第七章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第二篇第二篇 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué) 引引 言言 運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就也就 是是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi) 容包括：容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。 學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必 要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。 由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的 物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上

2、的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考參考 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。 時(shí)間概念要明確：時(shí)間概念要明確：瞬時(shí)瞬時(shí)和和時(shí)間間隔時(shí)間間隔。 運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)點(diǎn)和和剛體剛體。 第七章第七章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 第二篇第二篇 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué) 引引 言言 運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)的科學(xué)。也就也就 是是從幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。從

3、幾何學(xué)方面來研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)的內(nèi) 容包括：容包括：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。 學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的意義：首先是為學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)打下必 要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。要的基礎(chǔ)。其次運(yùn)動(dòng)學(xué)本身也有獨(dú)立的應(yīng)用。 由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的由于物體運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。將觀察者所在的 物體稱為物體稱為參考體參考體，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為，固結(jié)于參考體上的坐標(biāo)系稱為參考參考 坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。只有明確參考系來分析物體的運(yùn)動(dòng)才有意義。 時(shí)間概念要明確：時(shí)間概

4、念要明確：瞬時(shí)瞬時(shí)和和時(shí)間間隔時(shí)間間隔。 運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：運(yùn)動(dòng)學(xué)所研究的力學(xué)模型為：點(diǎn)點(diǎn)和和剛體剛體。 第七章第七章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué) 本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即：本章將介紹研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種方法，即： 矢徑法、直角坐標(biāo)法矢徑法、直角坐標(biāo)法和和自然法自然法。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù) 變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的。點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)和和曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)。 表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律

5、的數(shù)學(xué)方表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方 程稱為點(diǎn)的程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程。 本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、 速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。 8.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法 一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 如圖，動(dòng)點(diǎn)如圖，動(dòng)點(diǎn)M沿其軌跡運(yùn)沿其軌跡運(yùn) 動(dòng)，在瞬時(shí)動(dòng)，在瞬時(shí)t，M點(diǎn)在圖示位置。點(diǎn)在圖示位置。 參考體 O M r 由參考點(diǎn)由參考點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)向動(dòng)點(diǎn)M作一矢作一矢 量量 ，則稱，則稱 為為矢徑矢徑。OMr r 于是動(dòng)點(diǎn)矢徑形式的運(yùn)動(dòng)方程為于是動(dòng)點(diǎn)矢徑形式的運(yùn)動(dòng)方程為 )(trr 顯然，矢徑的矢端曲線就是點(diǎn)運(yùn)

6、動(dòng)的軌跡。顯然，矢徑的矢端曲線就是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。 用矢徑法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有簡潔、直觀的用矢徑法描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有簡潔、直觀的 優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)。 8.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法 二、點(diǎn)的速度二、點(diǎn)的速度 A BO M M )(tr )(ttr r v v )()(trttrrMM 則則 t r v 表示動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔表示動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平t 均快慢和方向，稱為點(diǎn)的均快慢和方向，稱為點(diǎn)的平均速度平均速度。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，平均速度的極限矢量稱為動(dòng)時(shí)，平均速度的極限矢量稱為動(dòng) 點(diǎn)在點(diǎn)在t瞬時(shí)的瞬時(shí)的速度速度。即。即 0t r dt rd t r vv tt 00 limlim 即：即：點(diǎn)的速度等于它的矢

7、徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)點(diǎn)的速度等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo) 數(shù)數(shù)。方向沿軌跡的切線方向。方向沿軌跡的切線方向。 如圖，動(dòng)點(diǎn)如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間在時(shí)間間 隔隔 內(nèi)的位移為內(nèi)的位移為t 8.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢徑法 三、點(diǎn)的加速度三、點(diǎn)的加速度 M M v v v v a a 如圖，動(dòng)點(diǎn)如圖，動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔 內(nèi)速度矢量的內(nèi)速度矢量的 改變量為改變量為 t vvv 則則 t v a 表示動(dòng)點(diǎn)的速度在時(shí)表示動(dòng)點(diǎn)的速度在時(shí) t內(nèi)的平均變化率，稱為內(nèi)的平均變化率，稱為間間隔間間隔 平均加速度平均加速度。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，平均加速度的極限矢量稱為時(shí)，平均加速度的極限矢量稱為 動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)在t瞬時(shí)的瞬時(shí)的加速度加速度

