等離子體物理導(dǎo)論-單粒子運(yùn)動(dòng)1

1、 Plasma Formation Dissociation: Ionization: Excitation: Recombination： Processes in plasma 2/1 2 0 )( en KT i i D 等離子作振蕩等離子作振蕩 兩個(gè)是獨(dú)立參數(shù)：兩個(gè)是獨(dú)立參數(shù)： 其它兩個(gè)參數(shù)其它兩個(gè)參數(shù): 等離子體判據(jù)等離子體判據(jù) 即等離子體的德拜長(zhǎng)度大于粒子間的平均距離，德拜屏即等離子體的德拜長(zhǎng)度大于粒子間的平均距離，德拜屏 蔽效應(yīng)是大量粒子的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，統(tǒng)計(jì)條件要求德拜球內(nèi)蔽效應(yīng)是大量粒子的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，統(tǒng)計(jì)條件要求德拜球內(nèi) 有大量的粒子，為此必須滿足此條件。有大量的粒子，為此必須滿足此

2、條件。 即德拜長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于等離子體特征長(zhǎng)度，由于在德拜即德拜長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于等離子體特征長(zhǎng)度，由于在德拜 球內(nèi)不能保證此電中性。所以不滿足這個(gè)條件，就球內(nèi)不能保證此電中性。所以不滿足這個(gè)條件，就 不可能把等離子體看作電中性的物質(zhì)聚集態(tài)。不可能把等離子體看作電中性的物質(zhì)聚集態(tài)。 c是碰撞頻率，是熱運(yùn)動(dòng)阻礙恢復(fù)電中性的因素，當(dāng)是碰撞頻率，是熱運(yùn)動(dòng)阻礙恢復(fù)電中性的因素，當(dāng) p c c時(shí)，電子來(lái)不及通過(guò)碰撞耗散振蕩能量，則振時(shí)，電子來(lái)不及通過(guò)碰撞耗散振蕩能量，則振 蕩能維持，保證了等離子體維持電中性。蕩能維持，保證了等離子體維持電中性。 等離子體物理學(xué)之特點(diǎn)等離子體物理學(xué)之特點(diǎn)之一就是之一就是參數(shù)范圍廣闊參數(shù)

3、范圍廣闊: 密密 度跨越度跨越30個(gè)數(shù)量級(jí)，溫度跨越個(gè)數(shù)量級(jí)，溫度跨越7個(gè)數(shù)量級(jí)個(gè)數(shù)量級(jí)。 最直接最簡(jiǎn)單的描述方法就是單粒子軌道法最直接最簡(jiǎn)單的描述方法就是單粒子軌道法 9 忽略帶電粒子之間的相互作用忽略帶電粒子之間的相互作用 忽略帶電粒子本身對(duì)電磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)忽略帶電粒子本身對(duì)電磁場(chǎng)的貢獻(xiàn) 極光極光 11 12 太陽(yáng)風(fēng)與地球的磁場(chǎng)太陽(yáng)風(fēng)與地球的磁場(chǎng) 如何能約束熾熱的等離子體？如何能約束熾熱的等離子體？ 在這種情況下，粒子受羅侖茲在這種情況下，粒子受羅侖茲 力，有一個(gè)簡(jiǎn)單的回旋回轉(zhuǎn)，其力，有一個(gè)簡(jiǎn)單的回旋回轉(zhuǎn)，其 運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為 (2.2.1) dv mqvB dt x y dv mqBv

4、dt y x dv mqBv dt 0 z dv m dt 取取z為為B的方向時(shí)，有的方向時(shí)，有 (2.2.2)(2.2.2) zyx zyx BBB kji x y dv mqBv dt y x dv mqBv dt 0 z dv m dt (2.2.2)(2.2.2) yx qB vv m 2 y qB v m xy qB vv m 2 x qB v m 上式進(jìn)一步微分：上式進(jìn)一步微分： (2.2.3) (2.2.4) c q B m 定義定義為為 2 0 cx v 2 2 x d v dt 2 2 y d v dt 2 0, cy v (2.2.3)(2.2.3)式式 可寫(xiě)成可寫(xiě)成 yx

5、 m vv qB (2.2.5) yx qB vv m 2 y qB v m xy qB vv m 2 x qB v m (2.2.3) 2 0 cx v 2 2 x d v dt (2.2.5) 這樣，方程（這樣，方程（2.2.5）的解為）的解為 )exp( ti cx 選擇相位選擇相位=0=0，使得上式，使得上式 xe ti x c yei ti y c yx m vv qB 0 c it c v xxie (2.2.7) 再次積分就可得到：再次積分就可得到： L r (2.2 .8) c v xe ti x c yei ti y c 0 c it c v yye 0 sin Lc xxr

