直線與圓的位置關(guān)系題型很全

1、 O x y 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái) 的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響處，受影響 的范圍是半徑長(zhǎng)為的范圍是半徑長(zhǎng)為30km的圓形區(qū)域已知港口位于臺(tái)的圓形區(qū)域已知港口位于臺(tái) 風(fēng)中心正北風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么處，如果這艘輪船不改變航線，那么 它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？ 為解決這個(gè)問(wèn)題，我們以為解決這個(gè)問(wèn)題，我們以 臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn) O，東西方向，東西方向 為為 x 軸，建立如圖所示的軸，建立如圖所示的直角直角 坐標(biāo)系坐標(biāo)系，其

2、中取，其中取 10km 為單位為單位 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 輪船輪船 港口港口 O x y 輪船輪船 港口港口 輪船航線所在直線輪船航線所在直線 l 的方程為：的方程為： 02874yx 問(wèn)題歸結(jié)為圓心為問(wèn)題歸結(jié)為圓心為O的的 圓與直線圓與直線l有無(wú)公共點(diǎn)有無(wú)公共點(diǎn) 這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為O的的 圓的方程為圓的方程為: : 9 22 yx 想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？ 平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系： （1 1）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；）直線與圓

3、相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)； （1 1） （2 2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)； （2 2） （3 3）直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)）直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn) （3） 在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？現(xiàn)在，在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？現(xiàn)在， 如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？ （1 1）（2 2）（3） 先看幾個(gè)例子，看看你能否從例子中總結(jié)出來(lái)先看幾個(gè)例子，看看你能否從例子中總結(jié)出來(lái) 判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法： 方法一：方法一：代數(shù)法，代數(shù)法，判斷直線判斷直

4、線l與圓與圓C的方程組成的的方程組成的 方程組是否有解方程組是否有解如果有解，直線如果有解，直線l與圓與圓C有公共有公共 點(diǎn)有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線點(diǎn)有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)相交；有一組實(shí)數(shù) 解時(shí)，直線解時(shí)，直線l與圓與圓C相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線l與圓與圓C相相 離離 方法二：方法二：幾何法，幾何法，判斷圓判斷圓C的圓心到直線的圓心到直線l的距離的距離 d與圓的半徑與圓的半徑r的關(guān)系的關(guān)系如果如果d r ，直線，直線l與圓與圓C相相 離離 那么，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位那么，如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位 置關(guān)系？置關(guān)系？ 方法一：直

5、線：方法一：直線：Ax+By+C=0;圓：圓：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 消元消元 一元二次方程一元二次方程 方法二：方法二：直線：直線：Ax+By+C=0;圓圓: (x-a)2 + (y-b)2 =r2 d= 小結(jié)：小結(jié)：1.判斷直線與圓位置關(guān)系的方法判斷直線與圓位置關(guān)系的方法 1 1、幾何方法解題步驟：、幾何方法解題步驟： 利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離 作判斷作判斷: : 當(dāng)當(dāng)drdr時(shí)，直線與圓相離；時(shí)，直線與圓相離； 當(dāng)當(dāng)d=rd=r時(shí)，直線與圓相切時(shí)，直線與圓相切; ; 當(dāng)當(dāng)drdr時(shí)，直線與圓相交時(shí)，直線與圓相交 把直線

6、方程化為一般式把直線方程化為一般式, , 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn) 式，求出圓心和半徑式，求出圓心和半徑 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組 求出其求出其的值的值 比較比較與與0 0的大小的大小: : 當(dāng)當(dāng)000時(shí)時(shí), ,直線與圓相交。直線與圓相交。 2、代數(shù)方法主要步驟：、代數(shù)方法主要步驟： 利用帶入消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程利用帶入消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程 代數(shù)法：代數(shù)法： 3x +y6=0 x2 + y2 2y 4=0 消去消去y得：得：x2-3x+2=0 =(-3)2-412=10 所