8、。即。即 0t rv dt vd t v aa tt 00 limlim 即：即：點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階 導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程一、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 O x y z i j k r M x y z 如圖，在參考體上建立直角如圖，在參考體上建立直角 坐標(biāo)系。則坐標(biāo)系。則 )( 1 tfx )( 2 tfy )( 3 tfz 這就是這就是直角坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)直角坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)方程動(dòng)方程。 由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間由運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t可得兩個(gè)柱面方程：可得兩個(gè)

9、柱面方程： 0),( 1 yxF0),( 2 zyF 這兩個(gè)柱面方程的交線就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，這兩個(gè)柱面方程的交線就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡， 上式稱為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。上式稱為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 O x y z i j k r M x y z 由圖可知，動(dòng)點(diǎn)的矢徑為由圖可知，動(dòng)點(diǎn)的矢徑為 kzj yi xr 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得 k dt dz j dt dy i dt dx dt rd v 將動(dòng)點(diǎn)的速度表示為解析形式，則有將動(dòng)點(diǎn)的速度表示為解析形式，則有 kvjvivv zyx

10、比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影比較上述兩式，可得速度在各坐標(biāo)軸上的投影 x dt dx vxy dt dy vyz dt dz vz 這就是這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的速度用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的速度。即：。即：點(diǎn)的速點(diǎn)的速 度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)度在直角坐標(biāo)軸上的投影，等于點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí) 間的一階導(dǎo)數(shù)間的一階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影二、點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 若已知速度的投影，則速度的大小為若已知速度的投影，則速度的大小為 222 zyxv 其方向余弦為其方向余弦為 v z kv v y jv v x iv

11、),cos( ),cos( ),cos( 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 由于加速度是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則由于加速度是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，則 k dt dv j dt dv i dt dv k dt zd j dt yd i dt xd a z y x 2 2 2 2 2 2 將動(dòng)點(diǎn)的加速度表示為解析形式，則有將動(dòng)點(diǎn)的加速度表示為解析形式，則有 kajaiaa zyx 比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影比較上述兩式，可得加速度在各坐標(biāo)軸上的投影 x dt xd dt dv a x x 2 2 y dt yd dt

12、 dv a y y 2 2 z dt zd dt dv a z z 2 2 這就是這就是用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的加速度用直角坐標(biāo)法表示的點(diǎn)的加速度。即：。即：點(diǎn)的點(diǎn)的 加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點(diǎn)速度在對(duì)應(yīng)加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于該點(diǎn)速度在對(duì)應(yīng) 坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)軸上的投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于該點(diǎn)對(duì) 應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 若已知加速度的投影，則加速度的大小為若已知加速度的投影，則加速度的大小為 三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影三、點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影 222222 zyxaaaa

13、 zyx 其方向余弦為其方向余弦為 a z ka a y ja a x ia ),cos( ),cos( ),cos( 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 例例1 A B M R O 桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑 為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)， 已知 （ 為常數(shù)）。求小環(huán)M的 運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 t A B M Ox y 2 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)。則 2cos 2sin Ry Rx 即為小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程。 tRy tRx 2cos 2sin 即 tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 例1 故M點(diǎn)的速度大小為Rvvv yx 2 22 A B M

14、Ox y 2 v x v y v 其方向余弦為 2cos),cos( v v iv x 2sin),cos( v v jv y 如圖。 xtRva xx 22 42sin4 ytRva yy 22 42cos4 故M點(diǎn)的加速度大小為 222 4Raaa yx 且有rj yi xj yi xa 2222 4)(444 加速度的方向如圖。 a 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 例2 半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無滑動(dòng) 地滾動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn) 動(dòng)，且輪心的速度為已知值u，試分析輪子 邊緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。 MM R o 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)M點(diǎn)所在的

