第十一章 波動(dòng)光學(xué) 練習(xí)題

1、11-1 鈉黃光波長(zhǎng)為589.3mm，試以一次延續(xù)時(shí)間計(jì)，計(jì)算一個(gè)波列中的完整波的個(gè)數(shù)。解 11-2 在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)做如下調(diào)節(jié)時(shí)，屏幕上的干涉條紋將如何變化？（要說明理由）（1） 使兩縫之間的距離逐漸減??；（2） 保持雙縫的間距不變，使雙縫與屏幕的距離逐漸減??；（3）如圖11.3所示，把雙縫中的一條狹縫遮住，并在兩縫的垂直平分線上放置一塊平面反射鏡。解 （1）由條紋間距公式，在D和不變的情況下，減小d可使增大，條紋間距變寬。（2）同理，若和保持不變，減小D，變小，條紋變密，到一定程度時(shí)條紋將難以分辨。（3）此裝置同洛埃鏡實(shí)驗(yàn)，由于反射光有半波損失，所以 與楊氏雙縫的干涉條紋相比，其明暗條

2、紋分布的狀況恰好相反，且相干的區(qū)域僅在中心軸線上方的一部分。11-3 洛埃鏡干涉裝置如圖11.4所示，光源波長(zhǎng)，試求鏡的右邊緣到第一條明紋的距離。解 因?yàn)殓R右邊緣是暗紋中心，它到第一明條紋的距離h應(yīng)為半個(gè)條紋間隔，11-4 由汞弧燈發(fā)出的光，通過一綠光濾光片后，照射到相距為0.60mm的雙縫上，在距雙縫2.5m遠(yuǎn)處的屏幕上出現(xiàn)干涉條紋?，F(xiàn)測(cè)得相鄰兩明條紋中心的距離為2.27mm，求入射光的波長(zhǎng)解 有公式得 11-5 在雙縫裝置中，用一很薄的云母片（n=1.58）覆蓋其中的一條狹縫，這時(shí)屏幕上的第七級(jí)明條紋恰好移到屏幕中央原零級(jí)明條紋的位置。如果入射光的波長(zhǎng)為550mm，則這云母片的厚度應(yīng)為多少

3、？解 設(shè)云母片的厚度為，根據(jù)題意，插入云母片而引起的光程差為 11-6 在楊氏干涉裝置中，光源寬度為，光源至雙孔的距離為，所用光波波長(zhǎng)為。（1）試求雙孔處的橫向相干寬度；（2）試求當(dāng)雙孔間距為時(shí)，在觀察屏幕上能否看到干涉條紋？（3）為能觀察到干涉條紋，光源至少應(yīng)再移動(dòng)多少距離？解 （1） 由公式得 （2）不能，因?yàn)椋?）11-7 在楊氏實(shí)驗(yàn)裝置中，采用加有藍(lán)綠色濾光片的白色光源，其波長(zhǎng)范圍為，平均波長(zhǎng)為。試估計(jì)從第幾級(jí)開始，條紋將變得無法分辨？解 設(shè)藍(lán)綠光的波長(zhǎng)范圍為，則按題意有相應(yīng)于和，楊氏干涉條紋中k級(jí)極大的位置分別為因此，k級(jí)干涉條紋所占據(jù)的寬度為顯然，當(dāng)此寬度大于或等于相應(yīng)與平均波長(zhǎng)

4、的條紋間距時(shí)，干涉條紋變得模糊不清，這個(gè)條件可以表達(dá)為即所以，從第五級(jí)開始，干涉條紋變得無法分辨。11-8 （1）在白色的照射下，我們通?？煽吹匠什噬y的肥皂膜和肥皂泡，并且當(dāng)發(fā)現(xiàn)有黑色斑紋出現(xiàn)時(shí)，就預(yù)示著泡沫即將破裂，試解釋這一現(xiàn)象。（2）在單色照射下觀察牛頓環(huán)的裝置中，如果在垂直于平板的方向上移動(dòng)平凸透鏡，那么，當(dāng)透鏡離開或接近平板時(shí)，牛頓環(huán)將發(fā)生什么變化？為什么？解 （1）肥皂泡沫是由肥皂水形成的厚度一般并不均勻的薄膜，在單色光照射下便可產(chǎn)生等厚干涉花紋。用白光照射可產(chǎn)生彩色的干涉花紋。 設(shè)泡沫上的黑斑這一局部區(qū)域可近似看作是厚度e均勻的薄膜，由于它的兩表面均與空氣相接觸，因此在薄膜干