7、以方程組有兩解，所以方程組有兩解， 直線直線L與圓與圓C相交相交 22 5 5 10 31 |3 0 1 6| 幾何法：幾何法： 圓心圓心C（0，1）到直線）到直線L的距離的距離 d= = r 所以直線所以直線L與圓與圓C相交相交 比較：幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量少，簡(jiǎn)便。比較：幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量少，簡(jiǎn)便。 d r 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)= 22 10 2 ( 5)()10 2 題型一、如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0， 判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)。 圓的弦長(zhǎng)的求法圓的弦長(zhǎng)的求法 1幾何法：幾何法：用弦心距，半徑及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊用

8、弦心距，半徑及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊 設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r，弦心距為，弦心距為d，弦長(zhǎng)為，弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則，則 2r2d2. 2代數(shù)法（也叫公式法）：設(shè)直線與圓相交于代數(shù)法（也叫公式法）：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 解方程組解方程組 消消y后得關(guān)于后得關(guān)于x的一元二次方程，從而的一元二次方程，從而 求求 得得x1x2，x1x2，則弦長(zhǎng)為，則弦長(zhǎng)為|AB| （此公式也叫做設(shè)而不求利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)公式（此公式也叫做設(shè)而不求利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)公式 ） (其中其中x1，x2為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)k為直線斜率為直線斜率) 題型二題型二.若直線與圓相交，

9、求弦長(zhǎng)問(wèn)題：若直線與圓相交，求弦長(zhǎng)問(wèn)題： 解法一：（求出交點(diǎn)利用兩點(diǎn)間距離公式）解法一：（求出交點(diǎn)利用兩點(diǎn)間距離公式） x y O A B 4 22 yx 22 2 12 12 1 4 2230 1717 , 22 1717 , 22 17 1717 17 (,), (,) 2222 |14 yx y xy xx xx yy AB AB 由消去 得 例例1 1、已知直線已知直線 y= y=x+1 與圓與圓 相交于相交于A, ,B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)| |AB| |的值的值 4 22 yx 解法二：（弦長(zhǎng)公式）解法二：（弦長(zhǎng)公式） x y O A B 22 2 1212 22 1212 2

10、2 1 4 2230 3 1, 2 |(1)()4 3 (1 1 )( 1)4 ()14 2 yx y xy xx xxx x ABkxxx x 由消去 得 1 1已知直線已知直線 y=y=x+1 與圓與圓 相交于相交于A, ,B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)| |AB| |的值的值 4 22 yx 解解三：三：解弦心距解弦心距, ,半弦及半徑構(gòu)成的直角三角形半弦及半徑構(gòu)成的直角三角形） 2 22 12 2 1 ( 1) | 214 d ABrd 設(shè)圓心設(shè)圓心O O（0 0，0 0）到直線的距離為）到直線的距離為d d，則，則 x y O A B d r 2 2已知直線已知直線 y=y=x+1 與

11、圓與圓 相交于相交于A, ,B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)| |AB| |的值的值 練習(xí)：求直線3x+4y+2=0被圓 截得的弦長(zhǎng)。 032 22 xyx 例例2 2、已知過(guò)點(diǎn)、已知過(guò)點(diǎn)M M（-3-3，-3-3）的直線）的直線l l被圓被圓 x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為所截得的弦長(zhǎng)為 ，求直線，求直線l l的的 方程。方程。 5 54 4 . y O M . 利用幾何性質(zhì)，求弦心距利用幾何性質(zhì)，求弦心距,然后用點(diǎn)到直線的距離求斜然后用點(diǎn)到直線的距離求斜 率。率。 X+2y+9=0,或或2x-y+3=0 題型三、求圓的切線方程的常用方法題型三、求圓的切

12、線方程的常用方法 復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷切線 的條數(shù) 題型三、求圓的切線方程的常用方法題型三、求圓的切線方程的常用方法 (1)若點(diǎn)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓在圓C外外,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P的切線有兩條的切線有兩條.這時(shí)這時(shí) 可設(shè)切線方程為可設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用圓心利用圓心C到切線的到切線的 距離等于半徑求距離等于半徑求k.若若k僅有一值僅有一值,則另一切線斜率則另一切線斜率 不存在不存在,應(yīng)填上應(yīng)填上.也可用判別式也可用判別式=0求求k的值的值. (2)若點(diǎn)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓在圓C上上,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P的切線只有一條的切線只有一條.利用利用 圓的切線的性質(zhì)圓的切線的性質(zhì),求出切線

