2.1多元復合函數求導法和隱函數求導公式.ppt課件

1、一元復合函數的求導法則：一元復合函數的求導法則： )(),(xuufy dx dy dx du du dy 復習復習 (1) 設函數設函數),(),(yxvyxu在點在點),(yx處有偏導數處有偏導數, 在點在點),(yx對對 x, y 的偏導數存在的偏導數存在, 且且 x z y z 定理定理6.5.1 而函數而函數 ),(vufz 在對應點在對應點),(vu可微可微, 則復合函數則復合函數 ),(),(yxyxfz v u z x y 鏈導法則鏈導法則 x v v z x u u z y v v z y u u z (2) 6.5 6.5 多元復合函數求導法和隱函數求導公式多元復合函數求導

2、法和隱函數求導公式 6.5.1 6.5.1 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則 若函數若函數)(),(xvxu都在點都在點 x 處可導處可導, 函數函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu處可微處可微, 則復合函數則復合函數)(),(xxfz 在點在點 x 處可導處可導,且且 dx dv v z dx du u z dx dz 全導數全導數 特例特例1. z v u x 假如假如),(yxfz 而而),(xy 則復合函數則復合函數 )(,xxfz 的全導數的全導數 dx dy y z x z dx dz 特例特例2. 注意注意 dx dz 是在是在 )(,xxfz對對x求導數求

3、導數, x z 是在是在),(yxfz 中視中視y為常量為常量,對對x求偏導求偏導, zx y ),(),(),(yxwyxvyxu 情形情形(1) ),(wvufz x w w z x v v z x u u z ),(yxufz ),(yxu y f y u u f y z 注意注意 x z 是在是在 ,),(yxyxfz中視中視 y為常量 為常量,對對x求偏導求偏導, x f 是在是在),(yxufz 中視中視yu,為常量為常量,對對x求偏導求偏導, z x y v u w zx y u 那么那么 x z x z , x f x u u f 鏈導法則可推廣到三元及三元以上的函數鏈導法則可

4、推廣到三元及三元以上的函數.說明說明 情形情形(2) y w w z y v v z y u u z y z 例例2.cos,sintveutuvz t 求求 dt dz 解解 dt dz t z dt dv v z dt du u z t ev)sin(tutcos tttetcos)sin(cos z v u t 例例1.,sin, 32 tytxez yx 求求 dt dz 解解 dt dz dt dy y z dt dx x z te yx cos 2 22 3)2(te yx ).6(cos 22sin 3 tte tt z y x t 例例3.設設,sinyxvxyuvez u 求

5、., y z x z 解解 x z veusinyveucos1 )cos()sin(yxyxye xy y v v z y u u z veusinxveucos 1 )cos()sin(yxyxxe xy x v v z x u u z y z 例例4.設設.,.sin,),( 2 222 y u x u yxzezyxfu zyx 求求 解解 x u x z z f x f y z z f y f y u 222 2 zyx xe yxze zyx sin22 222 )sin21 (2 22sin2 422 yxxe yxyx 222 2 zyx ye yxze zyx cos2 2

6、222 )2sin2( 4sin2 422 yxye yxyx z x y u 例例5.設設fxyzzyxfw),(具有二階連續(xù)偏導數具有二階連續(xù)偏導數,求求., 2 zx w x w 解解 令, zyxu,xyzv 那么),(vufw x w 1 f 2 fyz , 1 u f f , 2 v f f zx w 2 21 fyzf z z f 1 2 f y z f yz 2 z f 1 z v v f z u u f 11 11 f , 1 11 u f f , 1 12 v f f z f 2 z v v f z u u f 22 21 f , 2 21 u f f , 2 22 v f

7、 f w x y zv u 12 fxy 22 fxy 1 f 2 f x v v f x u u f ),( 11 xyzzyxff ),( 22 xyzzyxff zx w 2 1211 fxyf )( 2221 fxyfyz 2 f y 1211 )(fzxyf 22 2 f zxy 2 f y 1. 一個方程的情形一個方程的情形 1.設方程設方程 0),(yxF確定函數確定函數)(xyy ,求求 dx dy x F 0 所以所以, y x F F dx dy 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得 dx dy Fy ),(yxFu x y 或或 y F x F dx dy 6.5.