6、t 222 00 ()() L xxyyr 取方程的取方程的 實(shí)部，有實(shí)部，有: : m Bq c L r ( 2 .2 .8 ) c v 0 c it c v xxie 0 c it c v yye 0 cos Lc yyrt 0 z dv m dt constant z 222 00 ()() L xxyyr 26 27 帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn) 動(dòng)是等螺距的螺旋運(yùn)動(dòng)動(dòng)是等螺距的螺旋運(yùn)動(dòng) ( 2 .2 .4 ) c q B m L r ( 2 .2 .8 ) c v 222 00 ()() L xxyyr 假定均勻電場(chǎng)假定均勻電場(chǎng)E E和均勻磁場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)B B垂直

7、，垂直， 選選x軸沿軸沿E的方向，的方向，z z軸沿軸沿B的方向的方向, , 請(qǐng)問(wèn)帶電粒子在以上電磁場(chǎng)中作何運(yùn)動(dòng)請(qǐng)問(wèn)帶電粒子在以上電磁場(chǎng)中作何運(yùn)動(dòng)? ? (2.2.10) dv mq EvB dt 現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程為：現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程為： 分量為：分量為： x xy dvqqB Ev dtmm 0 y x dv qB v dtm (2.2.11) z z x x zyx zyx BBB kji x xy dvqqB Ev dtmm 0 y x dv qB v dtm c qB m B B Ex z z x x 對(duì)上式微分，可得對(duì)上式微分，可得 2 xcx vv ycxcy q vEv m 2x cy

8、E v B 改寫(xiě)最后一個(gè)方程改寫(xiě)最后一個(gè)方程 2 2 2 ()()0 xx ycy EEd vv dtBB y c x cy q v Ev m 2x cy E v B 2 xcx vv y 聯(lián)合后聯(lián)合后, ,與前面均與前面均 勻磁場(chǎng)結(jié)果相比勻磁場(chǎng)結(jié)果相比 2 0 cx v 2 2 x d v dt 2 2 y d v dt 2 0, cy v 2 xcx vv 2 2 2 ()()0 xx ycy EEd vv dtBB c it x vv e c it x y E viv e B (2.2.13) 用用vy-(Ex /B)代替代替vy，(2.2.12)式的解式的解: (2.2.12) “ c

9、os xc vvt sin x yc E vvt B x E E V B 正面正面 x E E V B Bq m rL 左前方左前方 左上方左上方 Bq m rL x E E V B 漂移速度漂移速度 的矢量形式的矢量形式 E E 為了得到的一般公式，可用矢量形式來(lái)解方程，為了得到的一般公式，可用矢量形式來(lái)解方程， () dv mq vBEq dt 粒子速度有兩部分組成粒子速度有兩部分組成 d vvv 牛頓方程牛頓方程 dE () d d vvdvdv mmm dtdtdt 回旋運(yùn)動(dòng)回旋運(yùn)動(dòng) ()() d q vBq vBEq 無(wú)電場(chǎng)時(shí)的無(wú)電場(chǎng)時(shí)的 回旋運(yùn)動(dòng)回旋運(yùn)動(dòng) () dv mq vB d

10、t 0() d q vBEq (2.2.14) 方程方程(2.2.14)變?yōu)樽優(yōu)?() d d vvdvdv mmm dtdtdt d vBE 2 ()() ddd EBBvBv BB vB 2 d EB v B 用 叉乘上式，得到 B 這就是漂移速度的矢量形式這就是漂移速度的矢量形式 進(jìn)一步推廣，上式上下乘進(jìn)一步推廣，上式上下乘 2 d qEB v qB 2 FB qB q d vBE F 2 d EB v B 44 2 d EB v B 2 qB BF d 用一般力用一般力F代替代替qE，就能將結(jié)果運(yùn)用到其，就能將結(jié)果運(yùn)用到其 它力場(chǎng)；當(dāng)它力場(chǎng)；當(dāng)Fmg時(shí)。則漂移可表示為：時(shí)。則漂移可表示

11、為： (2.2.13) 2 g m gB v qB 2 qB BF D (2.2.14) 2 gB jn mM B (2 .2 .1 3 ) 2 g m gB v qB mg 重力場(chǎng)中的漂移重力場(chǎng)中的漂移 49 mg 電漂移：電漂移： 重力漂移：重力漂移： x E E V B 2 qB BF D 與電荷符號(hào)無(wú)關(guān)與電荷符號(hào)無(wú)關(guān) 同向漂移！不產(chǎn)生凈同向漂移！不產(chǎn)生凈 電流電流 (2 .2 .1 3 ) 2 g m gB v qB 與電荷符號(hào)有關(guān)與電荷符號(hào)有關(guān) 異向漂移！產(chǎn)生凈電異向漂移！產(chǎn)生凈電 流流 (2.2.14) 2 g B j nm M B 52 推導(dǎo)漂移速度的矢量形式,并寫(xiě)出普遍形式.

