高中數(shù)學求數(shù)列通項的常用方法

1、精品教育-可編輯-求數(shù)列通項公式的方法本文章總結(jié)了求數(shù)列通項公式的幾種常見的方法，分別有:公式法，累加法，累乘法，待定系數(shù)法，對數(shù)變換法，迭代法，數(shù)學歸納法，換元法。希望對大家有所幫助關鍵字：數(shù)列，通項公式，方法、公式法例1已知數(shù)列an滿足an 1 2an3 2n,ai 2,求數(shù)列an的通項公式。解：an 1 2an 3 2n兩邊除以2n 1an 1an2n為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得2n評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 12an利用等差數(shù)列的通項公式求出an2n3(n 1)2，二、累加法例2已知數(shù)列an滿足an 12n 1, a11 (n解：由an 1an 2n 1 得

2、an1an2n 1則y云i,故數(shù)列3 -1)3 ,所以數(shù)列23 2 n轉(zhuǎn)化為an1an_n1_n22是以w21an的通項公式為an2 彳 ,31為首項，以22(31 xq n(- n 二)2。223a.一，說明數(shù)列g是等差數(shù)列，再直接22進而求出數(shù)列an的通項公式。1 ,求數(shù)列an的通項公式。an (an2(n 2(n2(nan 1) (an 1an 2) l1)1) 1)n21 2(n 2)(n(n2)1)1 2 1(a3 a?)(2 2 (n 1)1) (21a1)1a11) 1(n 1)(n2n1)所以數(shù)列an的通項公式為an評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式anan 2n 1轉(zhuǎn)化為an

3、 1 an 2n 1 ,進而求出(an an 1) (an 1 an 2)l(a3 a2) (a2a1) a1，即得數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an 1an 2 3n 1, a1 3,求數(shù)列a。的通項公式。精品教育解：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1 an 2 3n1則-可編輯-an(an an 1 ) (an 1(2 3n2(3n 133n1)n 2(23n(a3321)31)l (2(n 1)1)a2)32(a2 a1)_11) (2 31ai1) 33n3n所以an3n(an解:(n1.本題解題的an 1) (an 11) 3關鍵是把遞推an 2) l (a3關

4、系式an 1a2) (a2a1)an2 3n1轉(zhuǎn)化為an 1ana1，即得數(shù)列%的通項公式。2 3n1 ,進而求出已知數(shù)列an滿足an 1 3an 2 3n 1, a1an3an 2 3n 1兩邊除以3n 1 ,得票 3n 13,an3n求數(shù)列an的通項公式。an 13nan 23n 3an3nan 1)因此則an評注:(32(n3an1)(an l1(3由an 113n 113nan 2)3n 2)l(an 22an3n2(n31) (3 1 3n 13n 1)3n1 3n1 3n2)(332)2n3本題解題的關鍵是把遞推關系式an13n3an 2 3n1轉(zhuǎn)化為弱an3n21- -77 ,進

5、而求出3 3n 1zan 1 an 2an 2(3n1 3n 2) (3n 2an 3)3n 3an3n的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。精品教育三、累乘法例5已知數(shù)列an滿足an12(n1)5n an, ai 3,求數(shù)列an的通項公式。解：因為 an 12(n 1)5nan, a13,所以an0,則由 an2(n1)5n,故& an 1 a3 a2anl-an 1 an 2a2 ai_n 1_2(n 1 1)5 2(n2 1)5n2 l2n 1n(n 1) l 3 2 5(n1)n(n 1)3 2n 1 5k n!(n 2) l2(22 1 32 -1) 5 2(111) 5所以數(shù)列a