5、涉的反射光相消條件中須計(jì)入半波損失，其為式中，為入射光的波長(zhǎng)，i為光線的入射角。擋在白光照射下觀察到黑斑這一現(xiàn)象，說明對(duì)于任何波長(zhǎng)的可見光在該處均產(chǎn)生干涉相消，于是由上面的公式可見，此時(shí)惟有k=0,厚度時(shí)，才能成立。因而黑斑的出現(xiàn)即使肥皂沫先破裂的先兆。 （2）在牛頓環(huán)裝置中，若平凸透鏡球面與平板玻璃相接觸，空氣膜上下表面反射光之間的光程差式中e是空氣薄膜厚度，離中心不同的地方，e的大小不同。將平凸透鏡垂直于平板方向向上移動(dòng)一距離h，則各處的空氣層厚度均增加同一量值2h，為因此，各處的干涉條紋的級(jí)數(shù)。每當(dāng)h增加時(shí)，干涉條紋向內(nèi)收縮，明與暗之間交替變化一次。而每當(dāng)h增加，干涉條紋有變得與原來相同

6、（僅是干涉條紋的級(jí)數(shù)k增加1）。所以，當(dāng)透鏡離開（或接近）平板時(shí)，牛頓環(huán)發(fā)生收縮（或擴(kuò)張），各處將整體同步地發(fā)生明、暗的交替變化，而在指定的圓環(huán)范圍內(nèi)，包含的條紋數(shù)目則是始終不變的。11-9 波長(zhǎng)范圍為400nm-700nm的白光垂直入射在肥皂膜上，膜的厚度為550nm，折射率為1.35。試問在反射光中哪些波長(zhǎng)的光干涉增強(qiáng)？那些波長(zhǎng)的光干涉相消？解 垂直入射是，考慮到半波損失，反射干涉光的光程差為當(dāng) 時(shí)，干涉相長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，干涉相消，取 。11-10 在棱鏡表面涂一層增透膜，為使此增透膜適用于550m波長(zhǎng)的光，膜的厚度應(yīng)取何值？解 設(shè)垂直入射于增透膜上，根據(jù)題意：膜厚令 ，可得增透膜的最

7、薄厚度為11-11 有一楔形薄膜，折射率，楔角，在某一單色光的垂直照射下，可測(cè)得兩相鄰明條紋之間的距離為0.25cm，試求：（1）此單色光在真空中的波長(zhǎng);（2）如果薄膜長(zhǎng)為3.5cm，總共可出現(xiàn)多少條明條紋？解 （1） 由楔形薄膜的干涉條件得兩相鄰明條紋間距：以代入上式得（2）在長(zhǎng)為的楔形膜上，明條紋總數(shù)為11-12 圖11.5為一干涉膨脹儀的示意圖，AB與二平面玻璃板之間放一熱膨脹系數(shù)極小的熔石英環(huán)柱，被測(cè)樣品W置于該環(huán)柱內(nèi)，樣品的上表面與AB板的下表面形成一楔形空氣層，若以波長(zhǎng)為 的單色光垂直射于此空氣層，就產(chǎn)生等厚干涉條紋。設(shè)在溫度為時(shí)，測(cè)得樣品的長(zhǎng)度為；溫度升高到時(shí)，測(cè)得樣品的長(zhǎng)度為L(zhǎng)

8、.并且在這過程中，數(shù)得通過視場(chǎng)中某一刻線的干涉條紋數(shù)目為N,設(shè)環(huán)柱的長(zhǎng)度變化可以忽略不計(jì)，求證：被測(cè)樣品材料的熱膨脹系數(shù)為 解 該裝置中AB平板玻璃與樣品W表面中間所夾的是一楔形空氣薄膜，在等厚干涉條紋中，設(shè)在溫度時(shí)，某一刻線所在位置對(duì)應(yīng)于第k級(jí)暗條紋，此處楔形空氣層的厚度為滿足溫度升高到時(shí)，由于樣品W的長(zhǎng)度發(fā)生膨脹，有N條干涉條紋通過此刻線，則對(duì)應(yīng)該刻線處干涉條紋級(jí)數(shù)變?yōu)閗-N,于是楔形空氣層厚度變?yōu)橐勒疹}意，忽略石英環(huán)的膨脹，則該處空氣層厚度的減少為由膨脹系數(shù)的定義得11-13 利用楔形空氣薄膜的等厚干涉條紋，可以測(cè)量經(jīng)精密加工后工件表面上極小紋路的深度。如圖11.6，在工件表面上放一平板

