初等數(shù)論知識點(diǎn)匯總 高中 數(shù)學(xué)

1、第一節(jié)整數(shù)的p進(jìn)位制及其應(yīng)用正整數(shù)有無窮多個(gè)，為了用有限個(gè)數(shù)字符號表示出無限多個(gè)正整數(shù)，人們發(fā)明了進(jìn)位制，這是一種位值記數(shù)法。進(jìn)位制的創(chuàng)立體現(xiàn)了有限與無限的對立統(tǒng)一關(guān)系，近幾年來，國內(nèi)與國際競賽中關(guān)于“整數(shù)的進(jìn)位制”有較多的體現(xiàn)，比如處理數(shù)字問題、處理整除問題及處理數(shù)列問題等等。在本節(jié)，我們著重介紹進(jìn)位制及其廣泛的應(yīng)用?；A(chǔ)知識給定一個(gè)m位的正整數(shù)a，其各位上的數(shù)字分別記為，則此數(shù)可以簡記為：（其中）。由于我們所研究的整數(shù)通常是十進(jìn)制的，因此a可以表示成10的次多項(xiàng)式，即，其中且，像這種10的多項(xiàng)式表示的數(shù)常常簡記為。在我們的日常生活中，通常將下標(biāo)10省略不寫，并且連括號也不用，記作，以后我們

2、所講述的數(shù)字，若沒有指明記數(shù)式的基，我們都認(rèn)為它是十進(jìn)制的數(shù)字。但是隨著計(jì)算機(jī)的普及，整數(shù)的表示除了用十進(jìn)制外，還常常用二進(jìn)制、八進(jìn)制甚至十六進(jìn)制來表示。特別是現(xiàn)代社會人們越來越顯示出對二進(jìn)制的興趣，究其原因，主要是二進(jìn)制只使用0與1這兩種數(shù)學(xué)符號，可以分別表示兩種對立狀態(tài)、或?qū)α⒌男再|(zhì)、或?qū)α⒌呐袛?，所以二進(jìn)制除了是一種記數(shù)方法以外，它還是一種十分有效的數(shù)學(xué)工具，可以用來解決許多數(shù)學(xué)問題。為了具備一般性，我們給出正整數(shù)a的p進(jìn)制表示：，其中且。而仍然為十進(jìn)制數(shù)字，簡記為。第二節(jié) 整數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（1）基礎(chǔ)知識整數(shù)的性質(zhì)有很多，這里我們著重討論整數(shù)的整除性、整數(shù)的奇偶性，質(zhì)數(shù)與合數(shù)、完全平方

3、數(shù)及整數(shù)的尾數(shù)等幾個(gè)方面的應(yīng)用。1整除的概念及其性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)競賽中如果不加特殊說明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。定義：設(shè)是給定的數(shù)，若存在整數(shù)，使得則稱整除，記作，并稱是的一個(gè)約數(shù)(因子)，稱是的一個(gè)倍數(shù)，如果不存在上述，則稱不能整除記作 。由整除的定義，容易推出以下性質(zhì)：(1)若且，則(傳遞性質(zhì))；(2)若且，則即為某一整數(shù)倍數(shù)的整數(shù)之集關(guān)于加、減運(yùn)算封閉。若反復(fù)運(yùn)用這一性質(zhì)，易知及，則對于任意的整數(shù)有。更一般，若都是的倍數(shù)，則?；蛑?，則其中；(3)若，則或者，或者，因此若且，則；(4)互質(zhì)，若，則；(5)是質(zhì)數(shù)，若，則能整除中的某一個(gè)；特別地，若是質(zhì)數(shù)，若，則；(6)

4、(帶余除法)設(shè)為整數(shù)，則存在整數(shù)和，使得，其中，并且和由上述條件唯一確定；整數(shù)被稱為被除得的(不完全)商，數(shù)稱為被除得的余數(shù)。注意：共有種可能的取值：0,1，。若，即為被整除的情形；易知，帶余除法中的商實(shí)際上為（不超過的最大整數(shù)），而帶余除法的核心是關(guān)于余數(shù)的不等式：。證明的基本手法是將分解為與一個(gè)整數(shù)之積，在較為初級的問題中，這種數(shù)的分解常通過在一些代數(shù)式的分解中取特殊值而產(chǎn)生，下面兩個(gè)分解式在這類論證中應(yīng)用很多，見例1、例2。若是正整數(shù)，則；若是正奇數(shù)，則；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為的倍數(shù)，則這一項(xiàng)也是的倍數(shù)；(8)n個(gè)連續(xù)整數(shù)中，有且只有一個(gè)是n的倍數(shù)；

