量子力學(xué)講義第二章波函數(shù)和Schroinger方程

1、第二章 波函數(shù)和Schroinger方程 質(zhì)子在鈀中的波函數(shù) http:/www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html 薛定諤 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961) 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波粒二象性的矛盾和解釋 1. 波和粒子的關(guān)系 波由粒子組成,波是大量粒子運動的表現(xiàn) 與減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一 個個從粒子源射出后仍有波動性的實驗不符 粒子由波組成,粒子=波包 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 反例:i)自由粒子平 面波,占據(jù)整個

2、空間 ii)色散 群速度: 相速度: 必有色散-粒子解體 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 粒子性 顆粒性(V) 軌道(X) 波動性 物理量周期分布(V and X) 將”粒子分布”視為物理量 疊加性-干涉,衍射(V) 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 時間為t時刻,粒子出在 位置r的幾率 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波函數(shù)的討論 的平方可積 除了個別孤立奇點外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù) 不確定性: i) 表示同一個態(tài)-歸一化 ii)相角不確定性(常數(shù)相角) 經(jīng)典,態(tài)確定性 量子:幾率性=可用以計算平均值 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 波函數(shù)的討論 平面波 多粒子體系的推廣 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

3、 動量幾率分布函數(shù) =Fourier變換頻譜 展開 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 可描寫體系狀態(tài), 也可描寫體系狀態(tài) 是同一個態(tài),不同自變量 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 代表在 態(tài)中, 出現(xiàn)單色平面波 的幾率 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 處在 的粒子,動量無確定值 相當(dāng)于晶體衍射 如若 則 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 坐標表象和動量表象 2.2 態(tài)疊加原理 波疊加 經(jīng)典 合成的波中有各種成分 相干性 量子 相干性 新特點 2.2 態(tài)疊加原理 新特點 可能性和概率 干涉項的概率性 是粒子運動狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不 同粒子之間的干涉 2.2 態(tài)疊加原理 波疊加原理的表述 a)如果 是可能態(tài) 則 也是一

4、個可能態(tài) b)在 中,體系出現(xiàn) 的幾率是 2.2 態(tài)疊加原理 討論 a) b)光子偏整態(tài):Malus定律 2.2 態(tài)疊加原理 討論 但任何時候觀測到的都是一整個光子, 而不是 個光子 =概率相干 2.2 態(tài)疊加原理 討論 c)線性疊加 d)疊加次序并不重要 2.3 薛定諤方程 經(jīng)典力學(xué) 牛頓方程特點: 線性方程 二階全微分方程,只有一個獨立變量t 唯一性 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性 2.3 薛定諤方程 量子力學(xué) 要求: 線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求) 系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù) t與x,y,z均為變量=只能是偏微分方程 解的唯一性=兩階正規(guī)方程 2.3 薛定諤方程 量子力學(xué) 進入方程式,體現(xiàn)微觀

5、世界的特點(量子化) -0,過渡到牛頓方程 2.3 薛定諤方程 建立方程的啟示 自由粒子 已知解=方程式(不唯一) 2.3 薛定諤方程 已知解=方程式(不唯一) 2.3 薛定諤方程 一般情況: 2.3 薛定諤方程 說明: a)波動力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h 進入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與 牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng) b)算符形式 2.3 薛定諤方程 力學(xué)量用算符表示 兩個慣例 1)只在直角坐標中適用,因為微商不協(xié)變 例:二維極坐標下的薛定諤方程 2.3 薛定諤方程 兩個慣例 2)將H分成三部分: i)與坐標無關(guān)的動量二次式 ii)只依賴于坐標的函數(shù) iii) 2.

