考研高數(shù)總復(fù)習(xí)第三章線性方程組第四節(jié)(講義)

1、 在上一節(jié)我們定義了向量組的秩. 如果我們把 矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以認(rèn)為 是由這些行向量組成的. 同樣，如果把每列看成一 個(gè)向量，那么矩陣也可以認(rèn)為是由列向量組成的. 設(shè)有矩陣 , 0000 5000 4120 1311 A 求矩陣 A 的行秩和列秩. 矩陣 A 的行向量組是 1 = (1, 1, 3, 1), 2 = (0, 2, -1, 4), 3 = (0, 0, 0, 5), 4 = (0, 0, 0, 0). 下面來求向量組1 , 2 , 3 , 4 的極大線性無關(guān) 組.顯然， 1 , 2 線性無關(guān)，再來討論1 , 2 , 3 的線性相關(guān)性.設(shè)有數(shù) k1, k2 ,

2、 k3 , 使 k11 + k22 + k33 = 0 ， 它對(duì)應(yīng)的線性方程組為 ,054 ,03 ,02 ,0 321 21 21 1 kkk kk kk k 解得 k1 = k2 = k3 = 0，所以 1 , 2 , 3 線性無關(guān). 因 為向量組1 , 2 , 3 , 4 中含有零向量，它必線性相 關(guān)，故向量組1 , 2 , 3 , 4 的秩為 3 . 矩陣 A 的列向量組為 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 2, 0, 0), 3 = (3, -1, 0, 0), 4 = (1, 4, 5, 0). 用同樣的方法可證， 1 , 2 , 4 線性無關(guān)，而 , 2 1 2

3、 7 213 所以向量組1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān)，其秩為 3 . 因此，矩陣 A 的行秩和列秩都是 3 . 例 1 中矩陣 A 的行秩和列秩相等，這一點(diǎn)不 是偶然的，下面來一般地證明行秩等于列秩. 作為一個(gè)準(zhǔn)備，我們先利用行秩的概念把第 一節(jié)中的 改進(jìn)如下. ) 1 ( 0 ,0 ,0 2211 2222121 1212111 nsnss nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa snss n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 設(shè)矩陣 A 的行向量組為 1 , 2 , , s 因?yàn)樗闹葹?r ，所以極大線性無關(guān)組由 r 個(gè)向量 組成.不妨設(shè)

4、 1 , 2 , , r 是一個(gè)極大線性無關(guān)組 因?yàn)? , 2 , , r , , s 與 1 , 2 , , r 等價(jià)， 所以方程組 ( 1 ) 與方程組 )2( 0 ,0 ,0 2211 2222121 1212111 nrnrr nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 同解.對(duì)于方程組 (2) 應(yīng)用即得. 由此就可以證明： 設(shè)所討論的矩陣為 , 21 22221 11211 snss n n aaa aaa aaa A 而 A 的行秩 = r ，列秩 = r1 .為了證明 r = r1 ，我 們先來證 r r1 . 設(shè)矩陣 A 的行向量組為 1 , 2 , , s , 不妨

5、設(shè) 1 , 2 , , r 是它的一個(gè)極大線性無關(guān)組. 因?yàn)?1 , 2 , , r 是線性無關(guān)的，所以方程 x11 + x22 + xrr = 0 只有零解， ,0 ,0 ,0 2211 2222112 1221111 rrnnn rr rr xaxaxa xaxaxa xaxaxa 只有零解. 這也就是說，齊次線性方程組 由引理，這個(gè)方程的系數(shù)矩陣 , 21 22212 12111 rnnn r r aaa aaa aaa 的行秩 r .因此在它的行向量中可以找到 r 個(gè)是 線性無關(guān)的，不妨設(shè)為 , ),( , ),( 2221212111rr aaaaaa ),( , 21rrrr aa

6、a 線性無關(guān). 根據(jù)上一節(jié)的說明，在這些向量上添上幾個(gè)分量后 所得的向量組 , ),( , ),( 222212112111srsr aaaaaaaa ),( , 21srrrrr aaaa 也線性無關(guān).它們正好是矩陣 A 的 r 個(gè)列向量，由 它們的線性無關(guān)性可知矩陣 A 的列秩 r1 至少是 r , 也就是說 r1 r . 用同樣的方法可證 r r1 . 這樣就證明了行秩 與列秩相等. 現(xiàn)在我們?cè)賮戆丫仃嚨闹扰c行列式的概念聯(lián) 系起來.先看 n n 矩陣的情形. nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 先證. 因?yàn)?A 的秩小于 n，所 以 A 的 n 個(gè)