13、的斜率求出切線的斜率.k切切= 代代 入點(diǎn)斜式方程可得入點(diǎn)斜式方程可得. 也可以利用結(jié)論也可以利用結(jié)論:若點(diǎn)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓在圓x2+y2=r2上上,則過(guò)則過(guò) 該點(diǎn)的切線方程是該點(diǎn)的切線方程是x0 x+y0y=r2.若點(diǎn)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓在圓 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上上,則過(guò)該點(diǎn)的切線方程是則過(guò)該點(diǎn)的切線方程是(x0- a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 1 , CP k （2）已知圓的方程是）已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的的 切線方程切線方程. 解解:如右圖所示如右圖所示,設(shè)切線的斜率為設(shè)切線的斜率為k,

14、半徑半徑OM的斜率為的斜率為k1. 因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑,于是于是 1 1 .k k 例例1：求過(guò)一點(diǎn)：求過(guò)一點(diǎn)P(-3,-2)的圓的圓x2 + y2 +2x 的切線方程。的切線方程。 解：設(shè)所求直線為（）解：設(shè)所求直線為（） 代入圓方程使代入圓方程使； 即所求直線為即所求直線為 提問(wèn)：上述解題過(guò)程是否存在問(wèn)題提問(wèn)：上述解題過(guò)程是否存在問(wèn)題？ X=-3是圓的另一條切線是圓的另一條切線 3 4 注意：注意：1.在求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，在求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系， 若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，

15、切線只有一條；若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條； 若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條； 若點(diǎn)在圓內(nèi)，無(wú)切線若點(diǎn)在圓內(nèi)，無(wú)切線 2.設(shè)直線的方程時(shí)，切記千萬(wàn)要對(duì)直線的斜率存在與否進(jìn)行討論。設(shè)直線的方程時(shí)，切記千萬(wàn)要對(duì)直線的斜率存在與否進(jìn)行討論。 若存在，則經(jīng)常設(shè)直線的方程為點(diǎn)斜式；若不存在，則特殊情況特殊對(duì)待。若存在，則經(jīng)常設(shè)直線的方程為點(diǎn)斜式；若不存在，則特殊情況特殊對(duì)待。 小結(jié)：求圓的切線方程一般有兩種方法：小結(jié)：求圓的切線方程一般有兩種方法： (1)代數(shù)法：代數(shù)法：設(shè)切線方程為設(shè)切線方程為yy0k(xx0)與圓的方程組成與圓的方程組成 方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方

16、程，然后令判別式方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式 0進(jìn)而求得進(jìn)而求得k. (2)幾何法：幾何法：設(shè)切線方程為設(shè)切線方程為yy0k(xx0)利用點(diǎn)到直線的利用點(diǎn)到直線的 距離公式表示出圓心到切線的距離距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令，然后令dr，進(jìn)而，進(jìn)而 求出求出k. 以上兩種方法，一般來(lái)說(shuō)幾何法較為簡(jiǎn)潔，可作為首選以上兩種方法，一般來(lái)說(shuō)幾何法較為簡(jiǎn)潔，可作為首選 練習(xí)練習(xí)1.求過(guò)求過(guò)M（4，2）且與圓）且與圓 相切的直線方程相切的直線方程. 22 860 xyxy : )(047) 1( ) 12( :,25)2() 1( :. 1 22 Rmmym xmlyxC 直線已知圓練習(xí) ;) 1 (相交與圓證明直線Cl .,)2(的方程直線截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)被圓求直線lCl 題型四、最長(zhǎng)弦、最短弦問(wèn)題題型四、最長(zhǎng)弦、最短弦問(wèn)題 22 243010 2. xyxyxy+-=+ =例1、圓上到直線的 距離為的點(diǎn)共有幾個(gè) 題型五、判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題題型五、判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 練習(xí)練習(xí)1:已知圓已知圓 , 直線直線 l: y=x+b, 求求b的取值范圍的取值范圍,使