6、n的通項公式為an 32n 1n(n 1)5kn!.評注：本題解題的關鍵是推關系412(n1)5nan轉(zhuǎn)化a2(n 1)5n，進而求出 ananan 1an 1an 2a3 a2 a1,即得數(shù)列an的通項公式。a2 a1例6已知數(shù)列an滿足 a1 1ana1 2a2 3a3 l (n 1)an 1(n2),求an的通項公式。解：因為ana2 a23 a(n 1)an i(n2)所以 an 1a12a23a3 l(n1)an 1nan用式一式得an 1an nan.(n 1)an(n2)故一ann 1(n 2)所以anan an 1 lan 1 an 2a3一 a2 n(n 1) a2n!一3

7、a2 a2.2由 an a1 2a2 3a3l (n 1)an 1(n2),取n2得a2a12a2,則a?a，又知a1,則a21 ,代入得 an 1 3 4 5 l nn!o2-可編輯- n!所以，烝的通項公式為an . 2:本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 (n 1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為芻 n 1(n 2),進而求出anan an 1 lan 1 an 2a3a2,從而可得當na22時，an的表達式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。6 ,求數(shù)列an的通項公式。四、待定系數(shù)法 例7已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n, a1解：設 an 1 x 5n 12(an x 5n)將an 1

8、2an 3 5n代入式，得2an 3 5n x 5n 1 2an 2x 5n ,等式兩邊消去2an ,得3 5nx5n 12x5n,兩邊除以 5n，得 3 5x2x,則x1,代入式得an15n12(an5n)n 1由al 51 6 5 1 0及式得an 5n 0,則士 2,則數(shù)列an 5n是以a1 51 1為首項，以2為公 an 5n比的等比數(shù)列，則an 5n 2n 1 ,故an 2n 1 5n。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 2an 3 5n 轉(zhuǎn)化為 an 1 5n 12(an5n),從而可知數(shù)列an 5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 5n的通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公

9、式。例8已知數(shù)列an滿足an 1 3an 5 2n 4, a1 1,求數(shù)列an的通項公式。解：設 an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y) 將an 1 3an 5 2n 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y)整理得(5 2x) 2n 4 y 3x 2n 3y。5 2x 3xx 5令，則，代入式得4 y 3yy 2an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2)._1 一, 一 一 一 一由45 22 1 12 13 0及式,得 an 5 2n 20 ,則 an 152n2 33,an5 2n 2故數(shù)列an 5 2n 2是以a1 5 212

10、1 12 13為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此an52n2 133n1,則an133n15 2n 2。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 13an5 2n 4 轉(zhuǎn)化為an1 52n1 2 3(4 52n2),從而可知數(shù)列an 5 2n 2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。. _2_例9已知數(shù)列an滿足an1 2an3n4n 5, a11,求數(shù)列an的通項公式。22、_解：設 an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 2將an 1 2an 3n 4n 5代入式，得222an 3n 4n 5 x(n 1) y(n

11、1) z 2(an2xn yn z),貝u2y z 5) 2an 2xn 2yn 2z等式兩邊消去2an ,得(3 x)n22(2x y 4)n (x y z 5) 2xn 2yn 2z,解方程組 2x y 4 2y ，貝u y10，代入式，得x y z 5 2z z 1823n 10n 18)an 1 3(n 1)2an (3 x)n (2x y 4) n (x 10(n 1) 18 2(an.一2 一一一一由 a131101 181 313220及式，得an 3n 10n 18 0則 an1 3(n 1)2 10(n 1) 18、 an 3n2 10n 182,故數(shù)列an 3n2 10n

12、18為以4 3 12 10 1 18 1 3132為首項,以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1 ,則 an 2n 4 3n2 10n 18。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式2an 1 2an 3n 4n 5 轉(zhuǎn)化為222an 1 3(n 1)10(n 1) 18 20 3n 10n 18),從而可知數(shù)列 3n 10n 18是等比數(shù)列，進而求出an的通項公式。.一 - 2 一 .一數(shù)列an 3n 10n 18的通項公式，最后再求出數(shù)列五、對數(shù)變換法例10已知數(shù)列an滿足an 1n 52 3 an, a1 7 ,求數(shù)列an的通項公式。解：因為an 12 3n a5