5、(9)任何n個(gè)連續(xù)的整數(shù)之積一定是n!的倍數(shù)，特別地，三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之積能被6整除；2奇數(shù)、偶數(shù)有如下性質(zhì)：(1)奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)；即任意多個(gè)偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差仍為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的和為奇數(shù)，和為偶數(shù)；（2）奇數(shù)的平方都可以表示成的形式，偶數(shù)的平方可以表示為或的形式；（3）任何一個(gè)正整數(shù)，都可以寫成的形式，其中為負(fù)整數(shù)，為奇數(shù)。（4）若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；若有限個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；兩個(gè)整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性；偶數(shù)的

6、平方根若是整數(shù)，它必為偶數(shù)。3完全平方數(shù)及其性質(zhì)能表示為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡稱平方數(shù)。平方數(shù)有以下性質(zhì)與結(jié)論：（1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只有可能是0或1；（3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù)；（4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6；（5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整數(shù)的數(shù)的平方能被3整除。因而，平方數(shù)被9也合乎的余數(shù)為0,1，4,7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能是0,1，4,7；（6）平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)；（7）任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定

7、是一個(gè)平方數(shù)。（8）設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若（）1，則都是整數(shù)的次方冪。一般地，設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數(shù)的k次方冪。4整數(shù)的尾數(shù)及其性質(zhì)整數(shù)的個(gè)位數(shù)也稱為整數(shù)的尾數(shù)，并記為。也稱為尾數(shù)函數(shù)，尾數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則；（6）；（7）；（8）5整數(shù)整除性的一些數(shù)碼特征（即常見結(jié)論）（1）若一個(gè)整數(shù)的未位數(shù)字能被2（或5）整除，則這個(gè)數(shù)能被2（或5）整除，否則不能；（2）一個(gè)整數(shù)的數(shù)碼之和能被3（或9）整除，則這個(gè)數(shù)能被3（或9）整除，否則不能；（3）若一個(gè)整數(shù)的未兩位數(shù)字能被4（或25）整除，則這個(gè)數(shù)能

8、被4（或25）整除，否則不能；（4）若一個(gè)整數(shù)的未三位數(shù)字能被8（或125）整除，則這個(gè)數(shù)能被8（或125）整除，否則不能；（5）若一個(gè)整數(shù)的奇位上的數(shù)碼之和與偶位上的數(shù)碼之和的差是11的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被11整除，否則不能。6質(zhì)數(shù)與合數(shù)及其性質(zhì)1正整數(shù)分為三類：（1）單位數(shù)1；（2）質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)大于1的正整數(shù)，如果它的因數(shù)只有1和它本身，則稱為質(zhì)（素）數(shù)；（3）如果一個(gè)自然數(shù)包含有大于1而小于其本身的因子，則稱這個(gè)自然數(shù)為合數(shù)。2有關(guān)質(zhì)（素）數(shù)的一些性質(zhì)（1）若，則的除1以外的最小正因數(shù)是一個(gè)質(zhì)（素）數(shù)。如果，則；（2）若是質(zhì)（素）數(shù)，為任一整數(shù)，則必有或（）1；（3）設(shè)為個(gè)整數(shù)，為質(zhì)

9、（素）數(shù)，且，則必整除某個(gè)（）；（4）（算術(shù)基本定理）任何一個(gè)大于1的正整數(shù)，能唯一地表示成質(zhì)（素）因數(shù)的乘積（不計(jì)較因數(shù)的排列順序）；（5）任何大于1的整數(shù)能唯一地寫成的形式，其中為質(zhì)（素）數(shù)（）。上式叫做整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式；（6）若的標(biāo)準(zhǔn)分解式為，的正因數(shù)的個(gè)數(shù)記為，則。第三節(jié)整數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（2）基礎(chǔ)知識最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)重要的概念，這里我們主要討論兩個(gè)整數(shù)互素、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)等基本概念與性質(zhì)。定義1.（最大公約數(shù)）設(shè)不全為零，同時(shí)整除的整數(shù)（如）稱為它們的公約數(shù)。因?yàn)椴蝗珵榱?，故只有有限多個(gè)，我們將其中最大一個(gè)稱為的最大公約數(shù)，用符號（）表示。顯然，最大公約數(shù)

