廈門理工學(xué)院線性代數(shù)練習(xí)答案

1、線性代數(shù)練習(xí)題 第一章 行 列 式 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 1.1 行列式的定義一選擇題1若行列式 = 0，則 c （a）2 （b） （c）3 （d）2線性方程組，則方程組的解= c （a）（13，5） （b）（，5） （c）（13，） （d）（）3方程根的個(gè)數(shù)是 c （a）0 （b）1 （c）2 （d）34下列構(gòu)成六階行列式展開式的各項(xiàng)中，取“+”的有 ad （a） （b） （c） （d）5若是五階行列式的一項(xiàng)，則的值及該項(xiàng)的符號(hào)為 b （a），符號(hào)為正； （b），符號(hào)為負(fù)；（c），該項(xiàng)為零； （d），符號(hào)為負(fù)6下列n（n 2）階行列式的值必為零的是 b （a）行列式主對(duì)角線上的元素全為零

2、 （b）上三角行列式主對(duì)角線上有一個(gè)元素為零 （c）行列式零的元素的個(gè)數(shù)多于n個(gè) （d）行列式非零元素的個(gè)數(shù)小于等于n個(gè)二、填空題1行列式的充分必要條件是 2排列36715284的逆序數(shù)是 13 3若為五階行列式帶正號(hào)的一項(xiàng)，則 i = 2 j = 1 4在六階行列式中，應(yīng)取的符號(hào)為 負(fù)號(hào) 。三、計(jì)算下列行列式：1=182=53=4=15=6=線性代數(shù)練習(xí)題 第一章 行 列 式 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 1.2-1.3 行列式的性質(zhì)與計(jì)算 一、 選擇題：1如果，則 b （a）18 （b） （c） （d）2 = c （a）8 （b）2 （c）0 （d）二、填空題：1行列式 行列式 = 2. 行列

3、式 中元素3的代數(shù)余子式是 3. 設(shè)行列式，則第三行各代數(shù)余子式之和的值為 。4. 設(shè)行列式，設(shè)是元素的余子式和代數(shù)余子式，則= ，= 三、計(jì)算下列行列式：1. 計(jì)算行列式解：原式2計(jì)算n階行列式解：3. 計(jì)算n階行列式解：線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.1 矩陣的概念1指出下列矩陣屬于何種特殊矩陣 矩陣 ； 上三角矩陣 ； 對(duì)角矩陣 ； 4階單位陣 ; 下三角矩陣 ; 零矩陣 ;2寫出下列線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。(1) 系數(shù)矩陣： 增廣矩陣： (2) 系數(shù)矩陣： 增廣矩陣：3兩矩陣稱為同型矩陣滿足什么條件? 行數(shù)和列數(shù)分別相同線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩

4、陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.2 矩陣的運(yùn)算一選擇題1有矩陣，下列運(yùn)算正確的是 b （a）ac （b）abc （c）abbc （d）ac+bc 二、填空題：1三、計(jì)算題：設(shè)，求及四、設(shè)，求所有與相乘可換的矩陣解：設(shè)，則，。所以， 因此.線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.3 方陣一、，解：，2、 設(shè)，且 求.解：，三、已知是階方陣,且滿足,計(jì)算.解：有。所以。四、設(shè),下列等式是否成立。(1) ； 否(2) ； 否(3) 否五、舉反例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的(1) 若, 則；(2) 若, 則或；(3) 若, 且, 則解：（1）（2）（3） ，六、計(jì)算題(1) ； (2)

5、 解：（1）原式=（2）原式=線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.4 逆矩陣一選擇題1設(shè)是n階矩陣的伴隨矩陣，則 b （a） （b） （c） （d）2設(shè)a，b都是n階可逆矩陣，則 c （a）a+b 是n階可逆矩陣 （b）a+b 是n階不可逆矩陣（c）ab是n階可逆矩陣 （d）|a+b| = |a|+|b|3設(shè)a是n階方陣，為實(shí)數(shù)，下列各式成立的是 c （a） （b） （c） （d）4設(shè)a，b，c是n階矩陣，且abc = e ，則必有 b （a）cba = e （b）bca = e （c）bac = e （d）acb = e 二、填空題：1已知，其中，則2設(shè)，則x =

6、3設(shè)a，b均是n階矩陣，則 = 4設(shè)矩陣a滿足，則 三、計(jì)算與證明題：1 設(shè)方陣a滿足，證明及都可逆，并求和。證明： 2. 設(shè)，求a 的逆矩陣 解：， ， 3. 設(shè)且滿足，求 解：， ， 且線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.5 轉(zhuǎn)置矩陣與對(duì)稱矩陣一選擇題1、設(shè)，則 b （a） （b） （c） （d）2設(shè)a為任意n階矩陣，下列為反對(duì)稱矩陣的是 b （a） （b） （c） （d）3設(shè)n階矩陣a，b，c，滿足abac = e，則 a （a） （b） （c） （d）二、設(shè)對(duì)稱矩陣，計(jì)算解：3、 已知，設(shè)，計(jì)算解：四、證明任意的方陣可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。

