空間向量與立體幾何教材分析

1、空間向量與立體幾何教材分析一、內(nèi)容安排本章是選修2-1的第3章，包括空間向量的基本概念和運算，以及用空間向量解決直線、平面位置關(guān)系的問題等內(nèi)容。通過本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，并進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角，它是解決空間中圖形的位置關(guān)系和度量問題的非常有效的工具。本章以平面向量的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，通過類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，然后通過典型例題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用向量方法處理空間幾何問題的基本思想方法。二、主要特點1. 強調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法。充分利用空間向量與平面向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過類

2、比，引導(dǎo)學(xué)生自己將平面向量中的概念、運算以及處理問題的方法推廣到空間，既使相關(guān)內(nèi)容相互溝通，又使學(xué)生學(xué)習(xí)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，促使他們體會數(shù)學(xué)探索活動的基本規(guī)律，提高他們對向量的整體認識水平?？臻g向量的引進、運算、正交分解、坐標表示、用空間向量表示空間中的幾何元素等，都是通過與平面向量的類比完成的。在空間向量運算中，還注意了與數(shù)的運算的對比。另外，通過適當?shù)睦?，對解決空間幾何問題的三種方法，即向量方法、解析法、綜合法進行了比較，引導(dǎo)學(xué)生對各自的優(yōu)勢以及面臨問題時應(yīng)當如何做出選擇進行認識。2. 突出用空間向量解決立體幾何問題的基本思想。根據(jù)問題的特點，以適當?shù)姆绞桨褑栴}中涉及的點

3、、線、面等元素用空間向量表示出來，建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過空間向量的運算，研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系（距離和夾角等問題）；最后對運算結(jié)果的幾何意義作出解釋，從而解決立體圖形的問題。3. 用恰時恰點的問題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。使用了大量的“探究”、“思考”等，引導(dǎo)學(xué)生對相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行深入研討。例如，在對空間向量的各種運算與相應(yīng)的平面向量運算的異同的比較與證明、空間向量的正交分解定理的推導(dǎo)及向空間向量基本定理的推廣、如何對各種幾何元素及其關(guān)系進行恰當?shù)南蛄勘硎竞妥鴺吮硎?、如何根?jù)具體問題的需要選擇恰當?shù)姆椒ǖ龋加谩疤骄俊?、“思考”等方式提出問題,幫助學(xué)生形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度，轉(zhuǎn)變

4、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。三、背景分析1、平面向量的知識背景線性運算與數(shù)量積應(yīng)用：證明向量(直線 )平行、垂直，求距離、角等2、立體幾何背景判定定理等沒有證明(原因：較難)如：線面垂直的判定定理距離、角只介紹了有關(guān)概念，及很簡單的求解題。設(shè)計意圖：從整體上考慮，利用向量的優(yōu)勢，降低難度四、地位和作用用空間向量處理某些立體幾何問題，可以為學(xué)生提供新的視角，在空間特別是空間直角坐標系中引入空間向量，可以為解決三維圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的幾何問題增加一種理想的代數(shù)工具，從而提高學(xué)生的空間想象能力和學(xué)習(xí)效率。向量知識的引進，使我們能用代數(shù)的觀點和方法解決立體幾何問題，用計算代替邏輯推理和空間想象，用數(shù)的規(guī)范

5、性代替形的直觀性，具體、可操作性強，從而大大降低了立體幾何的求解難度。普通高中數(shù)學(xué)課程標準對立體幾何的定位主要作了三個方面的調(diào)整：強調(diào)把握圖形能力的培養(yǎng)，強調(diào)空間想象與幾何直觀能力的培養(yǎng)，強調(diào)邏輯思維能力的培養(yǎng)英國著名數(shù)學(xué)家m.阿蒂亞說過：“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分，這種區(qū)分也許用另外一對詞更好，即洞察與嚴格，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中起著本質(zhì)的作用” 內(nèi)容展開方式立體幾何初步的安排是橫向的：空間線線關(guān)系，空間線面關(guān)系，空間面面關(guān)系；空間向量與立體幾何的安排是縱向的：直線的方向向量與平面的法向量，線面關(guān)系的判定，空間角的計算本章先

6、講清直線的方向向量與平面的法向量兩個基本概念，然后從線面關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平面）的判定，空間角（包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角、平面與平面所成的角）的計算兩個方面研究空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，側(cè)重于應(yīng)用向量解決立體幾何問題的思想方法，而不在于簡單地用空間向量把立體幾何的有關(guān)概念、判定和性質(zhì)復(fù)述一遍四、本章的基本思想 本章突出了用空間向量解決立體幾何問題的基本思想根據(jù)問題的特點，以適當?shù)姆绞剑ɡ鐦?gòu)建向量、建立空間直角坐標系）用空間向量表示空間圖形中的點、線、面等元素，建立起空間圖形與空間向量的聯(lián)系；然后通過空間向量的運算，研究相應(yīng)元素之間的關(guān)系（平行、垂直、角