10、是一個(gè)正整數(shù)。當(dāng)（）1（即的公約數(shù)只有）時(shí)，我們稱與互素（互質(zhì)）。這是數(shù)論中的非常重要的一個(gè)概念。同樣，如果對于多個(gè)（不全為零）的整數(shù)，可類似地定義它們的最大公約數(shù)（）。若（）1，則稱互素。請注意，此時(shí)不能推出兩兩互素；但反過來，若（）兩兩互素，則顯然有（）1。由最大公約數(shù)的定義，我們不難得出最大公約數(shù)的一些簡單性質(zhì)：例如任意改變的符號，不改變（）的值，即；（）可以交換，（）（）；（）作為的函數(shù)，以為周期，即對于任意的實(shí)數(shù)，有（）（）等等。為了更詳細(xì)地介紹最大公約數(shù)，我們給出一些常用的一些性質(zhì)：（1）設(shè)是不全為0的整數(shù)，則存在整數(shù)，使得；（2）（裴蜀定理）兩個(gè)整數(shù)互素的充要條件是存在整數(shù)，使得

11、；事實(shí)上，條件的必要性是性質(zhì)（1）的一個(gè)特例。反過來，若有使等式成立，不妨設(shè)，則，故及，于是，即，從而。（3）若，則，即的任何一個(gè)公約數(shù)都是它們的最大公約數(shù)的約數(shù)；（4）若，則；（5）若，則，因此兩個(gè)不互素的整數(shù)，可以自然地產(chǎn)生一對互素的整數(shù)；（6）若，則，也就是說，與一個(gè)固定整數(shù)互素的整數(shù)集關(guān)于乘法封閉。并由此可以推出：若，對于有，進(jìn)而有對有。（7）設(shè)，若，則；（8）設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若（）1，則都是整數(shù)的次方冪。一般地，設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數(shù)的次方冪。定義2.設(shè)是兩個(gè)非零整數(shù)，一個(gè)同時(shí)為倍數(shù)的數(shù)稱為它們的公倍數(shù)，的公倍數(shù)有無窮多個(gè)

12、，這其中最小的一個(gè)稱為的最小公倍數(shù)，記作，對于多個(gè)非零實(shí)數(shù)，可類似地定義它們的最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)主要有以下幾條性質(zhì)：（1）與的任一公倍數(shù)都是的倍數(shù)，對于多于兩個(gè)數(shù)的情形，類似結(jié)論也成立；（2）兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍滿足：（但請注意，這只限于兩個(gè)整數(shù)的情形，對于多于兩個(gè)整數(shù)的情形，類似結(jié)論不成立）；（3）若兩兩互素，則；（4）若，且兩兩互素，則。第四節(jié)同余同余式性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛，在處理某些整除性、進(jìn)位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中有著不可替代的功能，與之密切相關(guān)的的數(shù)論定理有歐拉定理、費(fèi)爾馬定理和中國剩余定理?；A(chǔ)知識三個(gè)數(shù)論函數(shù)對于任何正整數(shù)均有定義的函數(shù)，稱為數(shù)論函數(shù)。

13、在初等數(shù)論中，所能用到的無非也就有三個(gè)，分別為：高斯(gauss)取整函數(shù)x及其性質(zhì)，除數(shù)函數(shù)d(n)和歐拉(euler)函數(shù)和它的計(jì)算公式。1 高斯(gauss)取整函數(shù)設(shè)是實(shí)數(shù)，不大于的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記為；稱為的小數(shù)部分，記為。例如：0.50，等等。由的定義可得如下性質(zhì)：性質(zhì)1.；性質(zhì)2.；性質(zhì)3.設(shè)，則；性質(zhì)4.;性質(zhì)5.；性質(zhì)6.對于任意的正整數(shù)，都有如下的埃米特恒等式成立：；為了描述性質(zhì)7，我們給出如下記號：若，且，則稱為恰好整除，記為。例如：我們有等等，其實(shí)，由整數(shù)唯一分解定理：任何大于1的整數(shù)能唯一地寫成的形式，其中為質(zhì)（素）數(shù)（）。我們還可以得到：。性質(zhì)7.若，則請注