7、證明：設(shè)， 記， ， 五、設(shè),都是階方陣且為對(duì)稱矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣。證明：， 六、設(shè)是反對(duì)稱矩陣，是對(duì)稱矩陣，證明：(1)是對(duì)稱矩陣；(2)是對(duì)稱矩陣；(3)是反對(duì)稱矩陣的充要條件是證明：（1）， （2）， ， （3）， 是反對(duì)稱的，即，。反之亦成立。線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.6 初等變換與初等矩陣一、選擇題1設(shè)，則必有 c （a） （b） （c） （d）二、把矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣然后再化成標(biāo)準(zhǔn)形 解：三、用矩陣的初等變換，求矩陣的逆矩陣解：四、 對(duì)矩陣進(jìn)行下面的系列初等變換，則相當(dāng)于對(duì)矩陣左乘或右乘可逆矩陣，請(qǐng)求出相應(yīng)的可逆矩陣，并指出是左乘還是右乘(

8、1) 交換的第2列和第3列，然后再交換第3列和第4列 (2) 的第1行的元素都乘以加到第2行對(duì)應(yīng)的元素上，然后第2行乘以，最后交換第2行和第3行 (3) 的第列的元素乘以加到第3列對(duì)應(yīng)的元素上去，接著在交換第2行和第3行，然后交換第2列和第3列，最后第二行元素乘以解：（1）五、求下面矩陣方程的解解：線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.7 矩陣的秩一、選擇題1設(shè)a，b都是n階非零矩陣，且ab = 0，則a和b的秩 d （a）必有一個(gè)等于零 （b）都等于n （c）一個(gè)小于n，一個(gè)等于n （d）都不等于n 2設(shè)矩陣a的秩為s ，則 c （a）a的所有s1階子式不為零 （b）

9、a的所有s階子式不為零（c）a的所有s +1階子式為零 （d）對(duì)a施行初等行變換變成3欲使矩陣的秩為2，則s，t滿足 c （a）s = 3或t = 4 （b）s = 2或t = 4 （c）s = 3且t = 4 （d）s = 2且t = 44設(shè)是矩陣，是矩陣，則 b （a）當(dāng)時(shí)，必有行列式 （b）當(dāng)時(shí)，必有行列式（c）當(dāng)時(shí)，必有行列式 （d）當(dāng)時(shí)，必有行列式二、填空題：1設(shè)，則 2 2已知的秩為2，則a 應(yīng)滿足 三、計(jì)算題1 設(shè)，求. 2設(shè)a ，問(wèn)k為何值，可使 解：（1） 時(shí)，（2） ， （3）4、 設(shè)階方陣滿足,證明.證明：， 線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.

10、8 分塊矩陣 一、選擇題1設(shè)a，b為n階矩陣，分別為a，b對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣，則的伴隨矩陣 d （a） （b） （c） （d）二、填空題：1，則 ， = 4 2設(shè)，則三、計(jì)算題：1設(shè)，其中，求解：2. 設(shè)，求解：3設(shè)，求 及 解：線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 2.9 線性方程組有解的條件一選擇題：1設(shè)是矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是 d (a) 小于m (b) 小于n (c) 等于m (d) 等于n 2. 如果方程組 對(duì)應(yīng)的齊次方程組 有無(wú)窮多解，則 c (a) 必有無(wú)窮多解 (b) 可能有惟一解 (c) 可能無(wú)解 (d) 一定無(wú)解3設(shè)是矩陣，如果，

11、則 c (a) 必有無(wú)窮多解 (b) 必有唯一解(c) 必有非零解 (d) 必有唯一解二計(jì)算題：1. 求解線性方程組 解：，無(wú)窮多解 ，所以通解2. 取何值時(shí)，線性方程組 有非零解?解：3. 用克拉默法則解方程組解：， 線性代數(shù)練習(xí)題 第二章 矩 陣 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 綜 合 練 習(xí) 一、選擇題1設(shè)n階矩陣a，b是可交換的，即ab = ba，則不正確的結(jié)論是 （a）當(dāng)a，b是對(duì)稱矩陣時(shí)，ab是對(duì)稱矩陣 （b）當(dāng)a，b是反對(duì)稱矩陣時(shí)，ab是反對(duì)稱矩陣（c） （d）2方陣a可逆的充要條件是 （a）a 0 （b）| a | 0 （c）a* 0 （d）| a* | 0 3設(shè)n階矩陣a，b，c和

12、d滿足，則 （a）cdadab （b）da （c）ad （d）dabcda 4. 設(shè)a，b為n階矩陣，分別為a，b對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣，則的伴隨矩陣 d （a） （b） （c） （d）二填空題：1，則 = 4 2設(shè)，則三計(jì)算題與證明題：1 已知，設(shè)，求2設(shè)，a，b與x滿足，求x 3設(shè)n階矩陣a滿足，試證： （1）a與ae都可逆，并求它們的逆矩陣； （2）a + 2e和a3e不同時(shí)可逆線性代數(shù)練習(xí)題 第三章 向量與向量空間 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 3.1 n維向量及其運(yùn)算 3.2 向量組的線性相關(guān)性一選擇題1n維向量組線性相關(guān)的充分必要條件是 d （a）對(duì)于任何一組不全為零的數(shù)組都有（b）

