離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度

1、2.3 離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度 前面討論連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度及其相前面討論連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度及其相 關(guān)性質(zhì)，并得出重要的關(guān)系式關(guān)性質(zhì)，并得出重要的關(guān)系式:(:(維納維納辛欽公式辛欽公式) ) 隨著快速傅里葉變化隨著快速傅里葉變化( (FFT) )算法出現(xiàn)以及數(shù)字信算法出現(xiàn)以及數(shù)字信 號(hào)處理號(hào)處理( (DSP) )芯片的飛速發(fā)展，對(duì)離散時(shí)間隨機(jī)過程芯片的飛速發(fā)展，對(duì)離散時(shí)間隨機(jī)過程 的研究就顯得非常重要。的研究就顯得非常重要。 2021-7-42 一一 離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度 1 平穩(wěn)平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)過程的

2、相關(guān)函數(shù)時(shí)間隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)X(n)為為廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)過程，或簡(jiǎn)時(shí)間隨機(jī)過程，或簡(jiǎn) 稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值。稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列，具有零均值。 X(n)可以可以 看作對(duì)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程進(jìn)行采樣得到的信號(hào)，看作對(duì)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程進(jìn)行采樣得到的信號(hào)， 采樣間隔采樣間隔 ，即，即 。 X(n)自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為: : )()()(mTnTXnTXEmRX 簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為： )()()(mnXnXEmRX s T( )( )| s t nT X nX t 2021-7-43 2 平穩(wěn)平穩(wěn)離散離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度 序列序列 的傅里

3、葉變換存在的的傅里葉變換存在的充要條件充要條件是是 滿足絕對(duì)可和條件：即滿足絕對(duì)可和條件：即 定義定義 的功率譜密度為序列的功率譜密度為序列 的傅的傅 里葉變換，并記為里葉變換，并記為 )(mRX ( ) X m Rm )(nX )(mRX )( X S ( )( ) jm T XX m SRm e 1 ( )( ) 2 jm T XX RSed 2021-7-44 是頻率為是頻率為 的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為 T是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。是隨機(jī)序列相鄰各值的時(shí)間間隔。 2 2 q T 奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率 )( X S 因?yàn)橐驗(yàn)?為周期函數(shù)，周期為為周期函數(shù)

4、，周期為)( X S 2 q deSmR Tjm X q X q q )( 2 1 )( 在在 時(shí)時(shí)0m 1 ( )(0)( ) 2 q q XX q E X nRSd 2021-7-45 3 譜分解譜分解 z變換定義變換定義 在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離 散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度定義為 的的z變變 換換，并記為，并記為 ，即，即 )(mRX zSX m m XX zmRzS )( 式中式中,()( ) j Tj T XX zeSeS 1 1 ( )( ) 2 m XX D RmSz zdz j 式中，式中，D為

5、在為在 的收斂域內(nèi)環(huán)繞的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)逆平面原點(diǎn)逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。 zSX 為為 的逆的逆z變換變換)(mRX zSX 2021-7-46 性質(zhì)：性質(zhì)： 1 ( )() XX SzS z （因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)?）)()(mRmR XX 譜分解定理譜分解定理 設(shè)設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有有是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過程，具有有 理功率譜密度函數(shù)理功率譜密度函數(shù) 。則。則 可分解為：可分解為： zSX zSX )()( 1 zBzBzS X )()( )()( )( 1 1 M M zz zz CzB )()( )()( )( 11 11 1 1 1 M

6、M zz zz CzB 其中其中 包含了包含了單位圓之內(nèi)單位圓之內(nèi) 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn) 包含了包含了單位圓之外單位圓之外 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn) 2021-7-47 例例 設(shè)設(shè) ，求，求 和和( ),1 m X Rmaa( ) X Sz( ) X S 解解 1 0 2 21 111 ( ) (1) 1()(1) (1) (1)(1)()() mmmm X mm Szaza z azzaz azzazaaz aaa azazaazz 將將 代人上式，即可求得代人上式，即可求得 j T ze 1 1 ( ) 2cos X aa S aaT 2021-7-48 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)

7、間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 離散時(shí)間離散時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) ( )X t( )X n ( ) c R ( )R m ( )S( ) c S FTDFT 2021-7-49 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 確知信號(hào)確知信號(hào) 離散時(shí)間離散時(shí)間 確知信號(hào)確知信號(hào) ( )S t ( )S n 采樣采樣 香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理 2021-7-410 平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理 其中，其中， 為采樣周期，為采樣周期， 為在為在 時(shí)對(duì)時(shí)對(duì) 的采樣。的采樣。 sin() ( )()()() () ccsc