14、意，此式雖然被寫成了無限的形式，但實(shí)際上對于固定的，必存在正整數(shù)，使得，因而，故，而且對于時(shí)，都有。因此，上式實(shí)際上是有限項(xiàng)的和。另外，此式也指出了乘數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，素因數(shù)的指數(shù)的計(jì)算方法。2除數(shù)函數(shù)d(n)正整數(shù)的正因數(shù)的個(gè)數(shù)稱為除數(shù)函數(shù)，記為d(n)。這里給出d(n)的計(jì)算公式：d(n)，為素?cái)?shù)唯一分解定理中的指數(shù)。為了敘述地更加明確，我們組出素?cái)?shù)唯一分解定理。算術(shù)基本定理（素?cái)?shù)唯一分解定理）：任何一大于1的整數(shù)均可以分解為素?cái)?shù)的乘積，若不考慮素?cái)?shù)乘積的先后順序，則分解式是唯一的。例如：。當(dāng)一個(gè)整數(shù)分解成素?cái)?shù)的乘積時(shí)，其中有些素?cái)?shù)可以重復(fù)出現(xiàn)。例如在上面的分解式中，2出現(xiàn)了三次。把分解式

15、中相同的素?cái)?shù)的積寫成冪的形式，我們就可以把大于1的正整數(shù)寫成（1）此式稱為的標(biāo)準(zhǔn)分解式。這樣，算術(shù)基本定理也可以描述為大于1的整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的（不考慮乘積的先后順序）。推論1.若的標(biāo)準(zhǔn)分解式是（1）式，則是的正因數(shù)的充要條件是：（2）應(yīng)說明（2）不能稱為是的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某個(gè)素因數(shù)，因而）推論2.設(shè)，且，若是整數(shù)的次方，則也是整數(shù)的次方。特別地，若是整數(shù)的平方，則也是整數(shù)的平方。3. 歐拉(euler)函數(shù)設(shè)正整數(shù)0,1，中與互素的個(gè)數(shù)，稱之為的歐拉函數(shù)，并記為。若的標(biāo)準(zhǔn)分解式是，則的計(jì)算公式是：例如：； .以下我們講述同余的概念：同余的概念是

16、高斯（gauss）在1800年左右給出的。設(shè)是正整數(shù)，若用去除整數(shù)，所得的余數(shù)相同，則稱為與關(guān)于模同余，記作，否則，稱為與關(guān)于模不同余。定義1.（同余）設(shè)，若，則稱和對模同余，記作；若不然，則稱和對模不同余，記作。例如：，等等。當(dāng)時(shí)，則稱是對模的最小非負(fù)剩余。由帶余除法可知，和對模同余的充要條件是與被除得的余數(shù)相同。對于固定的模，模的同余式與通常的等式有許多類似的性質(zhì)：性質(zhì)1. 的充要條件是也即。性質(zhì)2.同余關(guān)系滿足以下規(guī)律：（1）（反身性）；（2）（對稱性）若，則；（3）（傳遞性）若，則；（4）（同余式相加）若，則；（5）（同余式相乘）若，則；反復(fù)利用（4）（5），可以對多個(gè)兩個(gè)的（模相同的

17、）同余式建立加、減和乘法的運(yùn)算公式。特別地，由（5）易推出：若，為整數(shù)且，則；但是同余式的消去律一般并不成立，即從未必能推出，可是我們卻有以下結(jié)果：（6）若，則，由此可以推出，若，則有，即在與互素時(shí)，可以在原同余式兩邊約去而不改變模（這一點(diǎn)再一次說明了互素的重要性）?，F(xiàn)在提及幾個(gè)與模相關(guān)的簡單而有用的性質(zhì)：（7）若，則；（8）若，則；（9）若，則，特別地，若兩兩互素時(shí)，則有；性質(zhì)3.若，則；性質(zhì)4.設(shè)是系數(shù)全為整數(shù)的多項(xiàng)式，若，則。這一性質(zhì)在計(jì)算時(shí)特別有用：在計(jì)算大數(shù)字的式子時(shí)，可以改變成與它同余的小的數(shù)字，使計(jì)算大大地簡化。如例3。定義2.設(shè)，是使成立的最小正整，則稱為對模的階。在取定某數(shù)后

