy1的值。的值。 第44頁/共53頁 類似地類似地 y x yxlnlnln 2 sin 2 cos2sin)sin( xxx (2) 若若

34、將將原式原式改寫為改寫為 xx xxy 1 1 1 則則 y = 0.01581 02. 062.3164.3110001001y (1)直接相減直接相減 有有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 ！ 只有只有1位有效數(shù)字位有效數(shù)字 第45頁/共53頁 3.盡量避免絕對值太小的數(shù)作分母盡量避免絕對值太小的數(shù)作分母 例例1212： 2 .2718 001. 0 7182. 2 如分母變?yōu)槿绶帜缸優(yōu)?.0011，也即分母只有，也即分母只有0.0001的變化時的變化時 1 .2471 0011. 0 7182. 2 2718.22471.1247.1 第46頁/共53頁 4. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù) 精確解為精確解為110 2