6、3 薛定諤方程 因為有波函數(shù)統(tǒng)計解釋,因此概率流守恒定律自動 包含在薛定諤方程中 2.3 薛定諤方程 2.3 薛定諤方程 為什么 而與t無關(guān)? 2.3 薛定諤方程 定態(tài)U=U(r), 不顯含t 2.3 薛定諤方程 = 幾率流密度變不變? 2.3 薛定諤方程 本征值方程 2.3 薛定諤方程 邊界條件的討論: U連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) U趨向無窮大 (一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不 連續(xù) U趨向無窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一 階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù) 2.4 一維方勢阱 一維無限深勢阱 2.4 一維方勢阱 一維無限深勢阱 2.4 一維方勢阱 一維無限深勢阱 2.4

7、 一維方勢阱 一維無限深勢阱 一維方勢阱波函數(shù)圖象 一維方勢阱波函數(shù)圖象 2.4 一維方勢阱 思考題: 將勢能為零的區(qū)間放大或者縮小一倍(分是 足夠緩慢的變還是突變兩種情況)時,波函數(shù) 和能級怎么變? 將勢場曲線正題右移a,波函數(shù)和能級怎么變? 2.4 一維方勢阱 一維方勢阱 2.4 一維方勢阱 一維方勢阱 2.4 一維方勢阱 一維方勢阱 2.4 一維方勢阱 a)偶宇稱 波函數(shù)為 cos(kx) 關(guān)鍵:用 在 連續(xù)以代替波函數(shù) 以及導(dǎo)數(shù)的連續(xù).好處在于去掉波函數(shù)中常數(shù)的影響 2.4 一維方勢阱 結(jié)論:無論Ua2取何值,都有解(見下一頁圖) 一維方勢阱偶宇稱能譜圖 2.4 一維方勢阱 b)奇宇稱

8、 波函數(shù)為sin(kx) 結(jié)論:當(dāng) 時才有解(見下一頁圖) 一維方勢阱奇宇稱能譜圖 2.4 一維方勢阱 c)當(dāng)勢場趨于無窮時,回到一維無限深勢阱的特例 具有不同的深度 但是寬度相同的方勢阱(1) 具有不同的深度 但是寬度相同的方勢阱(2) 具有相同的深度 但是寬度不同的方勢阱(1) 具有相同的深度 但是寬度不同的方勢阱(2) 2.4 一維方勢阱 思考題: 半壁無限勢阱時的解如何? 2.5 一維諧振子 Motivation: u 物理上: 勢場在平衡位置附近展開 U(x)k(x-x0)2 任何連續(xù)諧振子體系無窮多個諧振子集合 輻射場簡諧波的疊加 原子核表面振動,理想固體(無窮個振子) 真正可以嚴

9、格求解的物理勢(不是間斷勢) 描述全同粒子體系產(chǎn)生,湮滅算符 2.5 一維諧振子 Motivation: u 數(shù)學(xué)上: 學(xué)會一套規(guī)范化的求解薛定諤方程的方案 通過數(shù)學(xué),看物理 2.5 一維諧振子 2.5 一維諧振子 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator u 無量綱化 優(yōu)點 單位在物理學(xué)上并不重要,重要的是一些無 量綱數(shù) 可使方程的系數(shù)變得最簡單 2.5 一維諧振子 2.5 一維諧振子 u “抓兩頭,帶中間” 抓兩頭:看方程在兩邊邊界上的漸進行為 (三維:0點與無窮遠點,一維:正負無窮遠點) 帶中間:使函數(shù)在兩頭有與漸近行為相同的 形式 2.5

10、 一維諧振子 使之變成關(guān)于H的方程式 2.5 一維諧振子 求級數(shù)解,找遞推關(guān)系 看解在無窮遠處的漸近行為,”斬斷魔爪”,無 限求和截斷為有限的多項式,從而得到能譜 及解 求出波函數(shù)=歸一化 aH 0121 2 aaa aa 21 12 2 2 2 v a a !1 2 ! 2 ! 2 1 24 2 2 e 12 n , 2 , 1 , 0n 2 2 2 42 2 ! 2 ! 1 2 ! 2 321 212 n n n nnn n n n nnnn nnH 為奇數(shù) 為偶數(shù) n n n n n)( 2/1 2/ 2 , 2 , 1 , 0 2 1 nnEn nn EE 1 2 1 0 E xHeN