15、一 個(gè)最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過一個(gè)角 度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為 )sin( sin R OMACx )cos1 ( cos R OMOCy 這是旋輪線的參數(shù)方程。 o R C A x y M 例2 8.2 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法 例2 M點(diǎn)的速度為： jRiRj yi xv )sin()cos1 ( 其中 可由輪心速度求出： RdtRdxu O / )( 當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸，即 時(shí)，M點(diǎn)速度等 于零。 k2 o R C A x y M 此時(shí)M點(diǎn)的加速度是否為零？為什么？ 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 一、運(yùn)動(dòng)方程一、運(yùn)動(dòng)方程 O M s )( )( 設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如的運(yùn)動(dòng)軌跡如 圖。圖。 S

16、弧坐標(biāo)弧坐標(biāo) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)隨時(shí)間當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)隨時(shí)間t連續(xù)變連續(xù)變 化，且為時(shí)間化，且為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即的單值連續(xù)函數(shù)，即 )(tfs 這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 二、曲率和曲率半徑二、曲率和曲率半徑 M )( )( M s 圖示空間曲線，圖示空間曲線， 表明曲線在弧表明曲線在弧 長長 內(nèi)彎曲的程度。內(nèi)彎曲的程度。 MMs s k 稱為稱為 的的平均曲率平均曲率。MMs 當(dāng)當(dāng) 點(diǎn)趨近于點(diǎn)趨近于M點(diǎn)時(shí)，平均曲率的極限值就是點(diǎn)時(shí)，平均曲率的極限值就是 曲線在曲線在M點(diǎn)的點(diǎn)的曲率曲率，即，即 M s k s 0

17、 lim M點(diǎn)曲率的倒數(shù)稱為曲線在點(diǎn)曲率的倒數(shù)稱為曲線在M點(diǎn)的曲率半徑，點(diǎn)的曲率半徑， 即即 s k 0 lim 1 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 三、自然軸系三、自然軸系 M )( )( M s 密切面 法面 切線 主法線 副法線 M n b 如圖。由三個(gè)方向的單位矢量構(gòu)成的坐如圖。由三個(gè)方向的單位矢量構(gòu)成的坐 標(biāo)系稱為標(biāo)系稱為自然軸系自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右。且三個(gè)單位矢量滿足右 手法則，即手法則，即 nb 自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。自然軸系不是固定的坐標(biāo)系。 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 四、用自然法表示點(diǎn)的速度四、用自然法表示點(diǎn)的速度 由點(diǎn)的速度的矢徑法由點(diǎn)的速度的矢徑法 ds rd d

18、t ds ds ds dt rd dt rd v 由于由于 ds rd 所以所以v t s dt ds t 0 lim dt ds vv 即：即：動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的速度的代數(shù)值等于弧 坐標(biāo)坐標(biāo)s對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，速度的方向沿著 軌跡的切線方向，當(dāng)軌跡的切線方向，當(dāng) 為正時(shí)指向與為正時(shí)指向與 相同，相同， 反之，與反之，與 相反。相反。 dt ds 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 五、用自然法表示點(diǎn)的加速度五、用自然法表示點(diǎn)的加速度 由點(diǎn)的加速度的矢徑法由點(diǎn)的加速度的矢徑法 dt d v dt dv v dt d dt vd a )( 由

19、于n v dt d 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由兩個(gè)分矢量組成：分矢是由兩個(gè)分矢量組成：分矢 量量 的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向 加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢 量量 的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加 速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。 a dt dv a n v an 2 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 五、用自然法表示點(diǎn)的加速度五、用自然法表示點(diǎn)的加速度 加速度在三個(gè)自然

20、軸上的投影為加速度在三個(gè)自然軸上的投影為 s dt sd dt dv a 2 2 2 v an0 b a 全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為全加速度位于密切面內(nèi)，其大小為 2 2 222 )()( v dt dv aaa n 方向余弦為方向余弦為 a a a ),cos( a a na n ),cos( 8.3 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然法 A B M R O 桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑 為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動(dòng)， 已知 （ 為常數(shù)）。求小環(huán)M的 運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。 t 解：建立如圖所示的自然坐標(biāo)。 則點(diǎn)的自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為 例例3 A B M 2 O s tRRs2)2( 速度為 R dt ds v2 v 加速度為 0 dt dv a 2