18、，按照同余關(guān)系把彼此同余的整數(shù)歸為一類，這些數(shù)稱為模的剩余類。一個(gè)類的任何一個(gè)數(shù)，都稱為該類所有數(shù)的剩余。顯然，同類的余數(shù)相同，不同類的余數(shù)不相同，這樣我們就把全體整數(shù)按照模劃分為了個(gè)剩余類：。在上述的個(gè)剩余類中，每一類任意取一個(gè)剩余，可以得到個(gè)數(shù)，稱為模的一個(gè)完全剩余系。例如關(guān)系模7，下面的每一組數(shù)都是一個(gè)完全剩余系：0，1，2，3，4，5，6；-7，8，16，3，-10，40，20；-3，-2，-1，0，1，2，3。 顯然，一組整數(shù)成為模的完全剩余系只需要滿足兩個(gè)條件（1）有個(gè)數(shù)；（2）各數(shù)關(guān)于模兩兩不同余。最常用的完全剩余系是最小非負(fù)完全剩余系及絕對值最小完全剩余系。模的最小非負(fù)完全剩余

19、系是：0，1，2，,;即除數(shù)為時(shí)，余數(shù)可能取到的數(shù)的全部值。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，絕對值最小的完全剩余系是：；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，絕對值最小的完全剩余系有兩個(gè)：；。以上只是我們個(gè)人對同余及剩余類的理解，為了方便大家研究，我們把有關(guān)材料上的具體概念給出，希望大家好好地研究：定義3.（同余類）設(shè)，每一個(gè)這樣的類為模的同余類。說明：整數(shù)集合可以按模來分類，確切地說，若和模同余，則和屬同一類，否則不屬于同一類，每一個(gè)這樣的類為模的一個(gè)同余類。由帶余除法，任一整數(shù)必恰與0,1,，中的一個(gè)模同余，而0,1,，這個(gè)數(shù)彼此模不同余，因此模共有個(gè)不同的同余類，即。例如，模2的同余類共有兩個(gè)，即通常說的偶數(shù)類與奇數(shù)類，這兩類中的數(shù)

20、分別具有形式和（為任意整數(shù)）。定義4。（剩余類）設(shè)是正整數(shù)，把全體整按對模的余數(shù)分成類，相應(yīng)的個(gè)集合記為：，其中，稱為模的一個(gè)剩余類。以下是幾條常用性質(zhì)：（1）且；（2）每一個(gè)整數(shù)僅在的一個(gè)里；（3）對于任意，則的充要條件是。定義5.（完全剩余系）一組數(shù)稱為模的完全剩余系，如果對任意有且僅有一個(gè)是對模的剩余，即。換一種說法更好理解：設(shè)為模的全部剩余類，從每個(gè)中任取一個(gè)，得個(gè)數(shù)組成的數(shù)組，叫做模的一個(gè)完全剩余系。說明：在個(gè)剩余類中各任取一個(gè)數(shù)作為代表，這樣的個(gè)數(shù)稱為模的一個(gè)完全剩余系，簡稱模的完系。換句話說，個(gè)數(shù)稱為模的一個(gè)完系，是指它們彼此模不同余，例如0,1，2，是模的一個(gè)完系，這稱作是模的

21、最小非負(fù)完系。性質(zhì)：（1）個(gè)整數(shù)構(gòu)成模的一個(gè)完全剩余系兩兩對模不同余；（2）若，則與同時(shí)跑遍模的完全剩余系。第五節(jié)初等數(shù)論中的幾個(gè)重要定理基礎(chǔ)知識定義（歐拉(euler)函數(shù)）一組數(shù)稱為是模的既約剩余系，如果對任意的，且對于任意的，若1，則有且僅有一個(gè)是對模的剩余，即。并定義中和互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為歐拉（euler）函數(shù)。這是數(shù)論中的非常重要的一個(gè)函數(shù)，顯然，而對于，就是1,2，中與互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，比如說是素?cái)?shù)，則有。引理：；可用容斥定理來證（證明略）。定理1：（歐拉（euler）定理）設(shè)1，則。證明：取模的一個(gè)既約剩余系，考慮，由于與互質(zhì)，故仍與互質(zhì)，且有，于是對每個(gè)都能找到唯一的一個(gè)，使得