8、 sscs nn cs tnT s ts nTs nTSatnT tnT ),( cc 1/2 sc Tf 設(shè)設(shè) 為一確知、連續(xù)、帶限的實(shí)信號(hào)，其為一確知、連續(xù)、帶限的實(shí)信號(hào)，其 頻帶范圍頻帶范圍 ，當(dāng)采樣周期，當(dāng)采樣周期 時(shí)時(shí) 即頻率即頻率 時(shí)，時(shí)， 可唯一由其可唯一由其 抽樣點(diǎn)抽樣點(diǎn) 確定（恢復(fù)）。確定（恢復(fù)）。 )(ts )(ts 2(2) sccc fff () s s nTnTt )(ts s T () s s nT 2021-7-411 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 確知信號(hào)確知信號(hào) 離散時(shí)間離散時(shí)間 確知信號(hào)確知信號(hào) ( )S t( )S n 采樣采樣 香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理 )()(nT

9、SnS sin() ( )() () ccs s n cs tnT s ts nT tnT 2021-7-412 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 離散時(shí)間離散時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 ( )X t( )X n 采樣采樣 2021-7-413 2 平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)過程的采樣定理的采樣定理 ( ) ( ) 0 Xc X S S 其其它它 1 2 s cc T f )(tX )(tX sin() ( )lim() N c s N nN c tn X tX nT tn () s X nT 是均方意義下的極限（均方極限）：是均方意義下的極限（均方極限）： 若若 ，則表示，則表示 ，

10、 即，在即，在 時(shí)，時(shí)，Y(t)和和X(t)的均方誤差趨于零。的均方誤差趨于零。 ( )lim( ) N X tY t 2 lim( )( ) 0 N E X tY t N lim 2021-7-414 的帶寬也是有限。的帶寬也是有限。 sin() ( )() c XXs n c n RRnT n a()( ),( ) j aj a XXX RaSeSe )(aRX sin() ()() c XXs n c n RaRnTa n 令令 ，則，則a sin() ( )() () c XXs n c an RRnTa an 對(duì)對(duì) ， 對(duì)對(duì) 應(yīng)用香農(nóng)采樣定理應(yīng)用香農(nóng)采樣定理 帶寬有限，帶寬有限， 是

11、是帶限確定信號(hào)帶限確定信號(hào)，由香農(nóng)，由香農(nóng) 采樣定理可知采樣定理可知 )( X R( )( ) XX RS )( X S 是確知函數(shù)，維納是確知函數(shù)，維納-辛欽定理：辛欽定理： )( X R 2021-7-415 sin() ( )() N c s nN c tn X tX nT tn 令令 lim( )( )() sin() ()()0 N c XsXss n c EX tX tX mT tn RtmTRnTmT tn ，則則 這說明，這說明， ( )( )X tX t )(mTX 正交正交 又又 是是 的線性組合，的線性組合， sin() ( )() N c s nN c tn X tX

12、nT tn )(mTX N 正交正交 ( )( )X tX t )( tX 2021-7-416 即即 lim( )( )( )0 N EX tX tX t (4) 又又 lim( )( )( )0 N EX tX tX t (5) 2 lim( )( ) lim( )( )( )lim( )( )( )0 N NN EX tX t E X tX tX tE X tX tX t 即即 sin() ( )lim( )lim() N c s NN nN c tn X tX tX nT tn 2021-7-417 2 lim( )( )0 N EX tX t sin() ( )lim() N c s

13、 N nN c tn X tX nT tn sin() ( )() c XXs n c n RRnT n sin() ()() c XXs n c n RaRnTa n sin() ( )() () c XXs n c an RRnTa an lim( )( )( )0 N EX tX tX t (4) lim( )( )( )0 N EX tX tX t (5) 2021-7-418 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 離散時(shí)間離散時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 ( )X t ( )X n sin() ( )lim() N c s N nN c tn X tX nT tn 采樣采樣(

14、 )()X nX nT 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) ( ) c R( )R m ( )S ( ) c S FTDFT 2021-7-419 三三 功率譜密度的采樣定理功率譜密度的采樣定理 若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過程若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過程 ，其自相關(guān)函數(shù)，其自相關(guān)函數(shù) 和功率譜密度分別記為和功率譜密度分別記為 和和 ，對(duì)，對(duì) 采樣后所采樣后所 得離散時(shí)間隨機(jī)過程得離散時(shí)間隨機(jī)過程 ， 的自相關(guān)函的自相關(guān)函 數(shù)和功率譜密度分別記為數(shù)和功率譜密度分別記為 和和 ，則有，則有 )( c R)( c S ( ) c Xt ( )() s X nX nT)(nX )(mR )(S ( )( )()()() ()( )| s cscs cscmT R mE X n X nmE XnT XnTmT R mTR 1 ( )(2) cqq n ss SSn TT ( ) c Xt 2021-7-420 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 離散時(shí)間離