13、中任何個(gè)向量線性相關(guān)（c）設(shè)，非齊次線性方程組有無(wú)窮多解（d）設(shè)，a的行秩 s.2若向量組線性無(wú)關(guān)，向量組線性相關(guān)，則 c （a）必可由線性表示 （b）必不可由線性表示（c）必可由線性表示 （d）比不可由線性表示二填空題：1 設(shè)，其中，則 2 已知線性相關(guān)，則 2 3 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則滿足關(guān)系式 三計(jì)算題：1 設(shè)向量，試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí) （1）可由線性表示，且表示式是唯一？（2）可由線性表示，且表示式不唯一？（3）不能由線性表示？解：線性相關(guān)，且這三個(gè)問(wèn)題可理解成的解的情況。（1）即有解且是唯一解，則。 滿足（1）（2） 即有解且是無(wú)窮解，則。當(dāng)時(shí)，不滿足（2）。當(dāng)時(shí)，不滿足（2）。當(dāng)為0與之

14、外的其他數(shù)時(shí)，也不滿足（2）。所以這樣的不存在。（3）即無(wú)解。由（2）知，均滿足（3）。2. 設(shè)向量，試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，（1）不能由線性表示？ （2）有的唯一線性表達(dá)式？并寫出表達(dá)式。解：線性相關(guān)，且這兩個(gè)問(wèn)題可理解成的解的情況。（1） 即無(wú)解。所以而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以時(shí)無(wú)解，滿足（1）。（2） 即有解且唯一解。所以。所以滿足（2）。所以線性代數(shù)練習(xí)題 第三章 向量與向量空間 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 3.3 向 量 組 的 秩一選擇題：1已知向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是 c （a） （b）（c） （d）2設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（）：線性表示，記向量組（

15、）：，則 b （a）不能由（）線性表示，也不能由（）線性表示（b）不能由（）線性表示，但可由（）線性表示（c）可由（）線性表示，也可由（）線性表示（d）可由（）線性表示，但不可由（）線性表示3設(shè)n維向量組的秩為3，則 c （a）中任意3個(gè)向量線性無(wú)關(guān) （b）中無(wú)零向量（c）中任意4個(gè)向量線性相關(guān) （d）中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)4設(shè)n維向量組的秩為，則 c （a）若，則任何n維向量都可用線性表示（b）若，則任何n維向量都可用線性表示（c）若，則任何n維向量都可用線性表示 （d）若，則 二填空題：1已知向量組的秩為2，則t = 3 2已知向量組，則該向量組的秩為 2 3. 向量組，的秩為2，則a =

16、 2 ， b = 5 三計(jì)算題：1設(shè)， （1）試求的極大無(wú)關(guān)組 （2）d為何值時(shí)，可由的極大無(wú)關(guān)組線性表示，并寫出表達(dá)式解：（1） 所以線性無(wú)關(guān)且，因此是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。（2） 當(dāng)時(shí)，且2已知3階矩陣a有3維向量x滿足，且向量組線性無(wú)關(guān)。 （1）記，求3階矩陣，使； （2）求 | a | 解：（1）（2） 線性無(wú)關(guān)， 即， 可逆。而， 線性代數(shù)練習(xí)題 第三章 向量與向量空間系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 3.4 n維向量空間的定義一選擇題：1設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是 （a） （b）（c） （d）2設(shè)矩陣a的秩，em為m階單位矩陣，下列結(jié)論中正確的是 （a）a的任意m個(gè)列向量必線

17、性無(wú)關(guān) （b）a通過(guò)初等行變換，必可以化為（em0）的形式（c）a的任意m階子式不等于零 （d）非齊次線性方程組一定有無(wú)窮多組解二填空題：1設(shè)，三維列向量，已知與線性相關(guān)，則a = 2從的基，到基，的過(guò)渡矩陣，即滿足條件的矩陣t為三計(jì)算題：1設(shè)，求由向量組所生成的向量空間，并說(shuō)明是的一個(gè)非平凡子空間. 2已知的兩個(gè)基為， 及 ，求由基到基的過(guò)渡矩陣，即滿足條件 的矩陣p.線性代數(shù)練習(xí)題 第三章 向量與向量空間 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 3.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一選擇題：1設(shè)a是矩陣，已知，是的基礎(chǔ)解系，則 d (a) 線性無(wú)關(guān) (b) 線性無(wú)關(guān)(c) 不能被線性表示 (d) 能被線性表示2設(shè)是四元非齊次線性方程組的3個(gè)解向量，且，c表示任意常數(shù)，則線性方程組的解是 c