高等數(shù)學(xué)(下)空間幾何與向量代數(shù)7-6

1、 0),( 0),( zyxG zyxF 空間曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)的一般方程 曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足 方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在 曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn) 不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程. x o z y 1 S 2 S C 空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn)可看作空間兩曲面的交線(xiàn). 特點(diǎn)特點(diǎn)： 一、空間曲線(xiàn)的一般方程一、空間曲線(xiàn)的一般方程 例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圓柱面，表示圓柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332

2、1 22 zyx yx 交線(xiàn)為橢圓交線(xiàn)為橢圓. 例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圓柱面圓柱面, 交線(xiàn)如圖交線(xiàn)如圖. )( )( )( tzz tyy txx 當(dāng)當(dāng)給給定定 1 tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線(xiàn)線(xiàn)上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ),( 111 zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線(xiàn)線(xiàn)上上的的全全 部部點(diǎn)點(diǎn). 空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程二、空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A

3、點(diǎn)出點(diǎn)出 發(fā)，經(jīng)過(guò)發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) 例例 3 3 如如果果空空間間一一點(diǎn)點(diǎn)M在在圓圓柱柱面面 222 ayx 上上以以 角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，同同時(shí)時(shí)又又以以線(xiàn)線(xiàn)速速度度v沿沿平平行行于于z 軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點(diǎn)點(diǎn) M構(gòu)構(gòu)成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線(xiàn)線(xiàn)試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 A M M M在在xoy面面的的投投影影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程 取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)， 解解 x y z o 螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為

4、螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋線(xiàn)的重要螺旋線(xiàn)的重要性質(zhì)性質(zhì)： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF 消去變量消去變量z后得：后得： 0),( yxH 曲線(xiàn)關(guān)于曲線(xiàn)關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy 設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程：設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程： 以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面. 投影柱面的投影柱面的特征特征： 三、空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線(xiàn)在

5、坐標(biāo)面上的投影 如圖如圖:投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程. 空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影柱面投影柱面 類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn),yoz面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn),xoz 0 0),( z yxH 空間曲線(xiàn)在空間曲線(xiàn)在 面上的面上的投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)xoy 例例4 4 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去變量）消去變量z后得后得 , 4 3 22 yx 在在 面上的投影為面上的投影

6、為 xoy , 0 4 3 22 z yx 所以在所以在 面上的投影為線(xiàn)段面上的投影為線(xiàn)段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在）同理在 面上的投影也為線(xiàn)段面上的投影也為線(xiàn)段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因?yàn)榍€(xiàn)在平面）因?yàn)榍€(xiàn)在平面 上，上， 2 1 z 例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22 與平面與平面 02 zyx 的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程. 截線(xiàn)方程為截線(xiàn)方程為 02 22 zyx xzy 解解 如圖如圖, （2）消消去去y得得投投影影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消

7、去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影, 0 045 22 z xxyyx 補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. . 空間立體空間立體 曲面曲面 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和 由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立體 xoyyxz yxz 解解 半球面和錐面的交線(xiàn)為半球面和錐面的交線(xiàn)為 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得得投投影影柱柱面面消消去去 面面上上的的投投影影為為在在則則交交線(xiàn)線(xiàn)xoyC .

8、 0 , 1 22 z yx 一個(gè)圓一個(gè)圓, 面面上上的的投投影影為為所所求求立立體體在在 xoy . 1 22 yx 空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程 四、小結(jié)四、小結(jié) 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 思考題思考題 求橢圓拋物面求橢圓拋物面zxy 22 2與拋物柱面與拋物柱面 zx 2 2的交線(xiàn)關(guān)于的交線(xiàn)關(guān)于xoy面的投影柱面和面的投影柱面和 在在xoy面上的投影曲線(xiàn)方程面上的投影曲線(xiàn)方程.

9、思考題解答思考題解答 , 2 2 2 22 zx zxy 交線(xiàn)方程為交線(xiàn)方程為 消消去去z得得投投影影柱柱面面, 1 22 yx 在在 面上的投影為面上的投影為 xoy . 0 1 22 z yx 一、一、 填空題：填空題： 1 1、 曲面曲面zyx109 22 與與yoz平面的交線(xiàn)是平面的交線(xiàn)是_； 2 2、 通過(guò)曲線(xiàn)通過(guò)曲線(xiàn)162 222 zyx, ,0 222 yzx，且，且 母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_； 3 3、 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 01, 03323 22 zyzxyzzx 在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_； 4 4、 方程組方程組 32 15 xy

10、 xy 在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_； 5 5、 方程組方程組 3 1 94 22 y yx 在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_ _ _，在空間解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示_； 練練 習(xí)習(xí) 題題 6 6 、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面 22 yxz ( ( 40 z ) ) 在在xoy面面的的投投影影為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在yoz面面的的投投影影為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在zox面面上上的的投投影影為為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 畫(huà)出下列曲線(xiàn)在第一卦限的圖形：畫(huà)出下列曲線(xiàn)在第一

11、卦限的圖形： 1 1、 0 4 22 yx yxz 2 2、 222 222 azx ayx 三三、 將將曲曲線(xiàn)線(xiàn) xy zyx9 222 化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 四、四、 求螺旋線(xiàn)求螺旋線(xiàn) bz ay ax sin cos 在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn) 的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程 . . 五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面 222 yxaz , , 柱 面柱 面 0 22 axyx及平面及平面0 z所圍成的立體，在所圍成的立體，在 xoy面和 面和xoz面上的投影面上的投影 . . 一、一、1 1、 0 9 10 2 x zy ； 2 2、1623 ,163 2222 zxzy； 3 3、 0 0324 22 y xzx ； 4 4、兩直線(xiàn)的交點(diǎn)、兩直線(xiàn)的交點(diǎn), ,兩平面的交線(xiàn)；兩平面的交線(xiàn)； 5 5、橢圓與其一切線(xiàn)的交點(diǎn)、橢圓與其一切線(xiàn)的交點(diǎn), ,橢圓柱面橢圓柱面1 94 22 yx 與與 其切平面其切平面3 y的交線(xiàn)；的交