9、玻璃，使期間形成楔形空氣薄膜，以單色光垂直照射玻璃表面，用顯微鏡觀察干涉條紋，由于工件表面不平，觀察到的條紋如圖所示，試根據(jù)條紋彎曲的方向，說明工件表面上紋路是凹的還是凸的？并證明紋路深度可用下式表示：其中a,b如圖所示。解 紋路是凹的，因工件表面有凹紋，故各級(jí)等厚線的相應(yīng)部分向楔形膜頂端移動(dòng)。兩相鄰暗紋間距離為b,對(duì)應(yīng)高度差為，則有當(dāng)條紋移動(dòng)距離為a是，對(duì)應(yīng)高度差H(即紋路深度）為11-14 （1）若用波長(zhǎng)不同的觀察牛頓環(huán)，觀察到用時(shí)的第k個(gè)暗環(huán)與用時(shí)的第k+1個(gè)暗環(huán)重合，已知透鏡的曲率半徑是190cm，求用時(shí)第k個(gè)暗環(huán)的半徑.(2)若在牛頓環(huán)中波長(zhǎng)為500nm的光的第5個(gè)明環(huán)與波長(zhǎng)為的光的

10、第6個(gè)明環(huán)重合，求波長(zhǎng)。 解 （1）牛頓環(huán)中k級(jí)暗條紋半徑依照題意，當(dāng)光的k級(jí)暗條紋與光的第級(jí)暗條紋在r處重合是滿足由(1）、（2）式解得 （3）式代入(1)式得（2） 用波長(zhǎng)的光照射，級(jí)的明環(huán)與用波長(zhǎng)的光照射時(shí)，級(jí)的明環(huán)重合，則有關(guān)系式所以，11-15 在圖11.7所示的裝置中，平面玻璃板是由兩部分組成的（冕牌玻璃和火石玻璃），透鏡是用冕牌玻璃制成，而透鏡與玻璃板之間的空間充滿著二硫華碳，試問 由此而成的牛頓環(huán)的花樣如何？為什么？ 解 由于火石玻璃的折射率大于二硫化碳的折射率，而二硫化碳的折射率大于冕牌玻璃，當(dāng)光波由冕牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃時(shí)，都有“半波損失”，上、下

11、表面反射沒有額外程差，而光波由二硫化碳射向冕牌玻璃時(shí)沒有半波損失，因此在右半邊上下表面反射有額外程差，所以此扭動(dòng)環(huán)的花樣有以下特點(diǎn)：（1）在牛頓環(huán)中心，火石玻璃一側(cè)外為亮斑，冕牌玻璃一側(cè)處為暗斑，（2）火石玻璃處，由中心向外為亮斑、暗斑、亮環(huán)交替變化；冕牌玻璃處由中心向外為暗斑、亮環(huán)、暗環(huán)交替變化。（3)同一半徑的圓環(huán)，一半亮一半暗。第k級(jí)條紋的半徑為式中n是二硫化碳的折射率。在冕牌玻璃上方為暗條紋位置，在火石玻璃上方為亮條紋位置。11-16 用波長(zhǎng)為589nm的鈉黃光觀察牛頓環(huán)。在透鏡與平板接觸良好的情況下，測(cè)得第20個(gè)暗環(huán)的直徑為0.687cm。當(dāng)透鏡向上移動(dòng)時(shí)，同一級(jí)暗環(huán)的直徑變?yōu)槎嗌伲?/p>

12、 解 透鏡與平板接觸良好的情況下，暗半徑，由已知條件可得當(dāng)透鏡向上移動(dòng)時(shí)，暗環(huán)半徑11-17 一塊玻璃上滴一油滴，當(dāng)油滴展開成油膜時(shí)，在波長(zhǎng)的單色光垂直入射下，從反射光中觀察油膜所形成的干涉條紋，已知玻璃的折射率為，油膜的折射率為，問：（1） 當(dāng)油膜中心最高點(diǎn)與玻璃片上表面相距1200nm時(shí)，可看到幾條明條紋？明條紋所在處的油膜厚度為多少？中心點(diǎn)的明暗程度如何？（2） 當(dāng)油膜繼續(xù)攤展時(shí)，所看到的條紋情況將如何變化？中心點(diǎn)的情況如何變化？解 （1）在空氣油以及油玻璃反射界面上均有“半波損失”，因此明條紋處必滿足式中e為油膜厚度。當(dāng)。當(dāng)時(shí)，可看到5條明條紋（）。各級(jí)明條紋所在處的油膜厚度如前所示，