22、，這種對應(yīng)關(guān)系是一一的，從而，。，故。證畢。分析與解答：要證，我們得設(shè)法找出個(gè)相乘，由個(gè)數(shù)我們想到中與互質(zhì)的的個(gè)數(shù)：，由于1，從而也是與互質(zhì)的個(gè)數(shù)，且兩兩余數(shù)不一樣，故（），而（）1，故。這是數(shù)論證明題中常用的一種方法，使用一組剩余系，然后乘一個(gè)數(shù)組組成另外一組剩余系來解決問題。定理2：（費(fèi)爾馬（fermat）小定理）對于質(zhì)數(shù)及任意整數(shù)有。設(shè)為質(zhì)數(shù)，若是的倍數(shù)，則。若不是的倍數(shù)，則由引理及歐拉定理得，由此即得。定理推論：設(shè)為質(zhì)數(shù)，是與互質(zhì)的任一整數(shù)，則。定理3：（威爾遜（wilson）定理）設(shè)為質(zhì)數(shù)，則。分析與解答：受歐拉定理的影響，我們也找個(gè)數(shù)，然后來對應(yīng)乘法。證明：對于，在中，必然有一個(gè)數(shù)

23、除以余1，這是因?yàn)閯t好是的一個(gè)剩余系去0。從而對，使得；若，則，故對于，有。即對于不同的對應(yīng)于不同的，即中數(shù)可兩兩配對，其積除以余1，然后有，使，即與它自己配對，這時(shí)，或，或。除外，別的數(shù)可兩兩配對，積除以余1。故。定義：設(shè)為整系數(shù)多項(xiàng)式（），我們把含有的一組同余式（）稱為同余方組程。特別地，當(dāng)均為的一次整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，該同余方程組稱為一次同余方程組.若整數(shù)同時(shí)滿足：，則剩余類（其中）稱為同余方程組的一個(gè)解，寫作定理4：（中國剩余定理）設(shè)是兩兩互素的正整數(shù)，那么對于任意整數(shù)，一次同余方程組，必有解，且解可以寫為：這里，以及滿足，（即為對模的逆）。中國定理的作用在于它能斷言所說的同余式組當(dāng)模兩兩

24、互素時(shí)一定有解，而對于解的形式并不重要。定理5：（拉格郎日定理）設(shè)是質(zhì)數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，多項(xiàng)式是一個(gè)模為次的整系數(shù)多項(xiàng)式（即 ），則同余方程至多有個(gè)解（在模有意義的情況下）。定理6：若為對模的階，為某一正整數(shù)，滿足，則必為的倍數(shù)。以上介紹的只是一些系統(tǒng)的知識、方法，經(jīng)常在解決數(shù)論問題中起著突破難點(diǎn)的作用。另外還有一些小的技巧則是在解決、思考問題中起著排除情況、輔助分析等作用，有時(shí)也會起到意想不到的作用，如：，。這里我們只介紹幾個(gè)較為直接的應(yīng)用這些定理的例子。下面我們著重對fetmat小定理及其應(yīng)用來舉例：例3求證：對于任意整數(shù)，是一個(gè)整數(shù)。證明：令，則只需證是15的倍數(shù)即可。由3，5是素?cái)?shù)及fe

25、tmat小定理得，則；而（3，5）=1，故，即是15的倍數(shù)。所以是整數(shù)。例4求證：（為任意整數(shù)）。證明：令，則；所以含有因式由fetmat小定理，知13|7|又13，7，5，3，2兩兩互素，所以2730=能整除。例5設(shè)是直角三角形的三邊長。如果是整數(shù)，求證：可以被30整除。證明：不妨設(shè)是直角三角形的斜邊長，則。若2 ，2 ，2 c，則，又因?yàn)槊埽∷?|.若3 ，3 ，3 c，因?yàn)?，則，又，矛盾！從而3|.若 5 ，5 ，5 c，因?yàn)椋曰?(mod5)與矛盾！從而5|.又(2,3,5)=1，所以30|.下面講述中國剩余定理的應(yīng)用例6證明：對于任意給定的正整數(shù)，均有連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中每一個(gè)