12、53 上節(jié)回顧：上節(jié)回顧： 等離子作振蕩等離子作振蕩 等離子體種的基本參數(shù)等離子體種的基本參數(shù) 等離子體判據(jù)等離子體判據(jù) 均勻磁場(chǎng)和有限均勻磁場(chǎng)和有限E E場(chǎng)場(chǎng) 電荷粒子在均勻磁場(chǎng)電荷粒子在均勻磁場(chǎng) 等離子作振蕩等離子作振蕩 兩個(gè)是獨(dú)立參數(shù)：兩個(gè)是獨(dú)立參數(shù)： 其它兩個(gè)參數(shù)其它兩個(gè)參數(shù): 電子溫度離子溫度電子溫度離子溫度 垂直溫度平行溫度垂直溫度平行溫度 等離子體判據(jù)等離子體判據(jù) 即等離子體的德拜長(zhǎng)度大于粒子間的平均距離，德拜屏即等離子體的德拜長(zhǎng)度大于粒子間的平均距離，德拜屏 蔽效應(yīng)是大量粒子的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，統(tǒng)計(jì)條件要求德拜球內(nèi)蔽效應(yīng)是大量粒子的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，統(tǒng)計(jì)條件要求德拜球內(nèi) 有大量的粒子，為此必須

13、滿足此條件。有大量的粒子，為此必須滿足此條件。 即德拜長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于等離子體特征長(zhǎng)度，由于在德拜即德拜長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于等離子體特征長(zhǎng)度，由于在德拜 球內(nèi)不能保證此電中性。所以不滿足這個(gè)條件，就球內(nèi)不能保證此電中性。所以不滿足這個(gè)條件，就 不可能把等離子體看作電中性的物質(zhì)聚集態(tài)。不可能把等離子體看作電中性的物質(zhì)聚集態(tài)。 c是碰撞頻率，是熱運(yùn)動(dòng)阻礙恢復(fù)電中性的因素，當(dāng)是碰撞頻率，是熱運(yùn)動(dòng)阻礙恢復(fù)電中性的因素，當(dāng) p c c時(shí)，電子來(lái)不及通過(guò)碰撞耗散振蕩能量，則振時(shí)，電子來(lái)不及通過(guò)碰撞耗散振蕩能量，則振 蕩能維持，保證了等離子體維持電中性。蕩能維持，保證了等離子體維持電中性。 57 帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)帶

14、電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn) 動(dòng)是等螺距的螺旋運(yùn)動(dòng)動(dòng)是等螺距的螺旋運(yùn)動(dòng) ( 2 .2 .4 ) c q B m L r ( 2 .2 .8 ) c v 222 00 ()() L xxyyr 58 電漂移：電漂移： 重力漂移：重力漂移： x E E V B 2 qB BF D 與電荷符號(hào)無(wú)關(guān)與電荷符號(hào)無(wú)關(guān) 同向漂移！不產(chǎn)生凈同向漂移！不產(chǎn)生凈 電流電流 (2 .2 .1 3 ) 2 g m gB v qB 與電荷符號(hào)有關(guān)與電荷符號(hào)有關(guān) 異向漂移！產(chǎn)生凈電異向漂移！產(chǎn)生凈電 流流 (2.2.14) 2 g B j nm M B 60 ),(),( ),( zyxBzyxq dt zyxd m 61 2