13、中心點(diǎn)的明暗程度介于明條紋與暗條紋之間。（2） 此時(shí)油膜半徑擴(kuò)大，油膜厚度減?。粭l紋級(jí)數(shù)減少，間距增大；中心點(diǎn)由半明半暗向暗、明依次變化，直至整個(gè)油膜呈現(xiàn)一片明亮區(qū)域。11-18 （1）邁克耳孫干涉儀可用來測(cè)量單色光的波長(zhǎng)，當(dāng)移動(dòng)距離時(shí)，測(cè)得某單色光的干涉條紋條移過，試求該單色光的波長(zhǎng)。 （2）在邁克耳孫干涉儀的鏡前，當(dāng)插入一薄玻璃片時(shí)，可觀察到有150條干涉條紋向一方移過，若玻璃片的折射率，所用的單色光的波長(zhǎng)，試求玻璃片的厚度。解 （1）由得（2） 插入一薄玻璃片時(shí)，設(shè)玻璃片的厚度為d，則相應(yīng)的光程差變化為所以11-19 利用邁克耳孫干涉儀進(jìn)行長(zhǎng)度的精密測(cè)量，光源是鎘的紅色譜線，波長(zhǎng)為643

14、.8nm，譜線寬度為，試問一次測(cè)量長(zhǎng)度的量程是多少？如果使用波長(zhǎng)為631.8nm，譜線寬度為的氦氖激光，則一次測(cè)量長(zhǎng)度的量程又是多少？解 發(fā)生相干的最大光程差，測(cè)量的長(zhǎng)度L最大值為，則11-20 （1）在單縫衍射中，為什么衍射角愈大（級(jí)數(shù)愈大）的那些明條紋的亮度就愈小？（2）在單縫的夫瑯和費(fèi)衍射中，增大波長(zhǎng)與增大縫寬對(duì)衍射圖樣分別產(chǎn)生什么影響？ 解 (1)衍射角愈大，則可分成的半波帶數(shù)目越多，而每一半波帶的面積以及相應(yīng)的光能量越小。因?yàn)槊恳幻鳁l紋都是由相消后留下的一個(gè)半波帶所形成，因此它的亮度就越小了。（2） 衍射中央明紋半衍射角寬度的正弦滿足：k級(jí)暗條紋衍射角的正弦滿足：由此可見，增大波長(zhǎng)，

15、中央明條紋變寬，各級(jí)條紋變疏；增加縫寬，則中央條紋變窄，各級(jí)條紋變密。11-21 波長(zhǎng)為500nm的平行光線垂直地入射到一寬為1mm的狹縫，若在縫的后面有一焦距為100cm的薄透鏡，使光線聚焦于一屏幕上，試問從衍射圖樣的中心點(diǎn)到以下點(diǎn)的距離如何：（1)第一級(jí)暗紋中心；（2）第一級(jí)明紋中心；（3）第三級(jí)暗紋中心。 解 （1）單縫衍射各級(jí)極小的條件為衍射圖形的第一級(jí)極小，可令k=1求得它離中心點(diǎn)距離：（2） 第一級(jí)明條紋近似位置可由下兩式求得（3） 第三級(jí)極小位置為11-22 有一單縫，寬a=0.10mm，在縫后放一焦距為50cm的會(huì)聚透鏡，用波長(zhǎng)為546nm的平行綠光垂直照射單縫，求位于透鏡焦面

16、處的屏幕上的中央明條紋的寬度。解 中央明紋角寬度滿足公式：空氣中，所以，中央明條紋寬度為11-23 一單色平行光垂直入射一單縫，其衍射第三級(jí)明紋中心恰與波長(zhǎng)與600nm的單色光垂直入射該縫時(shí)的第二級(jí)明紋中心重合，試求該單色光波長(zhǎng)。解 設(shè)該單色光波長(zhǎng)為，根據(jù)題意，所以11-24 如圖11.8所示，設(shè)有一波長(zhǎng)為的單色平行光沿著與縫平面的法線成角的方向入射到寬度為a的單狹縫AB上，試求出決定各極小值（即各暗條紋中心）的衍射的條件。解 1、2兩光的光程差在如圖11.8情況下為因此，極小值條件為11-25 當(dāng)入射角波長(zhǎng)滿足光柵方程時(shí)，兩相鄰的狹縫沿角所射出的光線能夠互相加強(qiáng)，試問：（1） 當(dāng)滿足光柵方程