11、x n x nn 22 2 1 2/1 2/1 !2 n N n n 2.5 一維諧振子 u 厄米多項式的討論 別名 母系(母函數(shù)) 仇家(正交性) 2.5 一維諧振子 u 厄米多項式的討論 兄弟姊妹(遞推關(guān)系) 對稱性 節(jié)點 2.5 一維諧振子 u 最低階的幾個厄米多項式及諧振子波函數(shù) 2.5 一維諧振子 p 產(chǎn)生湮滅算符 2.5 一維諧振子 思考題: 半壁振子(兩種情況)(圖)(暫缺) 2.5 一維諧振子 思考題: 對稱性 動量表象 2.5 一維諧振子 思考題: n維諧振子體系等間距能級 n個粒子 元激發(fā)(elementary exitation) 集合產(chǎn)生湮 滅算符 2.6 一維薛定諤方

12、程的普遍性質(zhì) 一維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實數(shù) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象(圖見后) 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 能量本征函數(shù)性質(zhì),以x趨近正無窮大為例 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 能量本征譜性質(zhì) 振蕩解,連續(xù)譜,二度簡并,散射態(tài) 指數(shù)衰減解 振蕩解 本征譜連續(xù),無簡并,非束縛態(tài)解 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 兩端均指數(shù)衰減,束

13、縛態(tài)解,分立譜,無 簡并 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 節(jié)點數(shù): 基態(tài)無節(jié)點,第n個激發(fā)態(tài)有n個節(jié)點 對稱性: 若U(x)=U(-x) 則波函數(shù)可具有確定的宇稱 正交歸一性 2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 上述結(jié)論均可用 的性質(zhì)證明 一維薛定諤方程的所有性質(zhì)都與其相應(yīng)的 Wronskian行列式有關(guān) 2.7 勢壘貫穿 經(jīng)典圖象:眼前無路好回頭 量子圖象:眼前無路穿著走 勢阱有無穿透? 什么條件下全透射無反射? 勢壘高度和寬度的影響? 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 2.7 勢壘貫穿 在非相對論情況下,粒子不可能穿

14、透無限高位壘 2.7 勢壘貫穿 如果討論的是勢阱而不是勢壘,那么只需要作代換 2.7 勢壘貫穿 共振透射的條件和共振能量 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 輳力 普遍性質(zhì) 若U(r)處處有界=波函數(shù)處處有界 若U(r)有極小值,則體系平均能量必大于勢場 的極小值 能量算符的本征值比大于勢場的極小值 若無窮遠處勢場為零,則能量本征值小于零 的能譜必定是分立譜,對應(yīng)束縛態(tài) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 普遍性質(zhì) Landau fall 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) Landau fall s2: r趨于零,吸引力為主;r趨于無窮,斥力為主 Landau fall s=2: 決定

15、于c和alpha的數(shù)值 alpha_critical=barh2/8m 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 角度部分的解 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 勒讓德多項式的性質(zhì) 別名 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 母系 兄弟姊妹 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 仇家 對稱性 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 幾個最低階的勒讓德多項式如下 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 2.8 三

16、維薛定諤方程(輳力場情況) 綜上所述,球?qū)ΨQ場中薛定諤方程角度部分的解 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 最低的幾個球諧函數(shù)是 2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況) 最低的幾個球諧函數(shù)是 2.9 氫原子 二體問題 質(zhì)心運動相對運動 相當(dāng)于自由粒子運動 M=m1+m2 相當(dāng)于一個質(zhì)量為折合質(zhì)量 m的粒子的運動 m=m1*m2/(m1+m2) Et=Ec+E 2.9 氫原子 庫侖場中的徑向方程 2.9 氫原子 2.9 氫原子 2.9 氫原子 2.9 氫原子 作代換 得到 令 2.9 氫原子 2.9 氫原子 為切斷無窮級數(shù),取 由 得到 2.9 氫原子 2.9 氫原子 由此,氫原子的鏡像波函數(shù)是 最低階的幾個徑向波函數(shù)最低階的幾個徑向波函數(shù) 2.9 氫原子 討論 簡并度 2.9 氫原子 討論 能級 對一般有心力場,能級與角動量量子數(shù)l 與磁量子數(shù)m有關(guān) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(a) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(b) 徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(c) 2.9 氫原子 討論 徑向分布函數(shù): 節(jié)點數(shù) 2.9 氫原子 討論 角分布 特點:對z軸旋轉(zhuǎn)對稱(因為是Lz的本征態(tài)) 波函數(shù)角分布的圖象波函數(shù)角分布的圖象(a) 波函數(shù)角分布的圖象波函數(shù)角分布