15、.3.1 回旋中心回旋中心(導(dǎo)向中心導(dǎo)向中心) 近似近似 回旋運(yùn)動(dòng)通常是磁場(chǎng)中粒子的基本運(yùn)動(dòng)，一般處理電粒回旋運(yùn)動(dòng)通常是磁場(chǎng)中粒子的基本運(yùn)動(dòng)，一般處理電粒 子在電磁場(chǎng)中時(shí)，把其運(yùn)動(dòng)分解成回旋運(yùn)動(dòng)加回旋中心子在電磁場(chǎng)中時(shí)，把其運(yùn)動(dòng)分解成回旋運(yùn)動(dòng)加回旋中心 的漂移運(yùn)動(dòng)：的漂移運(yùn)動(dòng)： Dc 由于場(chǎng)的不均勻性，很難給出速度的解析表達(dá)式。由于場(chǎng)的不均勻性，很難給出速度的解析表達(dá)式。 實(shí)際上很多情況下，場(chǎng)的實(shí)際上很多情況下，場(chǎng)的非均勻性比較弱緩非均勻性比較弱緩 變變，這樣可以對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解：快回旋緩慢，這樣可以對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解：快回旋緩慢 的漂移運(yùn)動(dòng)。的漂移運(yùn)動(dòng)。 不考慮時(shí)空尺度較小的回旋不考慮時(shí)空尺度較小

16、的回旋 運(yùn)動(dòng)，用導(dǎo)向中心代表粒子運(yùn)動(dòng)，用導(dǎo)向中心代表粒子 外場(chǎng)變化時(shí)，回旋運(yùn)動(dòng)受影響，若在回旋運(yùn)動(dòng)的外場(chǎng)變化時(shí)，回旋運(yùn)動(dòng)受影響，若在回旋運(yùn)動(dòng)的 時(shí)間空間尺度中，外場(chǎng)相對(duì)變化小，則回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)間空間尺度中，外場(chǎng)相對(duì)變化小，則回旋運(yùn)動(dòng) 近似是完整的，粒子的運(yùn)動(dòng)可以近似用導(dǎo)向中心近似是完整的，粒子的運(yùn)動(dòng)可以近似用導(dǎo)向中心 代表，將場(chǎng)的變化對(duì)回旋運(yùn)動(dòng)的影響歸結(jié)為對(duì)導(dǎo)代表，將場(chǎng)的變化對(duì)回旋運(yùn)動(dòng)的影響歸結(jié)為對(duì)導(dǎo) 向中心運(yùn)動(dòng)的修正向中心運(yùn)動(dòng)的修正 帶電粒子的回旋運(yùn)動(dòng)帶電粒子的回旋運(yùn)動(dòng) 常局域磁場(chǎng)中的回旋運(yùn)動(dòng)常局域磁場(chǎng)中的回旋運(yùn)動(dòng) 忽略回旋中心的漂移忽略回旋中心的漂移 快運(yùn)動(dòng)快運(yùn)動(dòng) 帶電粒子的回旋中心的漂移運(yùn)動(dòng)

17、帶電粒子的回旋中心的漂移運(yùn)動(dòng) 慢運(yùn)動(dòng)慢運(yùn)動(dòng) 由于磁場(chǎng)的由于磁場(chǎng)的均勻性導(dǎo)致回旋軌道的不閉合，產(chǎn)均勻性導(dǎo)致回旋軌道的不閉合，產(chǎn) 生中心漂移，通常是對(duì)一個(gè)回旋周期進(jìn)行平均。生中心漂移，通常是對(duì)一個(gè)回旋周期進(jìn)行平均。 64 65 條件條件1 1：回旋運(yùn)動(dòng)的特征尺寸回旋半徑遠(yuǎn)小于磁場(chǎng)回旋運(yùn)動(dòng)的特征尺寸回旋半徑遠(yuǎn)小于磁場(chǎng) 的非均勻性的標(biāo)長(zhǎng)的非均勻性的標(biāo)長(zhǎng) Lr c 條件條件2 2：在一個(gè)回旋周期內(nèi)回旋中心的漂移距離遠(yuǎn)小于在一個(gè)回旋周期內(nèi)回旋中心的漂移距離遠(yuǎn)小于 回旋半徑回旋半徑 c c D r 磁場(chǎng)的空間變化可以用磁場(chǎng)的空間變化可以用 B 二階張量來(lái)描述二階張量來(lái)描述 y xz y xz y xz B

18、BB xxx B BB B yyy B BB zzz 包含包含: :散度項(xiàng)散度項(xiàng), , 梯度項(xiàng)梯度項(xiàng), , 曲率項(xiàng)曲率項(xiàng), , 剪切項(xiàng)剪切項(xiàng) 地軸地軸 假設(shè)沒(méi)有電場(chǎng)，且磁場(chǎng)的方向是均勻的，而磁場(chǎng)的大小假設(shè)沒(méi)有電場(chǎng)，且磁場(chǎng)的方向是均勻的，而磁場(chǎng)的大小 不均勻。磁感應(yīng)強(qiáng)度的梯度方向與磁場(chǎng)方向垂直：不均勻。磁感應(yīng)強(qiáng)度的梯度方向與磁場(chǎng)方向垂直： BB / /B / /B B y z x B Bq m r L / /B B 必然也會(huì)影必然也會(huì)影 響電荷的回響電荷的回 旋運(yùn)動(dòng)旋運(yùn)動(dòng) Bq m r L / /B B大大 B小小 大大 小小 Bq m r L 大大 小小 大大 小小 2 qB BF D 下面將