7、和距離等）；最后對運算結(jié)果的幾何意義作出解釋，從而解決立體幾何的問題教科書還通過例題，引導(dǎo)學(xué)生對解決立體幾何問題的三種方法（向量方法、坐標法、綜合法）進行比較，分析各自的優(yōu)勢，因題而宜作出適當?shù)倪x擇，從而提高綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力1、重點 空間向量的運算(線性運算、數(shù)量積)幾何形式、坐標形式應(yīng)用空間向量證明空間線、面的位置關(guān)系 應(yīng)用空間向量求空間線、面距離、角2、難點共面向量定理、空間向量基本定理(1)共線向量、共面向量定理用于證明空間線、面平行(2)空間向量基本定理用于引進向量的坐標表示(3)空間向量的數(shù)量積用于研究距離、角的計算(4)直線的方向向量與平面的法向量研究線、面所成的角五

8、、教學(xué)建議1、重視運用類比的方法進行空間向量的教學(xué)空間向量概念雖多，但它是平面向量在空間的推廣與拓寬，所涉及內(nèi)容多數(shù)與平面向量相似。因此，在教法上，宜多用類比法，在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，通過類比，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。找出空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別。如空間向量的加法，由于任何兩個空間向量經(jīng)平移可以共起點，則可以將兩個空間向量的加法轉(zhuǎn)化為平面向量的加法。同時，空間首尾相接的兩個向量也可采用三角形法則。在3個以上空間向量相加時，與平面向量不同，這些向量可能不共面，但仍可通過平移逐個相加。又如向量基本定理，對于平面向量，它的基底是不共線的兩個非零向量，而對于空

9、間向量，它的基底則是不共面的三個非零向量。在學(xué)習(xí)空間向量的過程中，必須注意維數(shù)增加所帶來的影響。例：1）平面向量共線定理類比：空間向量共線？空間向量共面？2）平面向量線性運算類比：空間向量線性運算？3）平面向量基本定理類比：空間向量基本定理:問題一：由二維類比到三維，對于空間任意一個向量，還可以用兩個不共線的向量線性表示嗎？問題二：如果將平面向量基本定理推廣到空間，你認為應(yīng)該怎樣敘述這個命題？問題三：類比平面向量基本定理的證明方法，你能證明你的結(jié)論成立嗎？對于問題二，有兩個思維方法：一是從基本量角度，一是用類比思維的一般方法：抓類比點(類比元素和類比關(guān)系)2、重視探究過程線線、線面、面面平行、

10、垂直的條件(用方向向量和法向量表示)線面垂直的判定定理的證明思路的探索3、引導(dǎo)學(xué)生歸納以向量方法解決立體幾何問題的規(guī)律課程標準關(guān)于空間向量的應(yīng)用給出了如下要求：（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。（2）能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。（3）能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）（4）能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題。體會向量方法在研究幾何問題中的作用。所以，培養(yǎng)學(xué)生在研究立體幾何問題上的向量意識，掌握以向量解題的基本方法成為空間向量與立體幾何的重中之重。為此，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生依以下步驟思考：（1）如何設(shè)置空間直角坐標系把已知的幾何條

11、件（如角或線段）轉(zhuǎn)換為向量表示；（2）考慮一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示；（3）如何對已經(jīng)表示出來的向量進行運算，獲得需要的結(jié)論。立體幾何傳統(tǒng)的方法是“形到形”的綜合推理，這對多數(shù)學(xué)生來說是比較困難的。而向量方法即代數(shù)推理的方法，就其體系而言，與算術(shù)、代數(shù)運算體系基本相似，學(xué)生可運用已熟悉的代數(shù)方法進行推理來掌握空間圖形的性質(zhì)。具體地說，以往用純幾何方法處理時，技巧性較大隨機性較強，而采用向量，可應(yīng)用一 些通法以降低解題難度，操作性較強。通過相當?shù)挠?xùn)練，使學(xué)生達到以下意識和習(xí)慣：（1）凡是能用向量解決的立體幾何問題盡可能用向量解法；（2）在解題過程中必須給出規(guī)范的格式和書寫，如空間直角坐標系的設(shè)置，各有關(guān)向量的坐標表示