高中三角函數(shù)典型例題(教用)

1、【典型例題】1、已知tan x2 ,求 sin x, cosx 的值.解：因為tan xsin x22d2,又 sin a cos a 1, cosx聯(lián)立得sin2x sin x2cosx2jcos x 1-2-5 -25sin xsin x解這個方程組得55,5,.5cosxcosx552 求 tan( 120)cos(210 )sin( 480 )的值tan( 690 )sin( 150)cos(330)解 原式 tan( 120180 )cos(180 30 )sin( 360 120 ).* tan( 72030o)sin( 150 )cos(36030 )3.3.tan 30 ( s

2、in 150 ) cos30tan60 ( cos30 )( sin120 )c 什 sin x cosx3、右2,求 sin xcosx 的值.sin x cosx解：法一：因為 sinx cosx 2, sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx)得到sinx 3cosx,又sin2 a cos2 a 1 ,聯(lián)立方程組，解得sin xcosx3.1010 j,.107q-sin xcosx3、101010to-所以 sin xcosx10法二：因為 sin x cosx 2,sin x cosx所以 sin x cosx 2(sin x cosx),22所以(

3、sin x cosx) 4(sin x cosx),所以 1 2sin xcosx 4 8sin xcosx,所以有sin xcosx 104、求證：tan2 xsin2 x tan2 x sin2 x oh-：右邊=tan晨-m.x = tan: x(tan2xcos2 x) = tan cosx2)二tan：工sin x2; 法二；左邊=tan，xxsin 2 x= tan2 xx(l-cos= tan: x - tan2 xcosx3 = tan: x(l -cos x3) = tan2 xsin x2，、一、,.，x 冗、.5、求函數(shù)y 2sin( )在區(qū)間0,2 上的值域。 由正弦函

4、數(shù)的圖象, 62 6解：因為0 x 2 ,所以0 -2得到_ x 兀y 2sm2 6)工,1所以 y 2sin()2,2 61,26、求下列函數(shù)的值域.(2) y 2sin xcosx (sin x cosx)(1) y sin2 x cosx 2；2解：(1) y sin x cosx 222=1 cos x cosx 2 (cos x cosx) 31 0 131 0 13令t cosx,則 t 1,1, y (t2 t) 3 (t -)2 -(t -)2 -,一13利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) 1 .4 4(2) y 2 sin xcosx (sin x cosx)2=(sin x cosx

5、) 1 (sin x cosx)令t sinx cosx v2 sin(x 為，則 t j2,對q45則y t2 t 1,利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) ,1 52.47、若函數(shù)y=asin( 3x+()( 30, 6 0)的圖象的一個最高點為(2,j2),它到其相 鄰的最低點之間的圖象與x軸交于(6 , 0),求這個函數(shù)的一個解析式。解：由最高點為(2,2),得到a22 ,最高點和最低點間隔是半個周期，從而與 1 t交點的間隔是 1個周期，這樣求得 -4, t=16,所以44又由亞 拒sin(- 2),得到可以取-.y j2sin(- x -).84848、已知函數(shù) f (x)=cos 4x 2s

6、in xcosx sin 4x.，、-，,一，.一，一冗一(i)求f(x)的最小正周期；(n)若x 0, ,求f(x)的最大值、最小值.數(shù)21 sin xy 的值域.3 cos x解：(i)因為 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin4 x= (cos 2x sin 2x)(cos 2x+ sin 2x) sin2 x,2 一 . 2 一一、(cos x sin x).2sin(2x /)兀sin 2x cos2x sin 2x 、2 sin( 2x)所以最小正周期為兀.(n)若x 0,-,則(2x -)-，當，所以當x=0時，f(x)取最大值為 244 472sin( -)

7、1;當x 時，f(x)取最小值為五4 89、已知 tan2cos sin求(1)cos sin(2) sin2sin .cos 2cos2 的值.cos sin解：(1), sin1 - coscossinsin1 tan1 tan3 2j2；cos2(2) sin2sin cos22 cos. 2.sinsin cos-2sin cosc 22 cossin2 cos2sinsincos22 .22-12 cos說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點 (如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到)，進行弦、切互化, 就會使解題過程簡化。10、求函數(shù) y 1 sin x cosx (sin x cosx)2 的值域。

8、解：設(shè)tsinxcosx.2sin(x42也,則原函數(shù)可化為t2 t(t2)2因為t所以,2 時,ymax2時,ymin所以，函數(shù)的值域為11、已知函數(shù)f(x)4sin2x 2sin 2x2, xr ; (1)求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此時x的集合；(2)證明：函數(shù) ttf(x)的圖像關(guān)于直線x ，對稱。8解：f(x) 4sin2 x 2sin 2x2 2sin x2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x2、.2sin(2x4)(1)所以f (x)的最小正周期因為x r,所以，當2x - 2ku 即x ku 邢時，f(x)最大值為2j2； 428(2)證明:一一

9、一一一一 ，7t欲證明函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x對稱，只要證明對任意x r,有8f(x)f(-x)成立, 8因為f(x)2,2sin2(x) 42,2sin( - 2x)22 j2 cos2x ,所以12、f(x)x)2,2sin2(f ( 一 x)成立,8從而函數(shù)2 .2sin( 2x)f(x)的圖像關(guān)于直線2& cos2x ,冗r nax 一對稱。8已知函數(shù) y= cos2x+ 3 sinx cosx+1(xcr),(1)當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合;(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x r)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?1 c 3 . c=cos2x+ sin2x

10、+解：(1) y= 1 cos2x+ -3sinx cosx+1= 1 (2cos 2x 1)+ +-3 (2sinx cosx) +1cos )+9 645 1 ，一=(cos2x - sin +sin2x=-sin(2x+ )+ 一所以 y 取最大值時，只需 2x+ =+2ktt, (kcz),即 x= +k u , (kcz)。所以當函數(shù)y取最大值時，自變量 x的集合為x|x= -+ktt ,k z(2)將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換:(i )把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移 一，得到函數(shù)y=sin(x+ 一)的圖像;(ii)把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的1 一-倍(縱坐標不變)，得到函