8、2 6.5.2 隱函數的求導公式隱函數的求導公式 例例1. 設設0 xxey y 求求 0 x dx dy 解法解法1 xxeyyxF y ),(令令 , 1 y x eF 那那 么么 ,1 y y xeF dx dy 0 0 x dx dy y x F F y y xe e 1 1 于是于是 解法解法2 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得 01)( dx dy xee dx dy yy 解得解得 dx dy y y xe e 1 1 0 0 x dx dy 于是于是 例例2. 設設1 22 yx 求求 dx dy 及及 2 2 dx yd 解法解法1 y x F F y x 2 2

9、dx yd dx dy dx d 2 y yxy 3 1 y y x dx d 2 y y x xy 3 22 y xy 1),( 22 yxyxF 令令 dx dy 解法解法2 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得 022 dx dy yx dx dy y x 2. 設方程設方程0),(zyxF確定二元隱函數確定二元隱函數),(yxzz 求求 y z x z , ),(zyxFu x F z x F F x z y z Fz z y F F y z x y z 方程兩邊對方程兩邊對x 求偏導，得求偏導，得 x z Fz 0 方程兩邊對方程兩邊對 y 求偏導，得求偏導，得 y F 0 z

10、F xF zF yF 例例3. 設04 222 zzyx 求 2 2 , x z y z x z 解解zzyxzyxF4),( 222 xFx2, 2 ,yFy42 zFz x z z x F F z x 2 . 2z y 2 2 x z x z x 2 )2( )()2( z x z xz 3 22 )2( )2( z xz y z , z y F F z x x2 3 2 )2( 4 z y 另另 解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導，得求偏導，得 04 222 zzyx 0422 x z x z zx 解得解得 z x z x x z 224 2 方程兩邊對方程兩邊對 y 求偏導，得

11、求偏導，得 0422 y z y z zy 解得解得 z y z y y z 224 2 例例4. 設設0 xyze z , 求求 yx z 2 解解),(zyxFxyze z x z z x F F xye yz z , xye yz z yx z 2 )( x z y )( xye yz y z 2 )( )()( xye x y z eyzxye y z yz z zz y z z y F F xye xz z 3 222 )( )( xye yxxyzeez z zz 例例5.設設 0),( 2222 zyyxF 證明證明:xy y z zx x z yz 證明證明: x z )2(

12、2 2 1 zF xF 2 1 Fz Fx z y F F y z )2( 2)2( 2 21 zF yFyF 2 12 )( Fz FFy y z zx x z yz 2 1 Fz Fx yz 2 12 )( Fz FFy zx xy z x F F x F 1 F ,2x y F 1 F )2(y 2 F ,2y z F 2 F )2(z 得證得證 設設 0),( 0),( vuyxG vuyxF 求求 y v x v y u x u , 確定了隱函數確定了隱函數:),(yxuu ),( ,yxvv 方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導求偏導,得得 即 xvu xvu G x v G x u

13、G F x v F x u F x F x u F u x v F v 0 x G x u Gu x v Gv 0 2.方程組的情形方程組的情形 解方程組即得解方程組即得 例例1. 設設 1 0 xvyu yvxu 求求: y v x v y u x u , 方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導，得求偏導，得 x u xu 即即 v x v x x u y u x v y x u x 22 yx 0 時，時， x u , 22 yx yvxu x v 22 yx xvyu 解解 x v y 0 x u y x v xv 0 解方程組得解方程組得 方程兩邊對方程兩邊對 y 求導求導,得得 1 0 xvyu yvxu 0 0 y v x y u yu y v yv y u x 即 u y v x y u y v y v y y u x 當當 22 yx 0時時, y u , 22 yx yuxv y v 22