13、, a17 ,所以 an0, an 10在an 12 3na5式兩邊取常用對數(shù)得1g an 1 5lg an n lg3 1g 2設 1g an 1 x(n 1) y 5(1g an xn y)將式代入m式，得 51g ann1g3 1g2 x(n 1) y5(1g an xn y),兩邊消去51g an并整理，得(1g3 x)n x y 1g 2 5xn 5y ,則1g3 x 5xx y 1g2 5y1g 341g3 1g 2164代入但)式，得1g an 11g3 /八1g31g 21g31g31g 2、(n1)5(1g ann)41644164 1史史 蛇1空監(jiān)41644164得1gan

14、gn蛆跛0,41641gan 11g21g3n 1g3 ig2416 45,1g31g3 1g 2所以數(shù)列1g an -n - %是以幻7 41641g31g an 一 n41g316口 (1g 7皿盟 44161g31g3 1g 2 一為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則4164)5n 1 ,因此4lg3lg3lg2ni lg3lg3lg21g an(1g 7 )5n 4164464111n11(1g7 1g 34 1g 36 1g24)5n11g341g3語1g 24111n 111g(7 34 3詞 24)5n 1 1g(34 3誣 24)111n 111g(7 34 3詞 24)5n 11

15、g(34 3歷 24)5n 1n5n1 15n 1 11g(75n 1 3 3= 2)5n 4n 15n 1 11g(75n 1 3 162干)5n 4n 15n 1 1貝 uan75nl3 162h。評注：本題解題的關鍵是通過對數(shù)變換把遞推關系式an 1 2 3n a5轉(zhuǎn)化為1g31g31g 21g31g31g 21g31g31g 21gan1(n1)-g-g-5(1gan-n-g-),從而可知數(shù)列1g an -n-g-g是等比數(shù)416441644164列，進而求出數(shù)列1g an 1g3n / 92的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。4164六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an 1a3

16、(n 1)2n, a1 5,求數(shù)列an的通項公式。解：因為an 1 an(n 1)2 ,所以3n 2n 1anan 13(n 1)2an 22 3n2a3(n32)2n3 *32(n 1)n2(n2) (n1)33 (n 2)( n an 31)n 2( n 3) (n 2) (n 1)3n 1 2 3l l a15 ,所以數(shù)列an的通項公式為ann( n_3n 1 n! 2-251)(n 2) (n 1) n21 2 ll (n 3) (n 2) (n 1)n(n 1)3n 1 n! 2 2a1評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an 1 a3(n 1)2n兩

17、邊取常用對數(shù)得1gan1 3(n 1) 2n 1g an , 即9all 3(n 1)2n, 再 由 累 乘 法 可 推 知1g an,lgan1g anlgan 1處l蛆31g& 1g an 2 1g a2 1g a3n 1 n! 2.lg5n(n 1)-2-3n 1 n! 2n(n 1),從而an 52 。七、數(shù)學歸納法例12已知數(shù)列an滿足an 1 an8(n 1)72z22，(2n 1) (2n 3)8 ,求數(shù)列an的通項公式。9解：由an 1an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a19，得a2a18(1 1)88224(21 1)2(2 1 3)2992525a3a28(2

18、1)248348(22 1)2(2 2 3)225254949a4a8(3 1)488480a3(23 1)2(2 3 3)249498181由此可猜測an24(2n ” 21 ,往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)2(1)當 n 1 時，a1_2(2 1 1)12(2 1 1)8 ,所以等式成立。9(2)假設當n k時等式成立，即ak2號則當n k1時c-8(k 1)ak 1 ak22(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 18(k 1)222(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k1)21(2k3)2 8(k1)z2z22(2 k 1)2 (2k 3)22_2_2_(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)222(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1zz-2(2k 3)222(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，當n k 1時等式也成立。r 一 *.根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 n n都成立。n項，進