19、用下面將用未擾動(dòng)軌道加未擾動(dòng)軌道加的近似方法的近似方法計(jì)算計(jì)算 一個(gè)粒子在一個(gè)回旋運(yùn)動(dòng)中一個(gè)粒子在一個(gè)回旋運(yùn)動(dòng)中x方向和方向和y方向的方向的 平均力平均力 xy FF和 2 qB BF D ( ) dv mq vB y dt 電荷運(yùn)動(dòng)方程電荷運(yùn)動(dòng)方程( (垂直與垂直與 磁場(chǎng)磁場(chǎng)): ): / /B B 假定假定B沿沿 z 方向方向 y z x B ( ) x yx dv mqB y vF dt ( ) y xy dv mqB y vF dt y z x B / /B B B 0 0 (). (/). zz BBrB BByBy 回旋中心磁場(chǎng)回旋中心磁場(chǎng)拉莫半徑位矢拉莫半徑位矢 則在洛倫茲力作用

20、下的運(yùn)動(dòng)方程：則在洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng)方程： 00 )(BrqBq dt d m 回旋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：回旋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程： Dc 0 Bq dt d m c c 泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 74 / /B B 有了梯度磁場(chǎng)分量后，各有了梯度磁場(chǎng)分量后，各 個(gè)點(diǎn)的速度不同，要計(jì)算個(gè)點(diǎn)的速度不同，要計(jì)算 力，需要考慮一個(gè)回旋周力，需要考慮一個(gè)回旋周 期的平均期的平均。 ( ) x yx dv mqB y vF dt ( ) y xy dv mqB y vF dt 用圓周運(yùn)動(dòng)代替用圓周運(yùn)動(dòng)代替 , , xy v v y sin yc vvt cos, xc vvt cos Lc yrt 0 0 (). . . (

21、/). . . . . . . zz BBrB BByBy ( ) x yx dv mqB y vF dt sin yc vvt cos, xc vvt cos Lc yrt 0 ( )(). xyy B Fqv B yqvBy y 0 0 (). (/) . zz BBrB BBy By 0 (sin)(cos) cLc B qvtBrt y 0 ( )(). xyy B Fqv B yqvBy y 0 (sin)sincos cLcc B qvt Bqv rtt y 2 0 0 (sin)sincos cLcc B qvt Bqv rttdt y 0 2 0 ( ) xy Fqv B y

22、0 (cos)(cos) cLc B qvtBrt y 0 ( )(). yxx B Fqv B yqvBy y 2 2 0 0 (cos)(cos) cLc B qvt Bqv rt y 2 0 ( ) yx Fqv B y 2 0 (cos)(cos) cLc B qvt Bqv rt y 1 () 2 L B qv r y #3#3 1 () 2 yL B Fqv r y y B B m Fy 2 2 c L r ( 2 .2 .4 ) c q B m ? 2 L rA 2 1 c q T qi 磁矩：磁矩： B m Ai 2 2 y B B W Fy y B B m Fy 2 2 磁矩

23、：磁矩： B m 2 2 y B Fy 代入漂移公式代入漂移公式 x c B e y B B r 2 1 磁場(chǎng)梯度引起的漂移速度為：磁場(chǎng)梯度引起的漂移速度為： y z x B / /B 2 qB BF D y B Fy x L B e y B B r 2 1 BF 梯度漂移力：梯度漂移力： 梯度漂移速度梯度漂移速度: : 2 2 1 B BB r LB 梯度漂移速度梯度漂移速度: : 2 2 2 2 2 1 B BB qB m B BB rL B 1 L r B Br ccB v B e r e 2 2 / 2 / c c r c ef R R me R m F 已知漂移公式已知漂移公式 2 qB BF D v B 22 2 / 2 1 C C ef R R BR qB m B BF q V v B 方向沿著 方向磁場(chǎng)沿著 rB 0 2 1E Bj ct 111 () ()( ) zrzr BBBBB BrrBz rzzrr rr 0 111 () () ( ( ) zrzr BBB BB Brr Bz rzz r