7、行向量組線性相關(guān).當(dāng) n = 1 時(shí)，A 只 有一個(gè)數(shù)，即只有一個(gè)一維向量，它又是線性相關(guān) 的向量組，就是零向量，從而 | A | = | 0 | = 0 .當(dāng) n 1 時(shí)，矩陣 A 中有一行是其余各行的線性組合. 從這行依次減去其余各行的相應(yīng)倍數(shù)，這一行就全 變成零，由行列式的性質(zhì)可知 | A | = 0 . 再證. 對(duì) n 作數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng) n = 1 時(shí)，由 | A | = 0 可知 A 的僅有的一個(gè) 元素就是零，因而 A 的秩為零. 假設(shè)結(jié)論對(duì) n - 1 級(jí)矩陣已證，現(xiàn)在來看 n 級(jí)矩 陣的情形.設(shè)矩陣 A 的行向量組為 1 , 2 , , n . 檢查 A 的第一列的元素 a11

8、 , a21 , , an1 , 如果這 n 個(gè)元素全為零，那么 A 的列向量組中含有零向量， 當(dāng)然秩小于 n .如果這 n 個(gè)元素中有一個(gè)不為零， nnn n n aa aa aaa A 2 222 11211 0 0 | nnn n aa aa 2 222 其中 ., 2,), 0( 1 11 1 2 ni a a aa i iini 由 | A | = 0 可知 n - 1 級(jí)矩陣 譬如說 a11 0，那么從第二行直到第 n 行減去第一 行的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，把 a21 , , an1 消成零，即得 nnn n aa aa 2 222 的行列式為零.根據(jù)歸納法假定，這個(gè)矩陣的行向 量組線性相關(guān)

9、.因而向量組 1 11 1 1 11 31 31 11 21 2 , a a a a a a n n 線性相關(guān)， 使 .0)()( 1 11 1 1 11 21 22 a a k a a k n nn 這就是說，有不全為零的數(shù) k2 , , kn 改寫一下，有 .0 221 11 1 2 11 21 nnn n kkk a a k a a nn n kkk a a k a a , 2 11 1 2 11 21 這組數(shù)當(dāng)然也不 全為零，從而向量組1 , 2 , , n 線性相關(guān)，它 的秩小于 n .根據(jù)歸納法原理，必要性得證. 根據(jù)這個(gè)定理，可以得到有關(guān)齊次線性方程組的 重要結(jié)論. 0 ,0 ,

10、0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 為了建立一般矩陣的秩與行列式的關(guān)系，引入 例如，在矩陣 0000 5000 4120 1311 A 中，選第 1, 3 行和第 3, 4 列，它們交點(diǎn)上的元素 所成的 2 級(jí)行列式 15 50 13 就是一個(gè) 2 級(jí)子式.又如選第 1, 2, 3 行和第1, 2, 4 列，相應(yīng)的 3 級(jí)子式就是 .10 500 420 111 由于行和列的選法有很多，所以 k 級(jí)子式也是 很多的.s n 矩陣的 k 級(jí)子式共

11、有 k n k s CC 個(gè). 矩陣的秩與行列式的關(guān)系表現(xiàn)為： 先證. 設(shè)矩陣 A 的秩為 r . 這 時(shí)，由 知矩陣 A 中任意 r + 1 個(gè)行向量 都線性相關(guān)，矩陣 A 的任意 r + 1 級(jí)子式的行向量 也線性相關(guān). 由 這種子式全為零.現(xiàn)在 來證矩陣 A 中至少有一個(gè) r 級(jí)子式不為零. 因?yàn)?snss n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 的秩為 r，所以在 A 中有 r 個(gè)行向量線性無關(guān)，不 妨設(shè)就是前 r 個(gè)行向量.把這 r 行取出來，作一新 的矩陣 . 21 11211 1 rnrr n aaa aaa A 顯然，矩陣 A1 的行秩為 r ，因而它

12、的列秩也是 r， 這就是說，在 A1 中有 r 列線性無關(guān).不妨設(shè)前 r 列線性無關(guān)，因之，行列式 .0 1 111 rrr r aa aa 它就是矩陣 A 中一個(gè) r 級(jí)子式.這就證明了必要性. 再證. 設(shè)在矩陣 A 中有一 r 級(jí)子式不為 零，而所有 r + 1 級(jí)子式全為零.我們證明 A 的秩 為 r . 首先我們指出，由行列式按一行展開的公式可 知，如果 A 的 r + 1 級(jí)子式全為零，那么 A 的 r + 2 級(jí)子式也一定為零，從而 A 的所有級(jí)數(shù)大于 r 的子 式全為零. 設(shè) A 的秩為 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否 則 A 的 r 級(jí)子式就全為零了.同樣，t 也不能大于 r ，否則 A 就要有一個(gè) t ( t r + 1 ) 級(jí)子式不為零, 而按照假定這是不可能的.因而 t = r，這就是要證 明的結(jié)論. 利用下列模型求矩陣的秩. 計(jì)算矩陣秩的一個(gè)較有效的方法是： 向量組秩的計(jì)算方法是： 求向量組的極大線性無關(guān)組的方法是： 求下列矩陣的秩 ; 124