26、都有大于1的平方因子。證明：由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，故我們可以取個(gè)互不相同的素?cái)?shù)，而考慮同余組 因?yàn)轱@然是兩兩互素的，故由中國剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。于是，連續(xù)個(gè)數(shù)分別被平方數(shù)整除。注：（1）本題的解法體現(xiàn)了中國剩余定理的一個(gè)基本功效，它常常能將“找連續(xù)個(gè)正整數(shù)具有某種性質(zhì)”的問題轉(zhuǎn)化為“找個(gè)兩兩互素的數(shù)具有某種性質(zhì)”，而后者往往是比較容易解決的。 （2）本題若不直接使用素?cái)?shù)，也中以采用下面的變異方法：由費(fèi)爾馬數(shù)兩兩互素，故將中的轉(zhuǎn)化為后，相應(yīng)的同余式也有解，同樣可以導(dǎo)出證明。例7證明：對于任意給定的正整數(shù)，均有連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中每一個(gè)都不是冪數(shù)。分析：我們來證明，存在連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中

27、每一個(gè)數(shù)都至少有一個(gè)素因子，在這個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解中僅出現(xiàn)一次，從而這個(gè)數(shù)不是冪數(shù)。證明：取個(gè)互不相同的素?cái)?shù)，考慮同余組因?yàn)轱@然是兩兩互素的，故由中國剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。對于因?yàn)?，故，但由式可?，即在的標(biāo)準(zhǔn)分解中恰好出現(xiàn)一次，故都不是冪數(shù)。例8 設(shè)是給定的偶數(shù)，且是偶數(shù)。證明：存在整數(shù)使得，且。證明：我們先證明，當(dāng)為素?cái)?shù)冪時(shí)結(jié)論成立。實(shí)際上，能夠證明，存在使 且：若，則條件表明為偶數(shù)，此時(shí)可?。蝗?，則與中有一對滿足要求。一般情形下，設(shè)是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分解，上面已經(jīng)證明，對每個(gè)存在整數(shù)使得且，而由中國剩余定理，同余式 有解，同余式 有解?，F(xiàn)不難驗(yàn)證解符合問題中的要求：因，故 ，于是，又由

28、知，故。注：此題的論證表現(xiàn)了中國剩余定理最為基本的作用：將一個(gè)關(guān)于任意正整數(shù)的問題，化為為素?cái)?shù)冪的問題，而后者往往是比較好處理的。第六節(jié)不定方程所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。不定方程也稱為丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，也是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。不定方程的內(nèi)容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系。不定方程的重要性在數(shù)學(xué)競賽中也得到了充分的體現(xiàn)，每年世界各地的數(shù)學(xué)競賽吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的好材料，數(shù)學(xué)競賽中的不定方程問題，不僅要求學(xué)生對初等數(shù)論的一

29、般理論、方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性的解決問題。在本節(jié)我們來看一看不定方程的基礎(chǔ)性的題目?；A(chǔ)知識1不定方程問題的常見類型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的個(gè)數(shù)（有限個(gè)還是無限個(gè)）。2解不定方程問題常用的解法：（1）代數(shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進(jìn)而求解；（3）同余法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；（4）構(gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式，證明方程有無窮多解；（5）無窮遞

30、推法。以下給出幾個(gè)關(guān)于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（組）定義1.形如(不同時(shí)為零)的方程稱為二元一次不定方程。定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且為的一個(gè)解，則方程的一切解都可以表示成為任意整數(shù))。定理3.元一次不定方程，()有解的充要條件是.方法與技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求一個(gè)特解，從而寫出通解。當(dāng)不定方程系數(shù)不大時(shí)，有時(shí)可以通過觀察法求得其解，即引入變量，逐漸減小系數(shù)，直到容易得其特解為止；2解元一次不定方程時(shí)，可先順次求出，.若 ，則方程無解；若|，則方程有解，作方程組：求出最后一個(gè)方程的一切解，然后把的每一個(gè)值代入倒數(shù)第二個(gè)方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。3個(gè)元一次不定方程組成的方程組，其中，可以消去個(gè)未知數(shù)，從而消去了個(gè)不定方程，將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)元的一次不定方程。（二）高次不定方程（組）及其解法1因式分解法：對方程的一邊進(jìn)行因式分解，另一邊作質(zhì)因式分解，然后對比兩邊，轉(zhuǎn)而求解若干個(gè)方程組；2同余法：如果不定方程有整數(shù)解，則對于任意，其整數(shù)解滿足，利用這一條件，同余可以作為探究不定方程整數(shù)解的一塊試金石；3不等式估計(jì)法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的范圍，再分別求解；4無限遞降法：若關(guān)于正整數(shù)