17、時(shí)，任意兩個(gè)狹縫沿角射出的光線能否互相加強(qiáng)？（2） 在方程中，當(dāng)k=2時(shí)，第一條縫與第二條縫沿角射出的光線的光程差是多少？第一條縫與第N條縫的光程差又是多少？解 （1）能夠互相加強(qiáng)，因任意兩狹縫沿角的衍射光線的光程差是波長(zhǎng)的整數(shù)倍。（2） 當(dāng)k=2時(shí)，第一條縫與第二條縫沿角射出的光線在屏上會(huì)聚時(shí)，兩者的光程差，而第一條縫與第N條縫的光程差11-26 波長(zhǎng)為600nm的單色光垂直入射在一光柵上，第二級(jí)明條紋出現(xiàn)在處，第四級(jí)缺級(jí)，試問：（1）光柵上相鄰兩縫的間距是多少？（2）光柵上狹縫的最小寬度有多大？（3）按上述選定的a,b值，在范圍內(nèi)，實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)。解 （1）光柵的明條紋的條件是：對(duì)應(yīng)于

18、處滿足：可得光柵相鄰兩縫間的距離（2） 由于第四級(jí)衍射條紋缺級(jí)，即第四級(jí)干涉明條紋落在單縫衍射暗條紋上，因此須滿足方程組：解得 取 ，得光柵上狹縫的最小寬度為（3） 由當(dāng)時(shí)所以在范圍內(nèi)實(shí)際呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)為級(jí)明暗條紋。（時(shí)條紋在處）11-27 為了測(cè)量一個(gè)給定光柵的光柵常數(shù)，用氦氖激光器的紅光垂直地照射光柵，做夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)，已知第一級(jí)明條紋出現(xiàn)在38的方向，問這光柵的光柵常數(shù)是多少？1cm內(nèi)有多少條縫？第二級(jí)明條紋出現(xiàn)在什么角度？解 由衍射光柵明紋公式：得1cm內(nèi)縫的條數(shù)：第二級(jí)明條紋不出現(xiàn)，因?yàn)榘垂綉?yīng)有這是不可能的。11-28 一雙縫，縫間距，縫寬，用波長(zhǎng)的平行單色光垂直入射該雙縫，雙縫

19、后放一焦距為的透鏡，試求：（1） 透鏡焦平面處屏上干涉條紋的間距；（2） 單縫衍射中央亮紋的寬度；（3） 單縫衍射的中央包線內(nèi)有多少條干涉的主極大。解 （1）由光柵方程得當(dāng)角很小時(shí)，有，設(shè)條紋在屏上位置坐標(biāo)為x，得干涉條紋的間距為（2） 中央亮紋寬度為（3） 由缺級(jí)公式，取，得說明第五級(jí)正好在單縫衍射第一暗紋處，因而缺級(jí)，則中央包線內(nèi)有9條干涉主極大。11-29 圖11.9中所示，入射X射線束不是黃色的，而是含有有從0.095nm到0.130nm這一范圍內(nèi)的各種波長(zhǎng)，晶體的晶格常數(shù)，試問對(duì)圖示的晶面能否產(chǎn)生強(qiáng)反射？ 解 由布喇格公式：，得時(shí)滿足干涉相長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)波長(zhǎng)在范圍內(nèi)，有波長(zhǎng)和波長(zhǎng)的光可以產(chǎn)生強(qiáng)反射。11-30 在圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射中，設(shè)圓孔半徑為，透鏡焦距，所用單色光波長(zhǎng)為，求在透鏡焦平面處屏幕上呈現(xiàn)的愛里斑半徑，如果圓孔半徑改為，其他條件不變（包括入射光能流密度保持不變），愛里斑的半徑變?yōu)槎啻螅拷?愛里斑半徑：若孔徑改為，則愛里斑半徑：11-31 在迎面駛來的汽車上，兩盞燈相距120cm，試問汽車離人多遠(yuǎn)的地方，眼睛恰可分辨這兩盞燈